Czy e(1,-1,2),e(0,1,-1),e(1,-1,1) tworzą bazę w R3. Podać współrzędne (1,-2,3) w tej bazie. a) sprawdzamy czy sa liniowo niezależne: (0,0,0)=λ1(e1)+ λ2(e2)+ λ3(e3)=0 => λ1, λ2, λ3 Stąd wynika, że e1 , e2 , e3 sa liniowo niezależne. b) czy e1 ,e2 , e3 generują przestrzeń. Ustalmy dowolny wektor x=(x1, x2 x3)∈ R3 (x1 , x2 , x3 ) =λ1(x1)+ λ2(x2)+ λ3(x3) -> liczę układ równań i wyliczam λ,Ze względu na dowolność wektora x i λ wnioskujemy ze wektory e…generują bazę przestrzeni R3 czego dowodzą kroki 1 i 2 (a i b). c)współ. wek(a,b,c) W nowej bazie: x1+x2..=a; x1-x2=b … i liczę λ. || (a,b,c) Bk =(q,w,e) BN -odwz w bn- można z pkt 2.
Dana jest baza(2,1)(1,1) przestrzeni R2.Odwzorowanie liniowe R2 ->R2 jest dane w tej bazie poprzez macierz A=[5/-1; 5/-2]. Oblicz f(3,2)
[5/-1; 5/-2]*[2/1]=[15/-4] [5/-1; 5/-2]*[1/1]=[10/-3]
a(2/1)*b(1/1)=(15/-4) - układ rownan c(2/1)*d(1/1)=( 10/-3)
licze a,b,c,d i pisze macierz A'=[a/b;c/d] // f'(x,y)=(ax-by;cx-dy) - podstawiam
R2: B1={(-1,2),(1,1)} B2={(3,1),(1,-2)} x∈ R2 ma współrzędne (4,1) w B1 (x=(-1,3)B1). Oblicz wektor w B2 a) ukl. r-n. b) p->B1=>2 c) odwr a) (4,1)=λ1(wek1)+λ2(wek2). i pozniej 4=3λ1+λ2 drogi i spinam klamra. Licze x i y -> i to jest ten nowy wektor
b) licze P=B1-1*B2 ; P-1 i mnożę razy wektor z B1 (-1,3) i mam wektor w B2
c) licze P=B2-1*B1 ; P i mnożę razy wektor z B1 (-1,3) i mam wektor w B2
V={(x1, x2 x3 x4 )∈ R4 : x4 -3x1=0, x1-5x3-x4=0} Wykażemy ze A jest podprzestrznia liniawa przestrzeni R4 a) Załóżmy że a=(x1, x2 x3 x4 )∈A oraz a'=(x'1, x'2 x'3 x'4) stąd:
{ x4 -3x1=0 {x1-5x3-x4=0 || (x4 - x'4 )-3(x1 - x'1 )=0
{ x'4 -3x'1=0 { x'1-5'x3-x'4=0 ||stad (x1 +x'1, x2+x'2 ;x3+x'3 ;x4+x'4 )=a+a'∈A
b) załóżmy ze a=(x1, x2 x3 x4 )∈A oraz λ∈R, stad: //równania mnożymy przez λ//a to => (λx1, λx2 λx3 λx 4 =λa∈A, Ze względu na dowolność a i a' i λ wnioskujemy ze jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R4 * Wyznaczamy bazę przestrzeni A
[wzory |0] || równan z param i wyznaczamy (x1, x2 x3 x4 )-pion=[t,s,-3/5t,3t] T = to samo w
[wzory |0] || pionie i wyliczt( ) i s( ) t,s∈R A={t(1)+s(2):t,s∈R} stad A=lin{ (1),(2) } lin{e1,e2}
**sprawdzamy czy wektor e1,e2 sa liniowo niezależne Załóżmy ze λ1*e1+λ2*e2=0=>(pion z `λ') =(pion:zera)=> wyznaczamy λ1, λ2 itd. Wykazaliśmy że (λ1*e1+λ2*e2=0 => λ1=λ2=0 .Krok 1 i 2 dowodzą ze wektory (pion)(pion) stanowią bazę podprzestrzeni A.
R2: B1={(-1,2),(1,1)} B2={(3,1),(1,-2)} x∈ R2 ma współrzędne (4,1) w B1 (x=(-1,3)B1). Oblicz wektor w B2 a) ukl. r-n. b) p->B1=>2 c) odwr a) (4,1)=λ1(wek1)+λ2(wek2). i pozniej 4=3λ1+λ2 drogi i spinam klamra. Licze x i y -> i to jest ten nowy wektor
b) licze P=B1-1*B2 ; P-1 i mnożę razy wektor z B1 (-1,3) i mam wektor w B2
c) licze P=B2-1*B1 ; P i mnożę razy wektor z B1 (-1,3) i mam wektor w B2
Dla jakich wart. param. a∈R wekt(a,1)∈R2 jest kombin. liniowa wekt (2,a2) (1,2). Kiedy kombinacja taka jest jednoznaczna.
λ1(pion: 2/a2)+λ2(pion: ˝)=(pion: a/1) ->ukl. rownan 2λ1+λ2=a i ten drugi
Robie z tego macierz A i licze wyznacznik W(A), i wyznaczam `a' z det'a
Licze W(x)=costam -> x=W(A)/W(x) - to jest λ1, i tak dla y-to λ2…
10 licze dla tego co mam z W(A), 20 to samo dla drugiej liczby.
Dla a=t i a=s brak rozwiązan. Istnieje jedno rozwiązanie dla R\{to z w(a)} Rowne x=… y=…
f:R2->R2 jest dane w bazie: e1=(5,1) e2=(5,1) przez macierz A: [ ] Znaleźć macierz odwrotna w bazie e'1,e'2 P=Bs-1*BN A'= P-1*A*P x-1 = 1/(ad-bc)[d -b / -c a]
_________00___300___450___600___900 r=sqrt(a^2+b^2) cosΦ=a/r sinΦ=b/r
| sin od 0 | 0 | ˝ | p2/2 | p3/2 | 1 |
|cos od 1 | 1 | p3/2 | p2/2 | 1/2 | 0 |
|__________|_ Π/6_|_Π/4__| Π/3 __| Π/2|
Odwzor. R2 ->R2 ma wekt wl (2,1)(1,-2) oraz odpow. im wartości wlasne 2 i -3. Oblicz f(1,0)
[ab] [2] = 2 (2) | na dole [ab] [1] = -3 (1) | robie ukl rownan i wyliczam
[cd] * [1] = (1) | [cd] * [-2] = (-2) | a,b,c,d, pisze maciez i Transp. i mam A'. [a-to x ; c-to y]
[b-to x ; d-to y] f(x,y)=(ax+cy;bx=dy) a za x,y pods (1,0) czyli f(x,y)
Zbadać określoność formy kwadratowej ∅(x,y,z=x2+y2+z2+3z+2xy-2xz-4yz Czy może przyjąć wartości ujemne. 1. macierz. (ale (x,y,z) do kwadratu!) 2. det(lew.gor.rog)=p Det(kwa od lew.gor.rogu)=p |q; det(else)=r.3.pqr+ ->+// jak - ujemne Jak rożne to nieokre
Podać bazę wek. wl. odwzor. f:R2R2 danego wzoru: f(x,y)=(0,1x+0,8y;0,9x-0,2y) f*10 -> f(x,y)=(1x+8y;9x-2y) A=[macierz np 3x3] det=(A-λI) A=det [macierz 3x3] i odejmujemy λ (tj -1) i wyznaczamy λ. Później robimy np. 10 λ=1 i robimy macierz [9 8][x]=[0] i dół. [1 0 t]*[x/y]=[0] parametr np. x=t ,t∈R i obliczam x, y, z (pion) = [parametr] = t(liczby), t∈R\{0} a później to samo dla innych kroków a na koniec piszemy V1( ) V2( ) V3( ) - to jest ta postać. Macierz A' [po przekątnej piszemy te λ (obliczone) a reszta to zera].
Dane jest odwzor liniowe f:R4->R3 wzorem f(x,y,z,t)=(x+y-z+t, x-y+z+t,x-+t) Podac bazy jadra i obrazu f. 1. f: przepisuje. 2.f:v->w f liniowa -> dim(ker f)+dim(im f)=dimV wyznaczmy kerf kerf={(xyzt)∈ R4 : f(xyzt)=(000)}!!!3 zera!! ={(xyzt)∈ R4 : x+y-z+t=0, x-y+z+t=0, x+t=0} - z tego robie macierz i parametr(pion:xyzt) -> (λλλλ)=λ1(1001)+λ2(1020)- i podpisuje je jako e1, e2 λ1,λ2∈R stąd wektory e1, e2 generują kref // Spr czy e1,e2 sa liniow niezale; z (xyzt) mam {pion:-b=0/a=0/a=0/b=0 => a=0/b=0 stąd e1,e2 sa linio niezale.
Wykazaismy ze e1,e2 generuja kerf oraz ze e1,e2 sa liniowo niezalezne wiec stwierdzam ze tworza kerf=2 /// Wyznaczmy imf: imf={(xyzt)T∈R4: (xyzt)∈R4}= `'z gl. wzoru-liniowo” ={(x/x/x)(y/-y/0)(-z/z/0)(t/t/t):(xyzt∈R}={x(1/1/1)+y(1/-1/0)+z(-1/1/0)+t(1/1/1)=(xyzt)∈R4}
pisze macierz z tego wyzej ale zmieniam pion na poziom (dol w prwao). i przep wekt z param stad imf={λ1(1/1/1)+λ2(-1/1/0);λ1,λ2λ∈R} `'podpisuje wekroty” stad wetory b… generuja imf. Sprawdzmy czy b1, b2 sa liniow niezależ {c-d=0 / c+d=0 / c=0 => c=d=0 stad b1, b2 sa liniowo niezależne c,d∈R c,d biore z ww wektorow. /// Wykazaliśmy ze b1, b2 generuja imf oraz b1,b2 sa liniowo niezależne wiec stwierdzamy ze b1,b2 tworza baze imf.
dim(kerf)+dim(imf)=dim R4 odp. Baze kerf stanowi (0/1/1/0)(-1/0/0/1) a baze imf
2 2 4 stanowi (1/1/1)(-1/1/0)