Wykład 7: Wybrane rozkłady typu ciągłego
(dokończenie)
4) Rozkład Laplace'a (dwustronny wykładniczy)
, x ∈ R, λ > 0 ,
EX = μ = M = m,
Var(X) = 2λ2.
5) Rozkład Rayleigha - ciągły rozkład prawdopodobieństwa powstający jako rozkład długości wektora na płaszczyźnie, którego składowe X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym.
Jest używany m.in. w elektronice. Odległość strumienia elektronów na kineskopie od celu (środka plamki luminoforu) jest funkcją niezależnych błędów o rozkładzie normalnym, związanych z odchylaniem poziomym i pionowym.
f(x) =
, x ≥ 0
F(x) =
, x ≥ 0
Rozkład Rayleigha |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) Rozkład Maxwella
, x ≥ 0, λ > 0 ,
.
7) Rozkład Weibulla - ciągły rozkład prawdopodobieństwa często stosowany w analizie przeżycia do modelowania sytuacji, gdy prawdopodobieństwo śmierci/awarii zmienia się w czasie.
Może on w zależności od parametrów przypominać zarówno rozkład normalny (dla k = 3.4) , jak i rozkład wykładniczy (sprowadza się do niego dla k = 1).
f(x) =
, x ≥ 0
F(x) =
, x ≥ 0
Parametr k rozkładu określa zachowanie prawdopodobieństwa awarii (śmierci) w czasie:
dla k < 1 prawdopodobieństwo awarii (śmierci) maleje z czasem. W przypadku modelowania awarii urządzenia sugeruje to, że egzemplarze mogą posiadać wady fabryczne i powoli wypadają z populacji.
dla k = 1 (rozkład wykładniczy) prawdopodobieństwo jest stałe. Sugeruje to, że awarie mają charakter zewnętrznych zdarzeń losowych.
dla k > 1 prawdopodobieństwo rośnie z czasem. Sugeruje to zużycie części z upływem czasu jako główną przyczynę awaryjności.
Parametr λ można zinterpretować jako czas po którym zginie
osobników.
|
|
|
|
|
8) Rozkład beta - w statystyce i teorii prawdopodobieństwa ciągły rozkład prawdopodobieństwa dany funkcją gęstości zdefiniowaną na przedziale [0,1] wzorem
=
W specjalnym przypadku, kiedy α = β = 1, rozkład beta przyjmuje postać standardowego rozkładu jednostajnego.
.
Rozkład beta |
|
|
|
|
|
|
9) Rozkład Erlanga - ciągły rozkład prawdopodobieństwa, związany z rozkładem wykładniczym i rozkładem gamma. Rozkład Erlanga został opracowany przez A. K. Erlanga do szacowania liczby rozmów telefonicznych, łączonych jednocześnie przez operatora w ręcznej centrali telefonicznej. Później uwzględniono również czas oczekiwania w kolejce. Obecnie rozkład ten znalazł też zastosowanie w teorii procesów stochastycznych.
f(x) =
k = 1: rozkład wykładniczy
Rozkład Erlanga |
|
|
|
|
|
|