CAŁKA POTRÓJNA Niech D->obszar regularny na pł.OXY,wtedy obaszar ogranicozny i domknięty Ω nal.R3 Gdzie h(x,y) i g(x,y) są ciągłe na D i h<g,dla x,y z D Jeżeli fun.f zmiennych x,y,z (f(x,y,z,)) jest ogranicozna i ciagła na tym obszarze to: [[[f(xyz)dxdydz=def= [[(po D)[(od f(xy0 do g(xy))f(xyz)dzdydz Istnienie c.potrójn->fun.podcalkowa musi być ogr.na zb.całkowania,ale nie musi być ciagła na całym obszarze. Jeżeli f jest fun.ogr. na Ω i jej wszytskie punkty nieciąlości leżą na skoncoz ilosci płatów powierzchniowych o równianiach: z=z(x,y),y=y(x,z),x=x(y,z) zawartych na ob.Ω to c.potójna [[[ f dxdydz isnieje. Właśności c.potrójnej:a)<objętość bryły>b)liniowość-niech istnieją caki funkci f1 i f2 w ob.normlalnyn Ω,wtedy dla dowolnych liczb α,β zachodzi: Rozpisac sume całek, α i β przed [[[ c)addywność wzg ob.całkownaia-jeżeli Ω nal.R3,jest suma skońcoznej liczby ob. normlanych względem 1 z płaszczyzn ukł.o parami rozłącznych wnętrzach d)jeżeli f jest całkowalna na ob.normlanym oraz f(x,y,z)≥0 dla (x,y,z) nal Ω,to: [[[f>=0 e)jeżeli f-jest całkowalna na ob.normalnym Ω,to: M=sup(f(P)),P nal.Ω,|Ω|-obj.bryły Ω CAŁKA KRZYWO -LINIO równanie wektorowe łuku L:r=r(t),α≤t≤β,gdzie w R3:r(t)=[x(t),y(t),z(t)] na pł. <to samo bez z> Całka k.niezorientowana fun.f=f(P),ciągłej na łuku gładkim L:r=r(t),α≤t≤β,nazywamy liczbę,która oznaczamy symbolem:[(po L)f(p)dl =[(α do β)f(r(t))*|r'(t)|dt Własności c.k.:Jeżeli itnieją całki :[(po L)f(p)dl i [(po L)g(p)dl 1) [g+f = [g+[f 2) [cf=c[f 3) |[f|≤[|f|≤M*l f ciągła M=max z f(p) L-dł luku SZEREGI dany jest nieskońcozny ciąg liczb rzeczywistych{an}=a1,a2…(zbiezny lub rozbiez). Tworzymy nowy ciąg{Sn}:S1=a1,S2=a1+a2…,Sn=a1+...+an(n nal.N≥2).Szeregiem liczbowym nazywamy parę ciągów({an},{Sn}),oznaczamy:Σan=a1+a2+…(an-n-ty wyraz szeregu,Sn= n-ta suma częściowa szeregu) Warunek konieczny zbieznosc szeregu Jeżeli szereg Σan jest zbieżny to lim an=0.Dówód: Lim an = Lim Sn -Lim S(n-1) = S-S =0 Wniosek(Kryteriumn rozbiezności):Jeżeli lim an≠0 to Σan jest rozbieżny |
|
Zbieżność: 1) Szereg o wyrazach Σan nazywamy zbieznym,jeżeli zbieżny jest jego ciąg sum przejsciwoych{Sn},czyli istnieje taka skońcozna granica lim Sn. 2)Jeżeli lim Sn=S,to S->suma szeregu: Σan=S 3)Jeżeli Sn nie ma granicy właściwej,to szereg Σan nazywamy rozbieżnym. Σan=s <=> (dla kaz) E>0 (ist) delta=delta(E)>0 (dla kaz) n>del N |Σ(od k=1 do n)ak-s|<E Reszta szeregu:Mamy szeregi:(α)Σ(k=1) ak=a1+a2+…,(β)Σ(k=n+1) ak=a(n+1)+a(n+2)+… jest to tzw reszta ciągu alfa, Rn =ozn+Σ(k=n-1)aK=Sn+Rn=S Rn=S-Sni KRYTERIA PRÓWNAWCZE Niech 0≤an≤bn (α)test zbieżności:Jeżeli Σ(n=n0)bn jest zbieżny,to Σ(n=1)an jest zbieżny, (β)test rozbieżności:Jeżeli Σ(n=n0)an jest rozbieżny,to Σ(n=1)bn jest także rozbieżny KRYTERIA PRÓWNAWCZE(w wersji limesowej) Niech dane są 2 szeregi o wyrazach dodatnuch Σan i Σbn,dla n≥n0.Jeżeli istnieje lim an/bn=k,0≤k≤∞,to oba szeregi są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne. KRYTERIUM CAŁKOWE (zbieżnosci/rozbieżnosci szeregu) Niech n0 oznacza dowloną l.nat.Jeżeli fun.f jesy nieujemna i nie rosnaca na przedziale[n0,+∞],to całka istnieje,wtedy szereg Σ(n=n0)f(n) jest zbieżny. SZEREGI O WYRAZACH DOW.ZNAKÓW:Szereg Σ(1)an=a1+a2+…nazywa się względnie zbieżnym(absoutnie zbieżnym,gdy zbueżny jest szereg Σ(n=1)|an|=|a1|+|a2|=…ZBIEŻNOŚĆ BEZWGLĘDNA Jeżeli Σ|an| jest zbieźny,to także Σan jest zbieżny(i to bezwględnie) WŁ.SZEREGU ZBIEŻNEgo BEZWG. Niech(mn)=m1,m2,… oznacza dowolną permutację zbioru liczb nat.Jeżeli Σ(n=1)an jest zbieżny bezwględnie to szereg Σ(n=1)amn,otrzymany przez dowoln zmianę kolejnosci wyrazów jest zbieżny,oraz:Σ(n=1)an jest równ Σ(n=1)Σamn KYTE d'ALEMBERTA Jeżeli dla szeregów Σan,wszytskie wyrazy są różne od 0 oraz lim |an+1/an|=q,to gdy: 0≤q,1,to szereg jest zbieżny bezwględnie,1<q<∞,to jest rozbieżny,q=1,to nie rozstrzyga KYTERIUM PIERWIASTKOWE CAUCHY'ego Niech dla szeregu Σan to z pierwiastkiem limes = q ,to gdy 0≤q,1,to szereg jest zbieżny bezwględnie,1<q<∞,to jest rozbieżny,q=1,to nie rozstrzyga 1)|sinx|≤1 2)z |cosx|≤1 0≤|sinx|≤|x| 3)r sinx>∏/2 ~x>0 4)z 0<lnx<x ~x>1 5)r lnx>1 ~x>3 6)0<xctgx<2x 7)r cos<1/2 ~0<x<1 8)r 0<x<tgx ~0<x<∏/2 9)z 0<tgx<1
|
|
CAŁKA POTRÓJNA Niech D->obszar regularny na pł.OXY,wtedy obaszar ogranicozny i domknięty Ω nal.R3 Gdzie h(x,y) i g(x,y) są ciągłe na D i h<g,dla x,y z D Jeżeli fun.f zmiennych x,y,z (f(x,y,z,)) jest ogranicozna i ciagła na tym obszarze to: [[[f(xyz)dxdydz=def= [[(po D)[(od f(xy0 do g(xy))f(xyz)dzdydz Istnienie c.potrójn->fun.podcalkowa musi być ogr.na zb.całkowania,ale nie musi być ciagła na całym obszarze. Jeżeli f jest fun.ogr. na Ω i jej wszytskie punkty nieciąlości leżą na skoncoz ilosci płatów powierzchniowych o równianiach: z=z(x,y),y=y(x,z),x=x(y,z) zawartych na ob.Ω to c.potójna [[[ f dxdydz isnieje. Właśności c.potrójnej:a)<objętość bryły>b)liniowość-niech istnieją caki funkci f1 i f2 w ob.normlalnyn Ω,wtedy dla dowolnych liczb α,β zachodzi: Rozpisac sume całek, α i β przed [[[ c)addywność wzg ob.całkownaia-jeżeli Ω nal.R3,jest suma skońcoznej liczby ob. normlanych względem 1 z płaszczyzn ukł.o parami rozłącznych wnętrzach d)jeżeli f jest całkowalna na ob.normlanym oraz f(x,y,z)≥0 dla (x,y,z) nal Ω,to: [[[f>=0 e)jeżeli f-jest całkowalna na ob.normalnym Ω,to: M=sup(f(P)),P nal.Ω,|Ω|-obj.bryły Ω CAŁKA KRZYWO -LINIO równanie wektorowe łuku L:r=r(t),α≤t≤β,gdzie w R3:r(t)=[x(t),y(t),z(t)] na pł. <to samo bez z> Całka k.niezorientowana fun.f=f(P),ciągłej na łuku gładkim L:r=r(t),α≤t≤β,nazywamy liczbę,która oznaczamy symbolem:[(po L)f(p)dl =[(α do β)f(r(t))*|r'(t)|dt Własności c.k.:Jeżeli itnieją całki :[(po L)f(p)dl i [(po L)g(p)dl 1) [g+f = [g+[f 2) [cf=c[f 3) |[f|≤[|f|≤M*l f ciągła M=max z f(p) L-dł luku SZEREGI dany jest nieskońcozny ciąg liczb rzeczywistych{an}=a1,a2…(zbiezny lub rozbiez). Tworzymy nowy ciąg{Sn}:S1=a1,S2=a1+a2…,Sn=a1+...+an(n nal.N≥2).Szeregiem liczbowym nazywamy parę ciągów({an},{Sn}),oznaczamy:Σan=a1+a2+…(an-n-ty wyraz szeregu,Sn= n-ta suma częściowa szeregu) Warunek konieczny zbieznosc szeregu Jeżeli szereg Σan jest zbieżny to lim an=0.Dówód: Lim an = Lim Sn -Lim S(n-1) = S-S =0 Wniosek(Kryteriumn rozbiezności):Jeżeli lim an≠0 to Σan jest rozbieżny |
|
Zbieżność: 1) Szereg o wyrazach Σan nazywamy zbieznym,jeżeli zbieżny jest jego ciąg sum przejsciwoych{Sn},czyli istnieje taka skońcozna granica lim Sn. 2)Jeżeli lim Sn=S,to S->suma szeregu: Σan=S 3)Jeżeli Sn nie ma granicy właściwej,to szereg Σan nazywamy rozbieżnym. Σan=s <=> (dla kaz) E>0 (ist) delta=delta(E)>0 (dla kaz) n>del N |Σ(od k=1 do n)ak-s|<E Reszta szeregu:Mamy szeregi:(α)Σ(k=1) ak=a1+a2+…,(β)Σ(k=n+1) ak=a(n+1)+a(n+2)+… jest to tzw reszta ciągu alfa, Rn =ozn+Σ(k=n-1)aK=Sn+Rn=S Rn=S-Sni KRYTERIA PRÓWNAWCZE Niech 0≤an≤bn (α)test zbieżności:Jeżeli Σ(n=n0)bn jest zbieżny,to Σ(n=1)an jest zbieżny, (β)test rozbieżności:Jeżeli Σ(n=n0)an jest rozbieżny,to Σ(n=1)bn jest także rozbieżny KRYTERIA PRÓWNAWCZE(w wersji limesowej) Niech dane są 2 szeregi o wyrazach dodatnuch Σan i Σbn,dla n≥n0.Jeżeli istnieje lim an/bn=k,0≤k≤∞,to oba szeregi są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne. KRYTERIUM CAŁKOWE (zbieżnosci/rozbieżnosci szeregu) Niech n0 oznacza dowloną l.nat.Jeżeli fun.f jesy nieujemna i nie rosnaca na przedziale[n0,+∞],to całka istnieje,wtedy szereg Σ(n=n0)f(n) jest zbieżny. SZEREGI O WYRAZACH DOW.ZNAKÓW:Szereg Σ(1)an=a1+a2+…nazywa się względnie zbieżnym(absoutnie zbieżnym,gdy zbueżny jest szereg Σ(n=1)|an|=|a1|+|a2|=…ZBIEŻNOŚĆ BEZWGLĘDNA Jeżeli Σ|an| jest zbieźny,to także Σan jest zbieżny(i to bezwględnie) WŁ.SZEREGU ZBIEŻNEgo BEZWG. Niech(mn)=m1,m2,… oznacza dowolną permutację zbioru liczb nat.Jeżeli Σ(n=1)an jest zbieżny bezwględnie to szereg Σ(n=1)amn,otrzymany przez dowoln zmianę kolejnosci wyrazów jest zbieżny,oraz:Σ(n=1)an jest równ Σ(n=1)Σamn KYTE d'ALEMBERTA Jeżeli dla szeregów Σan,wszytskie wyrazy są różne od 0 oraz lim |an+1/an|=q,to gdy: 0≤q,1,to szereg jest zbieżny bezwględnie,1<q<∞,to jest rozbieżny,q=1,to nie rozstrzyga KYTERIUM PIERWIASTKOWE CAUCHY'ego Niech dla szeregu Σan to z pierwiastkiem limes = q ,to gdy 0≤q,1,to szereg jest zbieżny bezwględnie,1<q<∞,to jest rozbieżny,q=1,to nie rozstrzyga 1)|sinx|≤1 2)z |cosx|≤1 0≤|sinx|≤|x| 3)r sinx>∏/2 ~x>0 4)z 0<lnx<x ~x>1 5)r lnx>1 ~x>3 6)0<xctgx<2x 7)r cos<1/2 ~0<x<1 8)r 0<x<tgx ~0<x<∏/2 9)z 0<tgx<1
|
|
CAŁKA POTRÓJNA Niech D->obszar regularny na pł.OXY,wtedy obaszar ogranicozny i domknięty Ω nal.R3 Gdzie h(x,y) i g(x,y) są ciągłe na D i h<g,dla x,y z D Jeżeli fun.f zmiennych x,y,z (f(x,y,z,)) jest ogranicozna i ciagła na tym obszarze to: [[[f(xyz)dxdydz=def= [[(po D)[(od f(xy0 do g(xy))f(xyz)dzdydz Istnienie c.potrójn->fun.podcalkowa musi być ogr.na zb.całkowania,ale nie musi być ciagła na całym obszarze. Jeżeli f jest fun.ogr. na Ω i jej wszytskie punkty nieciąlości leżą na skoncoz ilosci płatów powierzchniowych o równianiach: z=z(x,y),y=y(x,z),x=x(y,z) zawartych na ob.Ω to c.potójna [[[ f dxdydz isnieje. Właśności c.potrójnej:a)<objętość bryły>b)liniowość-niech istnieją caki funkci f1 i f2 w ob.normlalnyn Ω,wtedy dla dowolnych liczb α,β zachodzi: Rozpisac sume całek, α i β przed [[[ c)addywność wzg ob.całkownaia-jeżeli Ω nal.R3,jest suma skońcoznej liczby ob. normlanych względem 1 z płaszczyzn ukł.o parami rozłącznych wnętrzach d)jeżeli f jest całkowalna na ob.normlanym oraz f(x,y,z)≥0 dla (x,y,z) nal Ω,to: [[[f>=0 e)jeżeli f-jest całkowalna na ob.normalnym Ω,to: M=sup(f(P)),P nal.Ω,|Ω|-obj.bryły Ω CAŁKA KRZYWO -LINIO równanie wektorowe łuku L:r=r(t),α≤t≤β,gdzie w R3:r(t)=[x(t),y(t),z(t)] na pł. <to samo bez z> Całka k.niezorientowana fun.f=f(P),ciągłej na łuku gładkim L:r=r(t),α≤t≤β,nazywamy liczbę,która oznaczamy symbolem:[(po L)f(p)dl =[(α do β)f(r(t))*|r'(t)|dt Własności c.k.:Jeżeli itnieją całki :[(po L)f(p)dl i [(po L)g(p)dl 1) [g+f = [g+[f 2) [cf=c[f 3) |[f|≤[|f|≤M*l f ciągła M=max z f(p) L-dł luku SZEREGI dany jest nieskońcozny ciąg liczb rzeczywistych{an}=a1,a2…(zbiezny lub rozbiez). Tworzymy nowy ciąg{Sn}:S1=a1,S2=a1+a2…,Sn=a1+...+an(n nal.N≥2).Szeregiem liczbowym nazywamy parę ciągów({an},{Sn}),oznaczamy:Σan=a1+a2+…(an-n-ty wyraz szeregu,Sn= n-ta suma częściowa szeregu) Warunek konieczny zbieznosc szeregu Jeżeli szereg Σan jest zbieżny to lim an=0.Dówód: Lim an = Lim Sn -Lim S(n-1) = S-S =0 Wniosek(Kryteriumn rozbiezności):Jeżeli lim an≠0 to Σan jest rozbieżny |
Zbieżność: 1) Szereg o wyrazach Σan nazywamy zbieznym,jeżeli zbieżny jest jego ciąg sum przejsciwoych{Sn},czyli istnieje taka skońcozna granica lim Sn. 2)Jeżeli lim Sn=S,to S->suma szeregu: Σan=S 3)Jeżeli Sn nie ma granicy właściwej,to szereg Σan nazywamy rozbieżnym. Σan=s <=> (dla kaz) E>0 (ist) delta=delta(E)>0 (dla kaz) n>del N |Σ(od k=1 do n)ak-s|<E Reszta szeregu:Mamy szeregi:(α)Σ(k=1) ak=a1+a2+…,(β)Σ(k=n+1) ak=a(n+1)+a(n+2)+… jest to tzw reszta ciągu alfa, Rn =ozn+Σ(k=n-1)aK=Sn+Rn=S Rn=S-Sni KRYTERIA PRÓWNAWCZE Niech 0≤an≤bn (α)test zbieżności:Jeżeli Σ(n=n0)bn jest zbieżny,to Σ(n=1)an jest zbieżny, (β)test rozbieżności:Jeżeli Σ(n=n0)an jest rozbieżny,to Σ(n=1)bn jest także rozbieżny KRYTERIA PRÓWNAWCZE(w wersji limesowej) Niech dane są 2 szeregi o wyrazach dodatnuch Σan i Σbn,dla n≥n0.Jeżeli istnieje lim an/bn=k,0≤k≤∞,to oba szeregi są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne. KRYTERIUM CAŁKOWE (zbieżnosci/rozbieżnosci szeregu) Niech n0 oznacza dowloną l.nat.Jeżeli fun.f jesy nieujemna i nie rosnaca na przedziale[n0,+∞],to całka istnieje,wtedy szereg Σ(n=n0)f(n) jest zbieżny. SZEREGI O WYRAZACH DOW.ZNAKÓW:Szereg Σ(1)an=a1+a2+…nazywa się względnie zbieżnym(absoutnie zbieżnym,gdy zbueżny jest szereg Σ(n=1)|an|=|a1|+|a2|=…ZBIEŻNOŚĆ BEZWGLĘDNA Jeżeli Σ|an| jest zbieźny,to także Σan jest zbieżny(i to bezwględnie) WŁ.SZEREGU ZBIEŻNEgo BEZWG. Niech(mn)=m1,m2,… oznacza dowolną permutację zbioru liczb nat.Jeżeli Σ(n=1)an jest zbieżny bezwględnie to szereg Σ(n=1)amn,otrzymany przez dowoln zmianę kolejnosci wyrazów jest zbieżny,oraz:Σ(n=1)an jest równ Σ(n=1)Σamn KYTE d'ALEMBERTA Jeżeli dla szeregów Σan,wszytskie wyrazy są różne od 0 oraz lim |an+1/an|=q,to gdy: 0≤q,1,to szereg jest zbieżny bezwględnie,1<q<∞,to jest rozbieżny,q=1,to nie rozstrzyga KYTERIUM PIERWIASTKOWE CAUCHY'ego Niech dla szeregu Σan to z pierwiastkiem limes = q ,to gdy 0≤q,1,to szereg jest zbieżny bezwględnie,1<q<∞,to jest rozbieżny,q=1,to nie rozstrzyga1)|sinx|≤1 2)z |cosx|≤1 0≤|sinx|≤|x| 3)r sinx>∏/2 ~x>0 4)z 0<lnx<x ~x>1 5)r lnx>1 ~x>3 6)0<xctgx<2x 7)r cos<1/2 ~0<x<1 8)r 0<x<tgx ~0<x<∏/2 9)z 0<tgx<1 |
|
CAŁKA POTRÓJNA Niech D->obszar regularny na pł.OXY,wtedy obaszar ogranicozny i domknięty Ω nal.R3 Gdzie h(x,y) i g(x,y) są ciągłe na D i h<g,dla x,y z D Jeżeli fun.f zmiennych x,y,z (f(x,y,z,)) jest ogranicozna i ciagła na tym obszarze to: [[[f(xyz)dxdydz=def= [[(po D)[(od f(xy0 do g(xy))f(xyz)dzdydz Istnienie c.potrójn->fun.podcalkowa musi być ogr.na zb.całkowania,ale nie musi być ciagła na całym obszarze. Jeżeli f jest fun.ogr. na Ω i jej wszytskie punkty nieciąlości leżą na skoncoz ilosci płatów powierzchniowych o równianiach: z=z(x,y),y=y(x,z),x=x(y,z) zawartych na ob.Ω to c.potójna [[[ f dxdydz isnieje. Właśności c.potrójnej:a)<objętość bryły>b)liniowość-niech istnieją caki funkci f1 i f2 w ob.normlalnyn Ω,wtedy dla dowolnych liczb α,β zachodzi: Rozpisac sume całek, α i β przed [[[ c)addywność wzg ob.całkownaia-jeżeli Ω nal.R3,jest suma skońcoznej liczby ob. normlanych względem 1 z płaszczyzn ukł.o parami rozłącznych wnętrzach d)jeżeli f jest całkowalna na ob.normlanym oraz f(x,y,z)≥0 dla (x,y,z) nal Ω,to: [[[f>=0 e)jeżeli f-jest całkowalna na ob.normalnym Ω,to: M=sup(f(P)),P nal.Ω,|Ω|-obj.bryły Ω CAŁKA KRZYWO -LINIO równanie wektorowe łuku L:r=r(t),α≤t≤β,gdzie w R3:r(t)=[x(t),y(t),z(t)] na pł. <to samo bez z> Całka k.niezorientowana fun.f=f(P),ciągłej na łuku gładkim L:r=r(t),α≤t≤β,nazywamy liczbę,która oznaczamy symbolem:[(po L)f(p)dl =[(α do β)f(r(t))*|r'(t)|dt Własności c.k.:Jeżeli itnieją całki :[(po L)f(p)dl i [(po L)g(p)dl 1) [g+f = [g+[f 2) [cf=c[f 3) |[f|≤[|f|≤M*l f ciągła M=max z f(p) L-dł luku SZEREGI dany jest nieskońcozny ciąg liczb rzeczywistych{an}=a1,a2…(zbiezny lub rozbiez). Tworzymy nowy ciąg{Sn}:S1=a1,S2=a1+a2…,Sn=a1+...+an(n nal.N≥2).Szeregiem liczbowym nazywamy parę ciągów({an},{Sn}),oznaczamy:Σan=a1+a2+…(an-n-ty wyraz szeregu,Sn= n-ta suma częściowa szeregu) Warunek konieczny zbieznosc szeregu Jeżeli szereg Σan jest zbieżny to lim an=0.Dówód: Lim an = Lim Sn -Lim S(n-1) = S-S =0 Wniosek(Kryteriumn rozbiezności):Jeżeli lim an≠0 to Σan jest rozbieżny |
|
Zbieżność: 1) Szereg o wyrazach Σan nazywamy zbieznym,jeżeli zbieżny jest jego ciąg sum przejsciwoych{Sn},czyli istnieje taka skońcozna granica lim Sn. 2)Jeżeli lim Sn=S,to S->suma szeregu: Σan=S 3)Jeżeli Sn nie ma granicy właściwej,to szereg Σan nazywamy rozbieżnym. Σan=s <=> (dla kaz) E>0 (ist) delta=delta(E)>0 (dla kaz) n>del N |Σ(od k=1 do n)ak-s|<E Reszta szeregu:Mamy szeregi:(α)Σ(k=1) ak=a1+a2+…,(β)Σ(k=n+1) ak=a(n+1)+a(n+2)+… jest to tzw reszta ciągu alfa, Rn =ozn+Σ(k=n-1)aK=Sn+Rn=S Rn=S-Sni KRYTERIA PRÓWNAWCZE Niech 0≤an≤bn (α)test zbieżności:Jeżeli Σ(n=n0)bn jest zbieżny,to Σ(n=1)an jest zbieżny, (β)test rozbieżności:Jeżeli Σ(n=n0)an jest rozbieżny,to Σ(n=1)bn jest także rozbieżny KRYTERIA PRÓWNAWCZE(w wersji limesowej) Niech dane są 2 szeregi o wyrazach dodatnuch Σan i Σbn,dla n≥n0.Jeżeli istnieje lim an/bn=k,0≤k≤∞,to oba szeregi są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne. KRYTERIUM CAŁKOWE (zbieżnosci/rozbieżnosci szeregu) Niech n0 oznacza dowloną l.nat.Jeżeli fun.f jesy nieujemna i nie rosnaca na przedziale[n0,+∞],to całka istnieje,wtedy szereg Σ(n=n0)f(n) jest zbieżny. SZEREGI O WYRAZACH DOW.ZNAKÓW:Szereg Σ(1)an=a1+a2+…nazywa się względnie zbieżnym(absoutnie zbieżnym,gdy zbueżny jest szereg Σ(n=1)|an|=|a1|+|a2|=…ZBIEŻNOŚĆ BEZWGLĘDNA Jeżeli Σ|an| jest zbieźny,to także Σan jest zbieżny(i to bezwględnie) WŁ.SZEREGU ZBIEŻNEgo BEZWG. Niech(mn)=m1,m2,… oznacza dowolną permutację zbioru liczb nat.Jeżeli Σ(n=1)an jest zbieżny bezwględnie to szereg Σ(n=1)amn,otrzymany przez dowoln zmianę kolejnosci wyrazów jest zbieżny,oraz:Σ(n=1)an jest równ Σ(n=1)Σamn KYTE d'ALEMBERTA Jeżeli dla szeregów Σan,wszytskie wyrazy są różne od 0 oraz lim |an+1/an|=q,to gdy: 0≤q,1,to szereg jest zbieżny bezwględnie,1<q<∞,to jest rozbieżny,q=1,to nie rozstrzyga KYTERIUM PIERWIASTKOWE CAUCHY'ego Niech dla szeregu Σan to z pierwiastkiem limes = q ,to gdy 0≤q,1,to szereg jest zbieżny bezwględnie,1<q<∞,to jest rozbieżny,q=1,to nie rozstrzyga 1)|sinx|≤1 2)z |cosx|≤1 0≤|sinx|≤|x| 3)r sinx>∏/2 ~x>0 4)z 0<lnx<x ~x>1 5)r lnx>1 ~x>3 6)0<xctgx<2x 7)r cos<1/2 ~0<x<1 8)r 0<x<tgx ~0<x<∏/2 9)z 0<tgx<1
|