Kinematyka i Dynamika

Bogdan Wilczyński

Koszalin, 1994

Pojęcia podstawowe

Dynamika - badanie związków między ruchem ciał a siłami na to ciało działającymi.

Kinematyka - badanie ruchu ciał bez uwzględnienia przyczyn wywołujących ruch.

Ruch - zmiana połoźenia ciała względem innego ciała, zwanego ciałem odniesienia. Ciało odniesienia może być ruchome, lub nieruchome. Z ciałem odniesienia związany jest układ odniesienia (układ współrzędnych).

Ruch odbywa się w czasie i przestrzeni. Są to pojęcia pierwotne, których się nie definiuje.

Przestrzeń - przestrzeń trójwymiarowa, w szczególnym przypadku przestrzeń dwu- lub jednowymiarowa.

Czas - zbiór chwil, tak jak prosta składa się z punktów. Czas nie zależy od układu odniesienia, oraz jest nieograniczony, tzn. "płynie" od przeszłości do przyszłości.

Przedział czasu - gęsty i ciągły zbiór chwil zawarty między dwiema chwilami.

t = t2 - t1

t0 - chwila początkowa, zwykle t0 = 0.

Tor - linia jaką zakreśla w przestrzeni poruszający się punkt.

Rys.

Modele ciał materialnych

P-kt materialny Układ p-któw materialnych Ciało sztywne

Rys.

Kinematyka punktu materialnego (p.m.)

Sposoby opisu ruchu p.m.

Położenie punktu materialnego w przestrzeni Euklidesa (E3 ) opisujemy za pomocą:

1) współrzędnych naturalnych

2) współrzędnych kartezjańskich (prostokątnych)

3) promienia-wektora

4) współrzędnych biegunowych

5) innych współrzędnych, np. walcowych.

1) Opis ruchu w układzie naturalnym

Rys.

2) Opis ruchu w układzie kartezjańskim jedno- dwu- lub trójwymiarowym

Ruch prostoliniowy. Do opisu położenia p.m. wystarczy układ jednowymiarowy Ox.

Ruch krzywoliniowy. Do opisu wystarczy układ dwuwymiarowy, jeśli ruch odbywa się w jednej płaszczyżnie, lub trójwymiarowy. Położenie punktu M na torze określają dwie (w przestrzeni trzy) współrzędne x i y zależne od czasu:

x = x(t) y = y(t)

3) Opis ruchu za pomocą wektora-promienia r

Dany jest tor punktu M. Położenie tego punktu na torze, w dowolnej chwili t możemy opisać za pomocą wektora r wychodzącego z dowolnie obranego punktu (punkt, ciało odniesienia) O. Przy ruchu p-ktu M wektor r (wektor-promień) zmienia swój moduł i kierunek. Zmiana wektora r jest więc funkcją czasu t.

r = r(t)

tor punktu M (hodograf wektora r)

Z rys. mamy, że

r = r(t) = x i + y j, gdzie i, j - wersory.

Wyznaczanie prędkości i przyspieszeń

1) Gdy ruch jest opisany za pomocą wektora-promienia

Niech poruszający się punkt M znajduje się w chwili t w położeniu określonym wektorem r1, a w chwili t+t w położeniu M określonym wektorem r2 = r + r.

W czasie t wektor-promień r doznał przyrostu o wielkość r = r2 - r1. Stosunek przyrostu r do przyrostu t określamy jako prędkość średnią punktu

r/t = vśr

Wektor prędkości średniej jest skierowany wzdłuż wektora r. Przechodząc do granicy otrzymujemy wektor prędkości chwilowej v.

Def. Prędkość punktu jest wektorem określonym przez pierwszą pochodną wektora-promienia względem czasu, skierowanym wzdłuż stycznej do toru (hodografu wektora r).

Załóżmy, że w chwili t1 punkt znajduje się w położeniu M i ma prędkość v1, w chwili t2 w położeniu M i ma prędkość v2 , i.t.d.

Obieramy dowolny biegun O i przenosimy doń równolegle wszystkie wektory prędkości. W czasie t nastąpił przyrost wektora prędkości o wielkość v. Stosunek przyrostu wektora prędkości v do przyrostu czasu t nazywamy przyspieszeniem średnim punktu:

v/t = aśr

Przechodząc do granicy otrzymujemy:

Ostatecznie:

a = v = r.

Uwaga! - pierwsza pochodna względem czasu, - druga pochodna względem czasu.

Przyspieszeniem nazywamy wektor dany przez pierwsza pochodną wektora prędkości, lub drugą pochodną wektora-promienia względem czasu, skierowanym wzdłuż stycznej do hodografu wektora prędkości.

Podsumowanie. Poruszający się punkt M, którego położenie określa wektor-promień r, ma danej chwili t prędkość v styczną do toru (hodografu wektora r) i przyspieszenie a styczne do hodografu wektora prędkości. Wektory v i a nie pokrywają się. Wyjątkiem jest ruch prostoliniowy.

2) Gdy ruch opisują współrzędne kartezjańskie

Przyjmujemy w punkcie O (punkt odniesienia) kartezjański układ współrzędnych Oxy (Oxyz w przestrzeni trójwymiarowej). Jeżeli przez i, j, k oznaczymy wersory na odpowiednich osiach układu współrzędnych, to wektor-promień można przedstawić następująco:

r = r(t) = x i + y j (+ z k w układzie 3-ch osi).

Ponieważ wektor r = r(t) jest funkcją czasu, jego składowe równe współrzędnym punktu M są również funkcjami czasu:

x = x(t), y = y(t) (z = z(t)).

Powyższe równania noszą nazwę parametrycznych równań ruchu. Z powyższych równań rugując parametr t otrzymujemy równanie toru

f(x,y) = 0, lub f(x,y,z) = 0.

Z definicji prędkości mamy:

v = r = x i + y j = vx i + vy j,

gdzie: vx = dx/dt, vy = dy/dt są składowymi wektora prędkości v.

Moduł wektora prędkości wynosi:

v = (vx2 + vy2),

a kierunek wyznacza kąt , którego tangens wynosi:

tg = vy/vx.

Składowe wektora prędkości w układzie kartezjańskim równe są pierwszym pochodnym względem czasu odpowiednich współrzędnych poruszającego się punktu.

W układzie trójwymiarowym mamy jedną składową prędkości więcej (składowa vz), a do wyznaczenia kierunku wektora prędkości v obliczamy kosinusy kierunkowe, cos(v,x) = vx /v, i.t.d.

Analogicznie wyznaczamy składowe przyspieszenia a.

Z definicji:

a = v = vxi + vy j = xi + yj = axi + ayj,

gdzie: ax = vx = x, ay = vy = y są składowymi wektora przyspieszenia, a kierunek wektora przyspieszenia a określa kąt , którego tangens wynosi: tg = ay /ax.

Trzecia składowa az wektora przyspieszenia a występuje gdy ruch odbywa się w przestrzeni trójwymiarowej.

Składowe przyspieszenia a w układzie kartezjańskim równe są pierwszym pochodnym względem czasu składowych prędkości tego punktu, czyli drugim pochodnym względem czasu odpowiednich współrzędnych.

Przykład

Dane są równania ruchu: x = rsinkt, y = rcoskt. Zbadać ruch punktu w dowolnej chwili t. (a - dowolny parametr)

1) Równanie toru:

Równania parametryczne ruchu dzielimy obustronnie przez a, i dodajemy stronami:

x2 + y2 = r2 (torem okrąg o promieniu a)

2) Prędkość:

Składowe prędkości po zróżniczkowaniu równań ruchu:

vx = rksinkt, vy = rkcoskt.

Moduł wektora prędkości:

v = ((r k sinkt)2 + (r k coskt)2) = rk = const.

3) Przyspeszenie:

Składowe wektora przyspieszenia: ax = rk coskt = k x, ay = rk sinkt = k y.

Moduł wektora przyspieszenia: a = ((k x)2 + (k y)2) = kr = const.

Przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do promienia koła i skierowane do środka okręgu.

3) Gdy ruch opisują współrzędne naturalne.

Z poruszającym się punktem M związany jest układ współrzędnych naturalnych: oś styczna t, skierowana w kierunku ruchu, oś normalna n skierowana do środka krzywizny (w ruchu przestrzennym oś binormalna b).

Polożenie. Położenie punktu M na torze wyznacza współrzędna łukowa s.

Stąd prawo ruchu zapisujemy następująco:

s = s(t).

Prędkość. Ponieważ ruch odbywa się w płaszczyźnie ściśle stycznej, wektor prędkości pokrywa się zawsze z kierunkiem osi stycznej.Wartość wektora prędkości średniej liczymy ze wzoru:

vśr = s/t,

natomiast wartość prędkości chwilowej, dla dowolnej chwili t, ze wzoru v = lim s/t = s.

Wektor prędkości możemy zatem zapisać: v = v,

gdzie t jest wersorem na osi .

Przyspieszenie. Można wykazać, źe przyspieszenie punktu jest wektorem leżącym w płaszczyżnie osi n (płaszczyżnie ściśle stycznej). Różniczkując względem czasu wyrażenie na prędkość v mamy:

a = v = v + v . (v = dv/dt, = d/dt)

Ale

d/dt = dds/dtds = ds/dt d/ds = v n/

gdzie: d/ds = n/ (wzór Freneta).

a jest promieniem krzywizny w punkcie M.

Ostatecznie mamy: a = a + an n,

gdzie:

a = v = s - nazywamy przyspieszeniem stycznym,

an = v2/ - nazywamy przyspieszeniem normalnym.

Wartość przyspieszenia całkowitego liczymy ze wzoru: a = (a2 + an2).

Zarówno wektor prędkości v jak i wektor przyspieszenia a we współrzędnych naturalnych przedstawiono na rys. poniżej

Ruch po okregu koła.

W ruchu po okręgu koła definiuje się następujące pojęcia:

Predkość kątowa:

śr = /t - prędkość kątowa średnia,

= lim /t , gdy t 0 - prędkość kątowa chwilowa,

śr = /t - przyspieszenie kątowe średnie,

= lim /t , gdy t 0 - przyspieszenie kątowe chwilowe,

Wtedy ponieważ

s = r,

to po zróźniczkowaniu

v = sr = r,

Stąd składowe przyspieszenia:

a = v = r = r

an = v2/r = 2r.

Ruch złożony punktu - terminologia, podstawowe zależności kinematyczne

Oxy - układ bezwzględny

A - układ ruchomy

- prędkość kątowa układu ruchomego

Ruch punktu M względem układu nieruchomego nazywamy ruchem bezwzględnym.

Ruch punktu M wzgledem układu ruchomego nazywamy ruchem względnym.

Ruch układu ruchomego wzgledem układu nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia.

W dowolnej chwili połóżenie ruchomego punktu M możemy określić za pomocą promieni-wektorów spełniających zależność

r = rA + .

Wyznaczanie predkości w ruchu złożonym.

W ruchu złożonym prędkość bezwzględna jest sumą geometryczną prędkości względnej i prędkości unoszenia:

v = vr + ve.

Wyznaczanie przyspieszenia w ruchu złożonym.

W ruchu złożonym przyspieszenie bezwzględne jest sumą geometryczną przyspieszenia względnego, przyspieszenia unoszenia oraz przyspieszenia Coriolisa:

a = ar + ae + ac

gdzie: ac = 2v - przyspieszenie Coriolisa.

Przykład

Wzdłuż pręta OA porusza się suwak M ze stała prędkością w. Znaleźć prędkość i przyspieszenie bezwględne suwaka w chwili, gdy znajduje się on w odległości r od osi obrotu O preta OA obracającego się ze stałą prędkością kątową .

Prędkość względna:

vr = w.

Prędkość unoszenia:

ve = r.

Prędkość bezwzględna:

v = (vr2 + ve2) = ( w2 + 2r2).

Przyspieszenie wzgledne: ar = 0, bo w = const.

Przyspieszenie unoszenia:

ae = 2r.

Przyspieszenie Coriolisa:

ac = 2w, bo sin kąta pomiędzy wektorami a w wynosi 90o.

Przyspieszenie bezwzględne:

a = (a + a) = (4r2 + 42w2).

Dynamika punktu materialnego (p.m.)

Dynamika opiera się na prawach Newtona, a w szczególności na drugim prawie. Można wykazać, źe prawa Newtona są słuszne w układach odniesienia poruszających się ruchem jednostajnie prostoliniowym (układy odniesienia Galileusza lub inercjalne)

I prawo (prawo bezwladności)

Jeśli suma sił działających na p.m. jest równa zeru, to ciało porusza się ze stałą prędkością, lub pozostaje w spoczynku.

II prawo

Oznaczenie: p = mv - pęd (ilość ruchu).

Zmiana pędu w czasie jest równa sile działającej i zachodzi w kierunku działania siły.

d(mv)/dt = W, gdzie: W = Pi , i = 1,...,n

jest wypadkową układu sił działających na punkt :

Gdy m = const

mdv/dt = W.

Ponieważ, z definicji: dv/dt = a

to

ma = W.

III prawo (prawo akcji i reakcji)

Dwa punkty materialne oddziaływują na siebie z siłami równymi co do wielkości lecz skierowanymi przeciwnie.

Formułowane są jeszcze:

Prawo powszechnego ciążenia.

Zasada niezależności działania sił.

Typy zagadnień występujących w dynamice.

Zagadnienia dynamiki, które symbolicznie przedstawiono na rys. dzielimy na dwa podstawowe typy:

1) proste - Dany jest ruch ciała. Wyznaczyć siły działające.

2) odwrotne - Dane są siły działające. Zbadać ruch.

Ruch p.m. może być:

- swobodny, tj. odbywa się pod działaniem siły, i nie podlega oddziaływaniu więzów,

- nieswobodny, tj. taki, na ruch którego nałożono więzy.

Przykłady ruchu swobodnego:rzut pionowy, rzut poziomy, rzut ukośny.

Przykłady ruchu nieswobodnego:

a) pierścień o masie m poruszający się wzdłuż prostego pręta pod działaniem siły nachylonej pod kątem do pręta,

b) p.m. poruszajacy się w niecce o promieniu r,

c) wahadło matematyczne

BADANIE ZAGADNIEŃ W RUCHU PROSTOLINIOWYM PUNKTU SWOBODNEGO

Punkt materialny o masie m porusza się po linii prostej pod działaniem siły P

Równanie dynamiczne ruchu ma postać (II prawo Newtona):

ma = mx = P(t,xx),

gdzie siła P zależy w ogólności od czasu t, położenia x, oraz prędkości x.

Równanie ruchu jest równaniem różniczkowym zwyczajnym, którego rozwiązanie ogólne ma postać:

x = x(t,C1,C2),

gdzie C1 i C2 są stałymi całkowania wyznaczanymi z warunków początkowych (dla t = 0, x = xo , x = vo).

PRZYKŁADY

Przykład gdy na p.m. działa stała siła.

Spadek swobodny punktu z pominięciem oporu powietrza.

Wygodniej jest zapisać równanie:

mdv/dt = mg

Po dwukrotnym scałkowaniu:

x = h = gt2/2, oraz v2 = 2gh.

Przykład gdy na p.m. działa siła zależna od czasu.

1) Znależć równanie drogi p.m. na który działa siła P = Posinkt (Po, k - dowolne stałe). Warunki początkowe: t = 0, x0 = 0, vo = 0.

Równanie dynamiczne ruchu:

mdv/dt = P0 sinkt

Rozwiązanie równania ruchu (pozostawia się czytelnikowi):

2) Ciało o ciężarze P = 10 kG porusza się pod działaniem siły F = 10(1-t) kG, gdzie t w sekundach. Po ilu sekundach ciało zatrzyma się. Warunki początkowe: t = 0, x0 = 0, v0 = 20 cm/s.

Równanie ruchu:

mdv/dt = 10(1-t) .

Przykład gdy siła jest funkcją prędkości

1) Na p.m. spadający pionowo w dół pod działaniem siły ciężkości działa siła oporu powietrza R = kv, gdzie v jest prędkością spadającego p.m., a k dowolną stałą. Zbadać ruch przyjmując warunki początkowe: dla t = 0, vo = 0, xo = 0.

Równanie ruchu:

mdv/dt = mg - kv

2) Stateczek o wyporności 10T porusza się z prędkością 16 m/s. Opór wody wynosi R = kv . Jaką drogę przebędzie stateczek, zanim prędkość spadnie do 4 m/s. W jakim czasie przebędzie tę drogę. Warunki początkowe: dla t = 0, vo = 16 m/s, xo = 0.

Odp. Droga przebyta w czasie t = 6.4 s: x = 47.1 m.

Przykład gdy siła jest zależna od położenia p.m.

Zbadać ruch tzw. oscylatora harmonicznego (masa połączona ze sprężyną, w której siła jest wprost proporcjonalna do wydłużenia sprężyny)

Równanie ruchu oscylatora harmonicznego:

mx = - kx, lub x + o2 x = 0, gdzie o2 = k/m.

Rozwiązanie:

Poszukuje się rozwiązania w postaci:

x = C1 sinot + C2 cosokt,

gdzie stałe C1 i C2 wyznaczamy z warunków początkowych (t=0, x=xo ,v=vo)

Ponieważ mamy do wyznaczenia dwie stałe, a jeden z warunków początkowych dotyczy prędkości, różniczkujemy równanie ruchu:

x = C1 ocost - C2 osint.

Uwzgledniając warunki początkowe otrzymujemy dwa równania:

xo = 0 + C2 1,

vo = C1 o 1 + 0.

Stąd: C1 = v /o, C2 = x o.

Ostatecznie otrzymujemy następujące rozwiązanie:

x = vo/o sinot + xocosot.

Wielkość o jest nazywana częstością drgań własnych.

BADANIE ZAGADNIEŃ W RUCHU KRZYWOLINIOWYM PUNKTU SWOBODNEGO

Na swobodny punkt materialny działa siła W. Zakładamy, że ruch odbywa się w płaszczyżnie xy.

Równanie dynamiczne ruchu:

ma = W,

lub skalarnie: mx = Wx, my = Wy .

W ogólnym przypadku W = W(t,r,v), czyli

Wx = Wx (t,x,y,x,y), Wy = Wy (t,x,y,x,y).

Rozwiązanie ogólne:

x = x(t,C1 ,C2, C3 ,C4 ), oraz y = y(t,C1 ,C2 ,C3 ,C4).

Stałe całkowania Ci wyznaczamy z warunków początkowych: t = 0, x = x , y = y , x = v, y = v .

PRZYKŁAD. Rzut ukośny.

Odwołanie do dowolnego podręcznika z Mechaniki Ogólnej

Gdy ruch punktu jest badany w naturalnym układzie współrzędnych:

Równania różniczkowe ruchu mają postać:

m a = W , m an = Wn (patrz kinematyka p.m.)

PRZYKŁAD. Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne jest to p.m. zawieszony na cienkiej, doskonale wiotkiej i nierozciągliwej nici. Wahadło wychylamy od pionu, a następnie oswobodzamy.

Kąt określa położenie wahadła

Równanie ruchu: ma = - mgsin, a = l = l,

Po przekształceniu równania ruchu: + g/l sin = 0.

Dla małych , sin .

Ostatecznie: + o2 = 0, gdzie: o2 = g/l.

Wahadło matematyczne jest oscylatorem harmonicznym (Patrz przykład wyżej).

Czas jednego wahnięcia (okres drgań):

oT = 2.

Stąd: T = 2/o = 2 (l/g).

OGÓLNE ZASADY DYNAMIKI

1) Zasada pędu

2) Zasada zachowania pędu

3) Zasada zmienności energii kinetycznej (zasada pracy)

4) Zasada zachowania energii mechanicznej

5) Zasada zmienności momentu pędu (zasada krętu)

6) Zasada zachowania krętu

---