MECHANIKA TECHNICZNA, TRANSPORT, SEMESTR II

1. Prawo Newtona - jednostki

1 zasada dynamiki

W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. (F=0, Fi=0 , v=const.)

2 zasada dynamiki

Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.

Zmiana pędu ciała jest proporcjonalna do działającej siły wypadkowej. Gdy m=const.

jednostki [ F=N, a=m/s^2/ m=kg]

3 zasada dynamiki

Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wielkości i przeciwnie skierowane przeciwdziałanie.

F12=-F12

2. Wypadkowa dwóch sił metodą równoległboku.

Zasada pierwsza (zasada równoległoboku). Działanie dwóch sił P₁ i P₂ można zastąpić działaniem jednej siły R, działającej na ten sam punkt, będącej przekątną równoległoboku ABCD zbudowanego na wektorach sił P₁ i P₂.

     

Wypadkową R wyznaczamy ze wzoru

        


W przypadku, gdy siły P₁ i P₂ działają wzdłuż jednej prostej i są zgodnie skierowane, wartość wypadkowej wynosi

         


Natomiast, gdy siły są przeciwnie skierowane i P₂ =P₁ , to

         

3. Rodzaje reakcji.

Reakcja (węzła) - Siła powstała po uwolnieniu ciała od więzów w miejscu styku z podporą. Leży na linii działania wypadkowej sił czynnych przyłożonych do węzła, ma ten sam kierunek i wartość, ale przeciwny zwrot. Reakcję węzła wyraża się jako sumę wszystkich reakcji składowych na osiach X,Y,Z powstałych od sił czynnych działających na osiach X,Y,Z.

Długość (moduł) wektora obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

Rodzaje wiezów i reakcje wiezów

Każda konstrukcja budowlana, stanowiaca przedmiot analizy nauki wytrzymałosci

materiałów, jest w jakis sposób posadowiona, bedac posrednio lub bezposrednio zwiazana z

podłożem, na które przekazuje siły pochodzace od jej cieżaru i przyłożonego obciażenia

użytkowego.

Od konstrukcji budowlanej wymaga sie, aby była ona geometrycznie niezmienna. Aby tak

było należy konstrukcji odebrac wszystkie stopnie swobody. (Stopniem swobody nazywamy

niezależny parametr służacy do opisu położenia obiektu w przestrzeni lub na płaszczyznie.) Aby odebrac konstrukcji wszystkie stopnie swobody należy ja unieruchomic za pomoca wiezów, stanowa je wszelkie połaczenia konstrukcji z podłożem lub inna konstrukcja. Takie połaczenianazywac bedziemy także podporami. Siły, z którymi podpory oddziaływuja na rozpatrywana bryłe w miejscach zetkniecia, nazywamy reakcjami podpór.

Na poniższych rysunkach zaczerpnietych ze skryptu Stefana Piechnika „Wytrzymałosc

Materiałów dla wydziałów budowlanych” przedstawione sa wiezy płaskie, tzn. takie gdzie siłyreakcji leża w jednej płaszczyznie. Oczywiscie istnieja też wiezy przestrzenne, analogiczne do płaskich i siły je zastepujace. Podpory możemy sklasyfikowac w dwóch grupach: pierwszy rodzajto podpory kierunkowe, których reakcje leża na znanej linii działania l, zas drugi rodzaj topodpory przegubowe, których reakcje przechodza przez znany punkt A. Rozróżniamy nastepujace podpory płaskie:

Styk gładki, czyli połaczenie „na styk”, gdy jedna tarcza dotyka innej, a miedzy nimi

nie wystepuje tarcie. W takim przypadku linia działania reakcji jest prostopadła do

płaszczyzny styku.

Podparcie przegubowo-nieprzesuwne. Na poniższym rysunku przedstawiono

podparcie przegubowo-nieprzesuwne w konstrukcji stalowej i żelbetowej (rys.1a i 1b),

schematy takiego podparcia (rys.1c) i siły zastepujace działanie tych wiezów, czyli reakcje

(rys.1d). Jak wiemy przy takim sposobie podparcia możliwy jest tylko obrót, niemożliwy jest

natomiast przesuw w żadnym kierunku. Musi wystapic wiec reakcja, która najczesciej rozkładamy

na dwie składowe (pionowa R i pozioma H).

Podparcie przegubowo-przesuwne. Na poniższym rysunku przedstawiono tego typu

podpore wykonana w konstrukcji stalowej, na rys.2b schematy takiego podparcia i na

rys.2c reakcje. Ponieważ w takiej podporze możliwy jest przesuw i obrót, wystepuje tylko

reakcja R o kierunku działania prostopadłym do możliwego kierunku przesuwu podpory.

Pełne utwierdzenie. Przykłady wiezów, które przyjmowac bedziemy jako pełne

utwierdzenie, przedstawiono na poniższych schematach; na rys.a utwierdzenie w scianie belki

drewnianej, na rys.3b pełne utwierdzenie słupa stalowego, zas na rys. 3c utwierdzenie słupa

żelbetowego; schematy tego typu wiezów przedstawiono na rys. 3d, a na rys.e pokazano siły

zastepujace działanie wiezów, czyli reakcje.

Utwierdzenie odbiera trzy stopnie swobody, czyli nakłada trzy wiezy na pret. Blokuje ono

przesuwy w obu kierunkach oraz obrót wokół podpory. W przypadku pełnego utwierdzenia

wystepuja trzy reakcje: pionowa, pozioma oraz moment zginajacy.

Utwierdzenie z poziomym przesuwem (połaczenie teleskopowe). Nazwa tego typu

pochodzi stad, że wiezy uniemożliwiaja obrót i przemieszczenie pionowe, natomiast

umożliwiaja przemieszczenie poziome (rys.4a); schemat i reakcje przedstawiono na rys.4.

Podpora taka odbiera dwa stopnie swobody, czyli nakłada dwa wiezy na pret.

Zablokowane zostana: przesuw w jednym kierunku oraz obrót wokół podpory, możliwy jest

natomiast przesuw w drugim kierunku. Odpowiada ona dwóm równoległym podporom

przegubowo-przesuwnym (rys.4b).

Utwierdzenie z pionowym przesuwem. Utwierdzenie z możliwoscia pionowego

przesuwu przedstawia rys.5a, schemat wiezów rys.5b, reakcje rys.5c. W literaturze taki

typ podpory czesto okreslany jest jako podpora slizgowa, potocznie natomiast czesto

takie połaczenie nazywamy łyżwa.

W poniższej tabeli przedstawie krótkie zestawienie rodzajów podpór, uzupełniajac

podstawowe informacje i cechy:

4. Wypadkowa sił zbieżnych

Układy sił, w których linie działania przecinają się w jednym punkcie nazywamy zbieżnymi układami sił. Takie układy mogą być płaskie lub przestrzenne.

Płaski układ sił zbieżnych P₁, P₂,..., P_n przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą wypadkową P równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną również w punkcie O.

Analityczny sposób wyznaczenia wypadkowej przestrzennego układu sił zbieżnych polega na wyznaczeniu składowych wypadkowej P_x, P_y i P_z w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz

Wartość liczbową wypadkowej P oraz jej cosinusy kierunkowe wyznaczamy ze wzorów

W geometrycznym sposobie wyznaczania wypadkowej należy zbudować wielobok sił, w którym wektory sił odkładamy równolegle do ich linii działania. Z punktu O odkładamy wektor P₁, a z jego końca wektor P₂ i tak kolejne wektory aż do P_n.

Wektor poprowadzony z początku wektora P₁ do końca wektora P_n jest wypadkową rozpatrywanego układu sił zbieżnych.

5. Warunki równowagi, płaskiego zbieżnego układu.

Analityczny warunek równowagi (metoda analityczna) płaskiego układu sił zbieżnych (czynnych i reakcji więzów) brzmi następująco: aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu współrzędnych muszą być równe zeru
                       

6. Twierdzenie o trzech siłach.

    Rozpatrzmy przypadek, kiedy dany układ trzech sił nierównoległch, działających w jednej płaszczyźnie, przyłożony jest do bryły sztywnej w punktach 1,2,3 (rys. 4.1). Dwie siły P1
i P2 zastępujemy jedną siłą S=P1+P2 i pytamy, przy jakich warunkach siła P3 tworzy dwójkę zerową z siłą S. Pierwszym warunkiem jest to, aby siła P3 działała wzdłuż prostej działania siły S, czyli jej prosta działania musi przechodzić przez punkt A. Drugim warunkiem jest, aby miała tę samą wartoŚć i przeciwny zwrot. Ten drugi warunek przedstawiono na rysunku graficznie, to znaczy trójkąt sił P1, P2, P3 musi być zamknięty.
    Opierając się na analizie tego układu sił (Środkowy) można wykazać następujące twierdzenie:

Trzy siły są w równowadze, jeżeli ich proste działania przecinają się w jednym punkcie, leżą w jednej płaszczyźnie i trójkąt sił jest trójkątem zamkniętym.

7. Pary sił na płaszczyźnie, redukcja par sił.

Parą sił nazywamy układ dwóch sił o równej wartości i jednakowych kierunkach, lecz o przeciwnych zwrotach.

Niezależnie od obranego bieguna suma momentów sił tworzących parę jest stała i równa wartości jednej z sił pomnożonej przez ramię pary. Iloczyn ten nazywamy momentem pary sił.

M₀=M₁+M₂ , ale M₁= -F * a ,zaś M₂=F*(a+r)

M₀= -F*a+F*(a+r)= -F*a+F*a+F*r=F*r

Moment pary jest dodatni, jeżeli para dąży do odwrócenia swego ramienia w stronę przeciwną do ruchu wskazówek zegara. Jeżeli para dąży do obrócenia ramienia w stronę zgodną z ruchem wskazówek zegara, to jej moment jest ujemny. Moment pary jest wektorem. Wartość wektora momentu jest równa F*r. Jego kierunek jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez tę parę.

Suma geometryczna pary sił jest zawsze równa zeru. Pary sił nie można ani zastąpić, ani zrównoważyć jedną wypadkową.

Każdą parę sił możemy zastąpić momentem i odwrotnie.

Własności pary sił:

- Skutek działania pary sił nie zmieni się, jeżeli daną parę przeniesiemy w dowolne inne położenie w jej płaszczyźnie

- Skutek działania pary sił na ziało sztywne nie zmieni się, jeśli daną parę przeniesiemy w dowolne położenie na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny pary.

- Działanie pary siły nie zmieni się, jeśli proporcjonalnie powiększymy siły pary, a pomniejszymy jej ramię, lub odwrotnie

- Parę sił można zrównoważyć tylko drugą parą sił o równym co do wartości momencie, lecz przeciwnego znaku.

Składanie i równowaga par sił

Podobnie jak siły, również pary sił można składać, czyli zastępować pewną liczbę par jedną parą sił, tzw. Parą wypadkową.

M₁= F₁*r₁ ; M₂=F₂*r₂ ; M₃= -F₃*r₃

Suma momentów wszystkich par składowych wynosi:

M=M₁+M₂+M₃

Moment ten nazywamy momentem pary wypadkowej. Dowolną liczbę par działających działających w jednej płaszczyźnie można zawsze zastąpić jedną parą wypadkową. W szczególnym przypadku sumując momenty par składowych, możemy w wyniku otrzymać 0, wtedy mówimy, że pary są w równowadze. Warunek równowagi par sił:

M₁+M₂+M₃+….+M_n = 0

Redukcja pary sił: to sprowadzenie układu sił do najprostszej postaci, czyli do najprostszego układu sił równoważnego danemu układowi sił.

8. Tarcie i prawa tarcia

Tarcie jest zjawiskiem, które występuje na powierzchniach styku ciał materialnych. Działanie siły tarcia obserwujemy wtedy, gdy próbujemy przesunąć względem siebie stykające się ciała.
Siła ta nie zależy od pola powierzchni zetknięcia się ciał; zależy jednak od materiału, z jakiego są one wykonane i od stanu ich powierzchni. Po prostu, każde ciało ma na sobie drobne chropowatości, które podczas kontaktu trą o siebie i utrudniają ruch.
Siła tarcia jest niezachowawcza, co oznacza, że praca wykonana przez nią lub przeciwko niej, pomiędzy dwoma ustalonymi punktami, zależy od drogi, jaką obierzemy.

Jeśli ciało jest w ruchu (ślizga się po drugim), to działa na nie siła tarcia dynamicznego, która jest skierowana przeciwnie do wektora prędkości i wywołuje efekt hamujący.
To właśnie dzięki niej, ciała w realnym świecie nie pozostają w nieskończonym ruchu, gdy są raz wprawione w ruch, lecz po pewnym czasie zatrzymują się.
Jeśli natomiast próbujemy wprawić ciało w ruch, a ono nadal pozostaje w spoczynku, to znaczy, że zapobiega temu siła tarcia statycznego.

Wiadomo, że gdy chcemy przesunąć po podłodze jakiś ciężki przedmiot (np. szafę), to stawia on wyraźny opór Tarcie ślizgowe) . Na początku, możemy działać siłą i mimo to ciało nie przesunie się. Będzie tak dlatego, że nasza siła będzie równoważona przez przeciwnie skierowaną siłę tarcia statycznego. Ta ostatnia będzie coraz większa, wraz ze zwiększaniem się naszego naporu, aż osiągnie wartość maksymalną, po której przekroczeniu ciało ruszy.
Ta maksymalna siła tarcia statycznego, dla której ciało jest jeszcze w spoczynku, to tzw. graniczna siła tarcia. Jest ona proporcjonalna do siły nacisku, a współczynnikiem proporcjonalności jest współczynnik tarcia statycznego μ_s. Oto wzór:

T_g = μ_sN

• gdzie: T_g - wartość granicznej siły tarcia statycznego, μ_s - współczynnik tarcia statycznego, N - wartość siły nacisku.

• Tarcie toczne (nazywane również oporem toczenia) - opór ruchu występujący przy toczeniu jednego ciała po drugim. Występuje np. pomiędzy elementami łożyska tocznego, między oponą a nawierzchnią drogi. Zwykle tarcie toczne jest znacznie mniejsze od tarcia ślizgowego występującego między ciałami stałymi, dlatego toczenie jest częstym rodzajem ruchu w technice.
  Pierwsze prawo tarcia

• Siła tarcia ślizgowego między dwoma ciałami jest proporcjonalna do składowej normalnej siły utrzymującej ciała w zetknięciu, co wyraża wzór:

gdzie:

• N - siła dociskająca powierzchnie trące, prostopadła do powierzchni styku ciał

• μ — współczynnik tarcia

Jeżeli ciała pozostają w spoczynku względem siebie, to siła tarcia równoważy działającą siłę. Wzór powyższy określa maksymalną wartość siły tarcia statycznego. Gdy ciała poruszają się względem siebie wzór określa wartość siły tarcia. Współczynniki tarcia kinetycznego i statycznego są zazwyczaj różne.

Siła tarcia statycznego ma kierunek działania siły równoległej do trących powierzchni i przeciwny do niej zwrot. Siła tarcia kinetycznego ma kierunek ruchu wzajemnego ciał, a zwrot przeciwny do zwrotu ruchu.

• Drugie prawo tarcia

Siła tarcia ślizgowego nie zależy od wielkości powierzchni zetknięcia ciał.

• Trzecie prawo tarcia

Z chwilą wprowadzenia ciała w ruch, siła tarcia nie zależy od prędkości

9. Wypadkowa dwóch sił równoległych.

Gdy na ciało sztywne działają dwie siły o nierównoległych i leżących w jednej płaszczyźnie liniach działania , siły te możemy przesunąć do punktu przecięcia się tych linii i zastąpić wypadkową w myśl prawa równoległoboku . Sposób ten zawodzi , gdy linie te nie są do siebie równoległe .

Dwie równoległe i zgodnie skierowane siły P1 i P2 przyłożone do punktów A i B ciała sztywnego zastąpić możemy równoległą i zgodnie z nimi skierowaną siłą wypadkową R o wartości liczbowej równej sumie wartości liczbowych danych sił . Linia działania wypadkowej dzieli wewnętrznie odcinek AB odwrotnie proporcjonalnie do wartości liczbowych sił P1 i P2

10. Warunki Równowagi Dowolnego Płaskiego Układu Sił.

Dowolny płaski układ sił jest w równowadze wtedy, gdy suma rzutów wszystkich sił tego układu na osie "x" i "y" i suma momentów wszystkich sił wzgledem dowolnego punktu są równe zero.

ΣFix = 0; ΣFiy = 0; ΣMa = 0;

11. Środek ciężkości figury płaskiej.

Przyjmuje się, że grubość figury płaskiej jest stała i znikomo mała w porównaniu z pozostałymi wymiarami oraz ciężar na jednostkę pola powierzchni figury płaskiej jest stały. Położenie środka ciężkości figury płaskiej zależy zatem tylko od kształtu geometrycznego tej figury.

Obliczanie współrzędnych środka ciężkości traktuje się jako zagadnienie dwuwymiarowe, gdyż współrzędna  zc = 0. Współrzędne środka ciężkości figury płaskiej wyznaczamy ze wzorów gdzie A  pole powierzchni figury płaskiej w m2.

Przy wykorzystaniu definicji momentów statycznych figur płaskich współrzędne środka ciężkości figury płaskiej obliczymy ze wzorów
gdzie Sy  moment statyczny względem osi y,  Sx  moment statyczny względem osi x.
Przydatne twierdzenia do obliczania współrzędnych środka ciężkości figury płaskiej

• gdy figura płaska ma oś symetrii, to środek ciężkości leży na tej osi,

• jeżeli figura płaska ma dwie osie symetrii, to środek ciężkości leży w punkcie przecięcia tych osi.

12. Co to jest moment bezwładności?

Moment bezwładności to miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową.

• Moment bezwładności bryły sztywnej

• Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar ML². Zwykle mierzy się go w kg·m².

Moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

gdzie:

m - masa punktu;

r - odległość punktu od osi obrotu.

Moment bezwładności ciała składającego się z n punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach dm, oraz niech r oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości V ciała.

Za pomocą momentu bezwładności I bryły sztywnej, obracającej się względem pewnej osi z prędkością kątową ω względem tej osi, można wyrazić energię kinetyczną K tej bryły

13. Twierdzenie Steinera.

Twierdzenie Steinera - twierdzenie mechaniki oraz wytrzymałości materiałów opisujące sposób znajdowania momentu bezwładności danej bryły względem danej osi przy danym momencie bezwładności względem osi równoległej i przechodzącej przez środek masy bryły. Jego autorem jest Jakob Steiner. Wynika ono z wpływu przesunięcia osi na momenty bezwładności i zboczenia (dewiacji, odśrodkowy), przy czym zakładamy że początek układu współrzędnych pokrywa się ze srodkiem masy ciała, więc pomijamy moment statyczny.

Zachodzi zależność

gdzie:

• 
  - składowa ij tensora momentu bezwładności liczona w punkcie A,

• 
  - składowa ij tensora momentu bezwładności liczona w środku masy,

• d - odległość między punktem A a środkiem masy,

• m - masa bryły.

• δ_ij - delta Kroneckera

Wzór ten można sprowadzić do prostszej (mniej ogólnej) postaci

,

gdzie:

• I - moment bezwładności względem osi równoległej,

• I^cm - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy,

• d - odległość między osiami,

• m - masa bryły.

14. Prawo Hooke'a.

Mówi ono, że jeżeli tylko wielkość siły nie przekroczy pewnej granicy, to wydłużenie pręta jest wprost proporcjonalne do siły rozciągającej pręt i do jego długości, a odwrotnie proporcjonalne do przekroju pręta. Prawo Hooke'a ma postać:

[m]

gdzie:

P-siła działające na pręt,

l - długość pręta

E - moduł Younga (moduł sprężystości podłużnej materiału)

F - przekrój pręta

Wydłużenie pręta rozciąganego nie zależy od kształtu jego przekroju poprzecznego, tylko od całkowitego pola przekroju pręta. Im większy będzie mianownik prawej strony równania to pręt bardziej sztywny.

Jednostki według mnie to metry [m], gdyż l to strzałka ugięcia która mierzona jest w metrach. Pewności co do tego nie mam ale jeżeli podstawimy jednostki do powyższego wzoru to wychodzą metry. [uw. Karol - jednostki to

l0 - początkowa (bez działania siły) długość pręta (w układzie SI w metrach: m)

l - wydłużenie (ogólnie odkształcenie), czyli zmiana długości pręta (w układzie SI w metrach: m)

F   - siła powodująca odkształcenie (w układzie SI w niutonach: N = kg·m/s^2)

S  - pole przekroju poprzecznego (w układzie SI w metrach kwadratowych: m^2)

K  - współczynnik charakteryzujący materiał (w układzie SI w: m·s^2/kg) E(moduł Younga= 1/K, czyli jednostka dla E to kg/ m·s^2

15. Jest wrzucone na poczcie, czy na NK, niestety mam archaicznego worda i nie potrafie tego otworzyć.

16. Warunek wytrzymałościowy naprężeń normalnych na rozciąganie, lub ściskanie ma postać:

gdzie:
 - naprężenia normalne w [Pa]
,F - siła  w [N],
S - przekrój na który działa siła F wyrażony w [m²],

k - naprężenia dopuszczalne na rozciąganie (k_r), ściskanie (k_c) w [Pa] dostępne

17. Naprężenia dopuszczalne

Naprężenia, które mogą występować w materiale bez obawy naruszenia warunku wytrzymałości i warunku sztywności, nazywamy naprężeniami dopuszczalnymi.

Oznaczamy je literą k z odpowiednim indeksem dolnym, charakteryzującym rodzaj odkształcenia:

kr - naprężenie dopuszczalne przy rozciąganiu,

kc - naprężenie dopuszczalne przy ściskaniu,

kg - naprężenie dopuszczalne przy zginaniu,

kt - naprężenie dopuszczalne przy ścinaniu,

ks - naprężenie dopuszczalne przy skręcaniu.

Liczbę n oznaczającą, ile razy naprężenie dopuszczalne jest mniejsze od granicy wytrzymałości (dla materiałów kruchych) lub od granicy plastyczności (dla materiałów plastycznych), nazywa się współczynnikiem bezpieczeństwa.

W przypadku rozciągania materiałów kruchych:

kr=Rm/n

18. Warunek wytrzymałości na ścinanie.

τ=σ_τ=P/A<k_t

τ=σ_τ - naprężenia ścinające

P - siła poprzeczna tnąca

A - przekrój poprzeczny

k t - naprężenia dopuszczalne na

ścinanie

19. Warunek wytrzymałościowy naprężeń normalnych na zginanie

 gdzie:
σ_g - naprężenia normalne zginające w [Pa],
M - moment zginający przekrój  w [Nm],
W_x - wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie [m³],
k_g - naprężenia dopuszczalne na zginanie w [Pa] dostępne

20. Co to jest wskaźnik wytrzymałości

Wskaźniki wytrzymałości przekroju

Wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie jest to iloraz momentu bezwładności tego przekroju względem osi obojętnej (przechodzącej przez środek ciężkości przekroju) przez odległość od tej osi najdalszego elementu, należącego do przekroju.   Dla osi obojętnej „x” wskaźnik ten ma postać: natomiast moment bezwładności względem osi „x” jest suma iloczynów elementarnych pól dF danego przekroju i kwadratów odległości tych pól od osi „x”. czyli: Jeżeli istnieje możliwość podzielenia powierzchni na figury płaskie o znanych wartościach momentów bezwładności, lub oś obojętna nie pokrywa się ze środkiem ciężkości rozpatrywanego przekroju to do wyznaczenia momentu bezwładności całej powierzchni  można zastosować wzór Steinera: W przypadku wskaźnika wytrzymałości przekroju na skręcanie  mamy do czynienia z iloczynem biegunowego momentu bezwładności przez odległość najdalszego elementu przekroju od osi skręcania. Biegunowy moment bezwładności stanowi sumę momentów bezwładności względem osi prostopadłych.

21. Wykresy momentów zginającyh prostych przypadków

Jest w folderze w osobnym pliku wrzucone na poczcie.

22. Skręcanie, kąt skręcania, jednostki.

Skręcanie - w wytrzymałości materiałów stan obciążenia materiału, w którym na materiał działa moment, nazwany momentem skręcającym, działający w płaszczyźnie przekroju poprzecznego materiału. Powoduje on występowanie naprężeń ścinających w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny działania momentu. Skręcanie występuje w prętach, którymi najczęściej są wały.

Moment skręcający - w mechanice moment pary sił, którego wektor jest równoległy do osi elementu skręcanego, najczęściej pręta lub wału. O wielkości skręcenia na jednostkę długości pręta, wywołanego przez dany moment skręcający decydują:

• wytrzymałość materiału, z którego wykonany jest poddany skręcaniu element, charakteryzowana przez moduł Kirchhoffa,

• "sztywność" przekroju konkretnego pręta, wyrażana przez wskaźnik wytrzymałości na skręcanie.

• Moment pary sił odległych o
  o wartości
  wynosi
  .

Kąt skręcania:

Dla skręcania prostego przyjmujemy, że jednostkowy kąt skręcenia jest równy

gdzie:

I₀ - biegunowy moment bezwładności

M_x - moment skręcający

Iloczyn GI₀ zwany jest sztywnością na skręcanie. (uw. Autora - czyli kąt skręcania to moment skręcający / sztywność na skręcanie)

Jednostka: Niutonometr, N·m - jednostka momentu siły w układzie SI.

1 N · m = 1 N · 1 m = 1 m² · kg · s^-2.

23. Układy statycznie niewyznaczalne.

Belki, w których liczba niewiadomych jest większa od liczby równań równowagi nazywamy statycznie niewyznaczalnymi.

Przykłady takich belek to: belki wieloprzęsłowe (o trzech lub więcej podporach), belki dwustronnie utwierdzone, belki jednym końcem utwierdzone, a na drugim podparte etc.

W tych belkach określenie reakcji bądź sił wewnętrznych tylko na podstawie równań równowagi nie jest możliwe. Do ich wyznaczenia należy uwzględnić odkształcenie tych konstrukcji.

Niektóre metody rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych:

1. Metoda sił

2. Metoda przemieszczeń

3. Metoda superpozycji

4. Metoda trzech momentów

5. Metoda Menabrei

24. Siła krytyczna przy wyboczeniu.

Wyboczenie- to zjawisko wyginania się pręta ściskanego siłami osiowymi.

Siła krytyczna- to graniczna wartość siły, po przekroczeniu której następuje utrata stateczności pręta (nagłej zmiany kształtu konstrukcji). Wartość tej siły zależy od długości pręta, od wielkości i kształtu jego przekroju, od rodzaju materiału i sposobu zamocowania końców pręta.


gdzie l - długość zredukowana pręta, E - moduł sprężystości wzdłużnej materiału, I_min - najmniejszy główny środkowy moment bezwładności przekroju pręta.

Współczynniki α:

25. Siła krytyczna dla róźnych sposobów zamocowania

Siła krytyczna to siła po której następuje utrata stateczności pręta.

Wartość tej siły zależy od długości pręta, od sposobu mocowania i rodzaju materiału.

Mamy 4 rodzaje sposobów mocowania:

• Pręt zamocowany na obu końcach przegubowo. Dla takiego pręta długość zredukowana jest równa długości pręta, czyli lr=l

• Pręt utwierdzony jednym końcem- wtedy długość zredukowaną przyjmujemy równą podwójnej długości pręta czyli lr= 2l

• Pręt jednym końcem utwierdzony a drugim zamocowany przegubowo. Za długośc zredukowaną przyjmujemy 0.7 długości pręta a więc lr= 0.7l

• Pręt na obu końcach utwierdzony- jego długość zredukowana wynosi 0.5 l wiec lr=0.5l

Pręty cienkie i długie -o dużej smukłości- będą ulegały wyboczeniu już przy niskich naprężeniach. Odwrotnie, naprężenia ktytyczne prętó krótkich i grubych beą bardzo duże. Wzór Eulera określa napręzenie krytyczne przy założeniu, że Pkr=pi^2*E/^2

E jest modułem Younga,

J jednym z głównych momentów bezwładności przekroju,

 jest długością wyboczeniową pręta. Jest to zastępcza długość pręta.

26. Moduł Younga

Moduł Younga (E) - inaczej moduł odkształcalności liniowej albo moduł sprężystości podłużnej (w układzie jednostek SI) - wielkość uzależniająca odkształcenie liniowe ε materiału od naprężenia σ, jakie w nim występuje w zakresie odkształceń sprężystych.

Jednostką modułu Younga jest paskal. Jest to wielkość określająca sprężystość materiału.

Moduł Younga jest hipotetycznym naprężeniem, które wystąpiłoby przy dwukrotnym wydłużeniu próbki materiału, przy założeniu, że jej przekrój nie ulegnie zmianie (założenie to spełnione jest dla hipotetycznego materiału o współczynniku Poissona υ = 0).

W przypadku materiału izotropowego znane są zależności modułu Younga z innymi stałymi materiałowymi:

gdzie: G - moduł Kirchhoffa, υ - współczynnik Poissona, B - moduł Helmholtza, λ i μ - stałe Lamégo.

---