Cel ćwiczenia

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego.

Zagadnienia

Ruch harmoniczny - równanie ruchu, wielkości charakteryzujące ruch harmoniczny, wahadło matematyczne

Wprowadzenie

Znając okres wahania wahadła T oraz jego długość l można w oparciu o wzór:

(1)

wyznaczyć przyspieszenie ziemskie. W celu uniknięcia błędu występującego przy pomiarze długości l stosuje się metodę Bessela. Metoda ta uwzględnia różnicę długości, którą można wyznaczyć dokładniej. Przekształcając równanie (1) i stosując je dla wahadeł o różnych długościach otrzymujemy:

Odejmując powyższe równania stronami oraz stosując podstawienie d=l₁-l₂ otrzymujemy:

(2)

Pamiętać należy, że powyższe wzory są słuszne jedynie dla wychyleń nie większych niż ok. 10⁰.

Przebieg ćwiczenia

1. Zawiesić kulkę wahadła i odczytać jego długość na lustrzanej skali (do punktu zawieszenia) l₁.

2. Odchylić kulkę wahadła o kąt nie większy niż 10⁰ (wychylenie mniejsze niż 12 cm) i następnie puścić ją.

3. Gdy wahadło przechodzi przez położenie równowagi włączyć stoper i wyznaczyć czas, w którym zachodzi 100 pełnych wahnięć (t₁).

4. Skrócić wahadło o 0,1 - 0,2 m i powtórzyć pomiary jak w punkcie 1 - 4.

5. Ponownie wydłużyć wahadło, a następnie czynności z punktów 1 - 4 powtórzyć 3krotnie.

6. Dane zapisać w tabeli 1.

TABELA 1

Lp	l1	t1	T1	l2	t2	T2	d	g
	[cm]	[s]	[s]	[cm]	[s]	[s]	[m]
1	85,5	185,2	1,8502	69	167	1,67	0,165	10,25843489	0,000777022
2	85,5	185,4	1,8504	69	167,2	1,6702	0,165	10,25726936	0,000388511
3	85,5	185,4	1,8504	69	167,2	1,6702	0,165	10,25726936	0,000388511
								10,25765787	0,001554043

Opracowanie wyników

1. Obliczyć okresy drgań wahadła i wartości przyspieszenia ziemskiego uzupełniając tabelę1.

2. Wyznaczyć wartość średnią przyspieszenia oraz błąd przeciętny.

3. Obliczyć błąd maksymalny wg wzoru:
   
   gdzie:
   - błąd pomiaru okresu drgań,
   - oznacza błąd pomiaru różnicy długości wahadła.

4. Przeprowadzić dyskusję błędów.

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na lekkiej, nierozciągliwej nitce. W praktyce zawieszamy na nieskręcającej się nitce kulkę stalową o średnicy l-2 cm lub dla zmniejszenia oporu powietrza małą soczewkę metalową.

Pod wpły­wem siły ciężkości ciała spadają ruchem jednostajnie zmiennym, więc wystar­czy pozwolić ciału spadać swobodnie z pewnej wysokości, zmierzyć czas spadania i przebyta drogę, a potem posługując się wzorem na drogę w ruchu jednostajnie zmiennym bez prędkości początkowej, obliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego. W praktyce wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego jest nieco trudniejsze. Trudność polega przede wszystkim na możliwie dokładnym zmierzeniu krótkiego czasu spadania ciała. Jednym ze sposobów unikania dużych błędów pomiaru czasu jest wydłużanie czasu spadania ciała. Można to osiągnąć przez obserwacje spadania swobodnego z możliwie dużych wysokości lub zastosowanie wielokrotnego spadania ciała z tej samej, niewielkiej wysokości.

Długością wahadła nazywamy odległość od punk­tu zawieszenia nitki do środka ciężkości zawiązanego na niej ciała.

W położeniu równowagi wahadło zajmuje położenie pionowe; wychylone o mały kat z położenia równowagi, wykonuje ruchy powtarzająca się okreso­wo w jedną i drugą stronę poprzez położenie równo­wagi.

Weźmy pod uwagę siły działające na punkt materialny M. zawieszony na nitce i odchylony z położenia równowagi o niewielki (do 7^°) kąt. W kierunku pionowym na dół działa nań siła przyciągania Ziemi równa mg, gdzie m oznacza masę punktu, g zaś - przyspieszenie ziemskie.

Silę te możemy rozłożyć na dwie składowe: jedną działającą wzdłuż nitki, czyli prostopadłą do toru , a drugą styczną do toru . Składowa N=m.*g*cosα jest zrównoważona sprężystym oddziaływaniem nitki, składo­wa zaś F=m.*g*sinα wywołuje ruch po łuku i jest zwrócona ku położeniu równowagi, tj.

W przypadku wahadła matematycznego posiada ono największą energię potencjalną przy największym wychyleniu od położenia równowagi (najmniejsza energia kinetyczna), natomiast w położeniu równowagi posiada największą energię kinetyczną (ma największą prędkość) a najmniejszą potencjalną (najmniejsze wychylenie).

Przyspieszenie standardowe siły ciężkości :	g=9,80665
Siła ciężkości wynikła z pomiarów :	g=10,25765787
Różnica siły ciężkości :	g=0,451007

Obliczenia błędu maksymalnego:

Błędy pomiaru wynikają z niedokładności przyrządów pomiarowych takich jak stoper, linijka czy samo wahadło (które nie było w pełni idealnie matematyczne), oraz z niedokładności odczytu (błąd paralaksy) czy obsługi przyrządów pomiarowych (czas reakcji przy wyzwalaniu i zatrzymywaniu stopera) przez osobę mierzącą.

---