Zbiór pytań na egzaminie z matematyki

dla studentów semestru pierwszego kierunku MiBM (studia dzienne)

Temat 1. Liczby zespolone.

1. Definicja i działania na liczbach zespolonych.

2. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej.

3. Postać kartezjańska i trygonometryczna liczby zespolonej.

4. Potęgowanie liczb zespolonych.

5. Pierwiastkowanie liczb zespolonych.

Temat 2. Elementy algebry liniowej.

1. Definicja i działania na macierzach.

2. Wyznacznik macierzy. Algebraiczne dopełnienie i podwyznacznik.

3. Własności wyznaczników.

4. Metody obliczania wyznaczników.

5. Macierz odwrotna i metoda jej wyznaczania.

6. Rząd macierzy. Twierdzenie o obliczeniu rzędu macierzy.

7. Układy równań liniowych algebraicznych. Twierdzenie Cramera.

8. Rozwiązanie układu jednorodnego n równań o n niewiadomych.

9. Twierdzenie Kroneckera-Capelli'ego.

Temat 3. Wektory.

1. Wektory w przestrzeni. Działania na wektorach.

2. Wersor wektora. Rozkład wektora na wersory osi.

3. Iloczyn skalarny wektorów. Własności iloczynu skalarnego.

4. Długość wektora. Obliczenie
   , gdzie
   - kąt między dwoma wektorami.

Warunek prostopadłości dwóch wektorów.

5. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów oraz jego interpretacja geometryczna.

6. Własności iloczynu wektorowego.

7. Obliczenie
   , gdzie
   - kąt między dwoma wektorami.

8. Warunek konieczny i wystarczający równoległości dwóch wektorów.

9. Podstawowe twierdzenie o iloczynie wektorowym.

10. Iloczyn mieszany i jego własności.

11. Interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego.

12. Podstawowe twierdzenie o iloczynie mieszanym.

1. Pojęcie równania linii. Równanie ogólne prostej.

2. Równanie parametryczne prostej.

3. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.

4. Równanie kierunkowe prostej.

5. Odległość punktu od prostej. Wzajemne położenie dwóch prostych.

6. Okrąg.

7. Elipsa i jej własności.

8. Hiperbola i jej własności.

9. Parabola i jej własności.

Temat 4. Podstawy geometrii analitycznej.

1. Równania płaszczyzny: wektorowe, ogólne, odcinkowe, przechodzącej przez trzy punkty.

2. Odległość punktu od płaszczyzny.

3. Wzajemne położenie dwóch płaszczyzn: warunek prostopadłości, równoległości, kąt między dwoma płaszczyznami.

4. Równanie normalne płaszczyzny.

5. Równania prostej: parametryczne, kierunkowe, przechodzącej przez dwa punkty, krawędziowe.

6. Wzajemne położenie dwóch prostych. Warunki: prostopadłości, równoległości, przecinania się prostych.

7. Kąt między prostymi.

8. Odległość punktu od prostej i odległość dwóch prostych równoległych.

9. Punkt przebicia prostej z płaszczyzną.

10. Sfera. Równanie ogólne powierzchni kulistej.

11. Elipsoida.

12. Hiperboloida jednopowłokowa.

13. Hiperboloida dwupowłokowa.

14. Stożek.

15. Walec eliptyczny. Walec hiperboliczny. Walec paraboliczny.

16. Paraboloida eliptyczna oraz hiperboliczna.

Podstawy geometrii analitycznej (3 godz.). Równania płaszczyzny: wektorowe, ogólne, odcinkowe, przechodzącej przez trzy punkty. Równania prostej: parametryczne, kierunkowe, przechodzącej przez dwa punkty, krawędziowe. Prosta i płaszczyzna. Okrąg, elipsa, hiperbola, parabola.

Temat 6. Ciągi liczbowe.

1. Ciąg. Podciąg. Ciągi ograniczone.

2. Granica ciągu. Twierdzenia ogólne o granicach ciągów.

3. Ciągi rozbieżne do
   . Twierdzenia ogólne o ciągach rozbieżnych do
   .

Temat 7. Szeregi liczbowe.

1. Suma częściowa. Suma szeregu.

2. Zbieżność i rozbieżność szeregów.

3. Warunek konieczny zbieżności szeregów.

4. Szereg geometryczny i szereg harmoniczny.

5. Kryteria porównawcze zbieżności (rozbieżności) dla szeregów o wyrazach nieujemnych.

6. Kryterium d'Alemberta.

7. Kryterium Cauchy'ego.

8. Szeregi naprzemienne. Kryterium Leibniza.

9. Szeregi o wyrazach dowolnych. Zbieżność bezwzględna i warunkowa.

10. Kryterium bezwzględnej zbieżności.

Temat 8. Funkcja jednej zmiennej rzeczywistej. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej.

1. Definicja funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina. Ograniczoność funkcji. Kresy dolny i górny funkcji.

2. Monotonicznosć funkcji.

3. Funkcja jednoznaczna. Funkcje parzysta i nieparzysta. Funkcja okresowa.

4. Funkcja odwrotna. Funkcja złożona.

5. Definicja Heinego granicy funkcji.

6. Definicja Cauchy'ego granicy funkcji.

7. Granice jednostronne funkcji. Definicja Heinego i Cauchy'ego granicy jednostronnej.

8. Twierdzenia o granicach funkcji.

9. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie skończonym.

10. Granica skończona funkcji w punkcie niewłaściwym.

11. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie niewłaściwym.

12. Definicja ciągłości funkcji.

13. Twierdzenia ogólne o funkcjach ciągłych.

14. Twierdzenie Weierstrassa.

15. Twierdzenie Darboux.

16. Funkcje elementarne: własności i wykresy.

17. Funkcje cyklometryczne.

Temat 9. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej rzeczywistej.

1. Przyrost argumentu i funkcji. Iloraz różnicowy funkcji. Pochodna funkcji.

2. Geometryczna interpretacja pochodnej funkcji.

3. Warunek konieczny różniczkowałlności funkcji.

4. Podstawowe wzory na pochodne funkcji elementarnych.

5. Pochodna sumy, różnicy, iloczynu oraz ilorazu dwu funkcji.

6. Pochodna funkcji złożonej.

7. Pochodna funkcji
   .

8. Pochodne wyższych rzędów.

9. Różniczka funkcji jednej zmiennej oraz jej interpretacja geometryczna.

10. Twierdzenia Lagrange'a. Wnioski z twierdzenia Lagrange'a.

11. Wzóry Tajlora iMaclaurina.

12. Reguły de l'Hospitala.

13. Pochodna funkcji danej równaniami parametrycznymi.

Temat 10. Zastosowania podstawowych twierdzeń rachunku różniczkowego do badania przebiegu zmienności funkcji jednej zmiennej.

1. Ekstrema lokalne i absolutne.

2. Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej.

3. Warunki wystarczające istnienia ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej.

4. Przedziały monotonicznosci funkcji jednej zmiennej. Geometryczna interpretacja.

5. Wypukłość i wklęsłość krzywej. Geometryczna interpretacja wypukłości i wklęsłości.

6. Punkt przegięcia krzywej. Geometryczna interpretacja punktu przegięcia.

7. Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia.

8. Warunki wystarczające istnienia punktu przegięcia.

9. Asymptoty krzywej.

10. Schemat badania przebiegu zmienności funkcji.

Temat 11. Całka nieoznaczona funkcji jednej zmiennej.

1. Funkcja pierwotna. Warunek wystarczający całkowalności.

2. Wzory podstawowe całek nieoznaczonych z funkcji elementarnych.

3. Ogólne reguły całkowania.

4. Całkowanie przez podstawienie.

5. Całkowanie przez części.

6. Wzory rekurencyjne.

7. Całkowanie funkcji wymiernych.

8. Całkowanie funkcji niewymiernych.

9. Całkowanie funkcji trygonometrycznych.

Temat 12. Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej oraz pewne jej zastosowanie.

1. Definicja całki oznaczonej. Interpretacja geometryczna i fizyczna.

2. Twierdzenia, gwarantujące całkowalność funkcji w danym przedziale.

3. Własności całek oznaczonych.

4. Twierdzenie o wartości średniej funkcji w danym przedziale.

5. Twierdzenie Newtona-Leibniza.

6. Całkowanie przez części i przez podstawienie.

7. Całki niewłaściwe (pierwszego i drugiego rodzaju).

8. Obliczanie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej.

9. Obliczanie długości luku krzywej.

10. Objętość i pole powierzchni bryły obrotowej.

Temat 13. Szeregi funkcyjne

6. Szeregi funkcyjne: definicja, zbieżność jednostajna, suma, zbieżność bezwzględna.

7. Szereg geometryczny funkcyjny i jego przedział zbieżności.

8. Warunek wystarczający jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego.

9. Całkowanie i różniczkowanie szeregu funkcyjnego.

10. Szeregi potęgowe: definicja, twierdzenie Abela.

11. Promień i przedział zbieżności szeregu potęgowego.

12. Metody obliczania promienia zbieżności.

13. Własności szeregów potęgowych.

14. Szereg Taylora.

15. Rozwinięcie funkcji elementarnych w szereg Mac Laurina.

Temat 14. Szeregi Fouriera

10. Definicja szeregu trygonometrycznego. Wzory Eulera-Fouriera.

11. Warunki Dirichleta.

12. Twierdzenie o rozwinięciu funkcji w szereg Fouriera.

13. Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera według sinusów lub według cosinusów.

2

---