1. Przyjmując, że wydajność pracy kształtuje się zgodnie z rozkładem normalnym, ustalić, jakie jest prawdopodobieństwo osiągnięcia wydajności w przedziale 10-12 tys. zł na 1 robotnika, przy założeniu, że prawdopodobieństwo osiągnięcia wydajności ponad 15 tys. zł wynosi 0,8, a S(x)=2,
2. W celu oszacowania średniej powierzchni wybudowanych w 1993r. w Warszawie mieszkań, wylosowano niezależnie 120 wybudowanych w tym okresie mieszkań i otrzymano dla nich następujący rozkład powierzchni mieszkalnej (w m2):
powierzchnia mieszkalna (w m2) x0i-x1i |
Liczba mieszkań ni |
15 - 25 |
10 |
25 - 35 |
25 |
35 - 45 |
40 |
45 - 55 |
30 |
55 - 65 |
10 |
65 - 75 |
5 |
Zbudować przedział ufności dla średniej powierzchni mieszkań wybudowanych w Warszawie w badanym roku, przyjmując współczynnik ufności 0.90.
3. Na mierniku uniwersalnym TLM dokonano segregacyjnych pomiarów tranzystorów badając napięcie . Techniczna norma tego napięcia dla badanego typu tranzystorów wynosi 60 V, natomiast dla 27 losowo wybranych tranzystorów zanotowano średnie napięcie 51 V, przy odchyleniu standardowym 21 V. Czy na tej podstawie można twierdzić , przyjmując poziom istotności 0,02 , że średnie napięcie wszystkich tranzystorów jest mniejsze od 60 V.
4. Dokonano 7 niezależnych pomiarów szybkości początkowej pocisku wystrzelonego z pewnej broni i otrzymano następujące wyniki ( w m/sek ): średnia arytmetyczna = 604,96 , a wariancja = 1,262. Przyjmując współczynnik ufności 0.98 oszacować metodą przedziałową średnią szybkość początkową wystrzelonego z tej broni pocisku.
5. Sprawdzić hipotezę, że poniższy empiryczny rozkład wyników uzyskanych przez 200 uczniów pewnej szkoły podstawowej w biegu na 100m jest zgodny z rozkładem normalnym. Zastosować test zgodności chi-kwadrat:
Czas (w s) |
12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 |
Liczba uczniów |
10 40 100 45 5 |
6. W celu oszacowania struktury procentowej rodzaju kontraktacji w indywidualnych gospodarstwach rolnych spośród tych, które prowadzą kontraktację. Otrzymano następujące dane:
Rodaj kontraktacji |
Liczba gospodarstw |
- zboża i ziemniaki -buraki i rośliny przemysłowe -bydło -trzoda chlewna |
21 123 50 166 |
Zbudować przedział ufności ze współczynnikiem 0.95 dla procentu gospodarstw prowadzących kontraktację na buraki i rośliny przemysłowe w tym powiecie.
7. Dokonano pomiaru 160 włókien pewnej odmiany bawełny otrzymując następujący rozkład ich długości:
Dł. Włókien (w mm) |
Poniżej 10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-45 |
Liczba włókien |
12 30 48 41 15 11 3 |
Na poziomie istotności 0,02 zweryfikować hipotezę, że rozkład długości włókien bawełny jest normalny. Do weryfikacji zastosować test chi-kwadrat. Średnia długość bawełny wyniosła 19,48 mm, a odchylenie standardowe 7 mm.
2. W celu zbadania trwałości worków produkowanych z juty i eksploatowanych w hurtowniach towarów spożywczych, zanotowano czas użytkowania 180 losowo wybranych worków . Otrzymano następujące wyniki:
czas użyt- kowania |
0-4 |
4 - 8 |
8 - 12 |
12 - 16 |
16 - 20 |
20 - 24 |
Liczba Worków |
5 |
18 |
62 |
60 |
25 |
10 |
Przyjmując współczynnik ufności 0.96 zbudować przedział ufności dla średniego czasu użytkowania worków z juty.
8. W pewnej uczelni zbadano miesięczne dodatkowe dochody 120 wylosowanych studentów . Okazało się , że średnie dochody w tej grupie wynoszą 542,5 zł. , a wariancja 29881,216 (zł)2. Zweryfikować na poziomie istotności 0.05 hipotezę , że średni dochód studentów badanej uczelni wynosi 500 zł.
9. Na podstawie badań budżetów domowych pracowników zatrudnionych w sektorze uspołecznionym poza leśnictwem i rolnictwem ustalono , że przeciętne roczne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę w zbiorowości 257 gospodarstw domowych Warszawy wynosiło 16 kg. przy odchyleniu standardowym - 4 kg. Oszacować metodą przedziałową przeciętne spożycie pieczywa pszennego na 1 osobę w gospodarstwie domowym, przyjmując współczynnik ufności 0,99 oraz 0,95.
10. Normy jakościowe stwierdzają, że „dobra” piłka tenisowa opuszczona przy temperaturze 20 stopni C z dwu i półmetrowej wysokości na twarde podłoże powinna odskoczyć na wysokość 140 cm. Dla losowej próby 25 piłek pochodzącej z dużej partii otrzymano średnią wysokość odbicia 138,2 cm oraz odchylenie standardowe 5 cm. Co można na podstawie otrzymanych wyników - na poziomie istotności 0,05- twierdzić o jakości piłek w całej partii?
11. Zbadano, że rozkład empiryczny wydatków na mleko 431 gospodarstw domowych robotników był w przybliżeniu rozkładem normalnym o parametrach (1003 zł., 482 zł.). Wydatki na masło w tej zbiorowości również wykazały zbieżność do rozkładu normalnego o parametrach ( 1519 zł., 868 zł.). Opierając się na powyższych informacjach, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wydatki na mleko i masło nie różnią się więcej niż o 300 zł. od ich średnich poziomów.
W Fabryce Maszyn Żniwnych w Płocku zbadano stan zadłużenia pracowników (w zł.) w kasie zapomogowo-pożyczkowej. W pobranej niezależnie losowej grupie 130 pracowników stwierdzono, że przeciętne zadłużenie wynosiło 216 zł. Zakładając, że wysokość zadłużenia ma rozkład normalny, ustalić ile wynosiło odchylenie standardowe zadłużenia obserwowanej grupy pracowników , jeżeli z prawdopodobieństwem 0,93 można twierdzić, że średnia arytmetyczna zadłużenia różni się od nadziei matematycznej zadłużenia nie więcej niż o 10,95 zł.
13. Koszty materiałowe w pewnej gałęzi gospodarki narodowej przy produkcji pewnego wyrobu były w wylosowanych 120 zakładach następujące ( w zł):
Koszt materiałowy |
150-250 250-350 350-450 450-550 550-650 650-750 750-850 850-950 950-1050 |
Liczba zakładów |
7 10 21 30 19 15 10 6 2 |
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, ze rozkład kosztów materiałowych przy produkcji tego wyrobu jest normalny N( 540, 200).
14. Badaniem objęto dwie próby losowe; pierwsza liczyła 200 pracowników, druga 400 pracowników. Ustalono, że w pierwszej próbie było 60 pracowników zarabiających powyżej 2500 zł, a w drugiej 260 pracowników zarabiających poniżej 2500 zł. Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić, czy różnice w procentach pracowników zarabiających powyżej 2500 zł są istotne.
15. W celu oszacowania rozrzutu jednostkowego kosztu produkcji pewnego artykułu produkowanego przez różne zakłady , wylosowano niezależnie do próby 80 zakładów produkcyjnych i otrzymano następujące wyniki badania tego kosztu ( w zł):
koszt jednostkowy x0i-x1i |
Liczba zakładów Ni |
20 - 40 |
10 |
40 - 60 |
16 |
60 - 80 |
24 |
80 - 100 |
18 |
100 - 120 |
12 |
Przyjmując współczynnik ufności 0.95 oszacować metodą przedziałową średni jednostkowy koszt produkcji tego artykułu.
16. Spośród żarówek wyprodukowanych przez pewną fabrykę wylosowano niezależnie 100 sztuk i sprawdzono ich jakość. 16 żarówek okazało się złych. Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować procent braków w wyprodukowanej partii żarówek.
17. W celu oceny rozrzutu odległości od środka koła uzyskiwanych w skokach spadochronowych na celność lądowania, zmierzono te odległości dla losowo wybranych 130 żołnierzy spośród szkolących się i uzyskano następujące informacje: średnia odległość wyniosła 12,15 m., a wariancja 24,9 m2 . Zweryfikować na poziomie istotności 0,05 hipotezę, że wariancja odległości lądowania od wyznaczonego punktu w badanej populacji skoczków spadochronowych wynosi 15 m2.
18. Wysunięto hipotezę, że wiek lekarzy pracujących na wsiach jest taka sama jak wiek lekarzy miejskich. Dwie losowe próby o liczebnościach odpowiednio 400 lekarzy wiejskich i 500 lekarzy miejskich dały następujące wyniki: średni wiek lekarza wiejskiego wynosi 43 lata a wariancja 69,9 (lat)2, natomiast średni wiek lekarza miejskiego wynosi 48 lat a wariancja 90,2. Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić wysuniętą hipotezę.
19. Dwunastu zawodników rzuca piłką do kosza. Zakładając, że każdy z nich ma identyczne możliwości wykonania celnego rzutu oraz, że szanse wystąpienia rzutu celnego i niecelnego są jednakowe, znaleźć prawdopodobieństwo , że co najwyżej 9 rzutów będzie celnych.
20.Przy korekcie maszynopisu stwierdzono, że średnio na jedną stronę przypada jeden błąd. Korzystając z odpowiedniej funkcji, obliczyć, jakie jest prawdopodobieństwo natrafienia na stronę o liczbie błędów:
mniejszej od trzech;
większej od czterech;
nieparzystej.
21. W instytucie Matki i Dziecka zbadano zachorowalność niemowląt na żółtaczkę. Badanie to przeprowadzono w ciągu 140 dni. Otrzymano następujące wyniki:
Liczba zachorowań w ciągu dnia |
Empiryczna liczba dni o liczbie zachorowań |
Teoretyczna liczba dni o liczbie zachorowań |
0 1 2 3 4 5 6 |
35 30 25 20 15 10 5 |
19 38 38 25 13 . . |
Obliczyć brakujące liczebności teoretyczne.
22.W celu oszacowania procentu inżynierów zatrudnionych w przemyśle maszynowym znającym dwa języki obce , wylosowano niezależnie próbę 200 inżynierów zatrudnionych w przedsiębiorstwach tego przemysłu . Okazało się, że w tej próbie jest 32 inżynierów znających dwa obce języki . Metodą przedziałową oszacować nieznany procent inżynierów ,zatrudnionych w przedsiębiorstwach tego przemysłu, znających dwa obce języki. Przyjąć współczynnik ufności 0.90
23. Dokonano 7 niezależnych pomiarów szybkości początkowej pocisku wystrzelonego z pewnej broni i otrzymano następujące wyniki ( w m/sek ): średnia arytmetyczna = 604,96 , a wariancja = 1,262. Przyjmując współczynnik ufności 0.98 oszacować metodą przedziałową odchylenie standardowe szybkości początkowej wystrzelonego z tej broni pocisku.
24. Dokonano 7 pomiarów ciśnienia w komorze spalania pewnego typu silnika rakietowego i otrzymano następujące wyniki ( w kG/cm2 ) : średnia arytmetyczna = 31,45 , a wariancja = 0,391. Metodą przedziałową oszacować średnie ciśnienie w komorze spalania tego silnika , przyjmując współczynnik ufności 0.99.
25. W pewnym bakteriologicznym doświadczeniu obserwowano długość życia beztlenowych bakterii roślinnych Vibrio. W wybranej losowo kolonii bakteryjnej , liczącej 1027 bakterii, stwierdzono, że przeciętna długość życia bakterii wynosi 26,3 min. , przy odchyleniu standardowym = 4,1 min. Z prawdopodobieństwem 0,98 oszacować przeciętną długość życia wszystkich bakterii Vibrio.
26. Średnie roczne spożycie mięsa i przetworów mięsnych w zbiorowości 200 losowo wybranych czteroosobowych gospodarstw domowych w Polsce wynosiło 181,2 kg., natomiast odchylenie standardowe spożycia - 16,8 kg. Przyjmując współczynnik ufności 0,95 zbudować przedział ufności dla średniego rocznego spożycia mięsa i przetworów mięsnych w całej grupie czteroosobowych gospodarstw domowych w Polsce.
27. W celu określenia długości łodyg goździków (w cm.) z dostarczonej partii pobrano losowo próbę 10 goździków. Długość ich łodyg była następująca: 80; 74; 72; 73; 81; 69; 68; 76; 75; 69.
16. Przyjmując współczynnik ufności 0,98 oszacować średnią wagę jabłka dla ogółu zbiorów w badanym sadzie, jeśli dla 100 sztuk tych owoców dobranych losowo średnia waga wyniosła 12 dag, a odchylenie standardowe 1,0 dag.
28. Spośród żarówek wyprodukowanych przez pewną fabrykę wylosowano niezależnie 100 sztuk i sprawdzono ich jakość. 16 żarówek okazało się złych. Przyjmując współczynnik ufności 0,99 oszacować procent braków w wyprodukowanej partii żarówek.
29. Średni dobowy przebieg 80 losowo wybranych autobusów komunikacji miejskiej w Krakowie wyniósł 310 km., a odchylenie standardowe przebiegu 30 km. natomiast średni dobowy przebieg 90 autobusów kursujących w Warszawie wyniósł 292 km., a odchylenie standardowe przebiegu 30 km. Czy powyższe dane stanowią - na poziomie istotności 0.01 - podstawę do twierdzenia, że intensywność wykorzystania taboru autobusowego jest w Krakowie wyższa?
30. Z dwu wydziałów pewnego dużego zakładu produkcyjnego wylosowano dwie próby, w celu zbadania jak hałas wpływa na ubytki słuchu pracowników. Z wydziału o małym natężeniu hałasu wylosowano 100 pracowników i po zbadaniu okazało się , że 8 pracowników ma poważne ubytki słuchu, natomiast na 120 wylosowanych pracowników wydziału o dużym natężeniu hałasu 20 pracowników ma poważne ubytki słuchu. Na poziomie istotności 0.05 zweryfikować hipotezę , że hałas na wydziale zwiększa ubytki słuchu.
31. Stowarzyszenie księgowych przeprowadziło badanie wieku głównych księgowych. Wysunięto hipotezę , że wiek głównych księgowych mężczyzn jest wyższy niż wiek głównych księgowych kobiet. Wylosowano w tym celu dwie próby 150 głównych księgowych kobiet i 300 głównych księgowych mężczyzn i uzyskano następujące informacje: średni wiek kobiet wyniósł 36,2 lat przy wariancji 78,56 (lat)2 , natomiast średni wiek mężczyzn - 39,8 lat , przy wariancji 102,29 (lat)2 . Przyjmując poziom istotności 0,03 zweryfikować wysuniętą wcześniej hipotezę.
32. W pewnym roku uzyskano dla 200 rodzin w niskiej grupie zamożności , wylosowanych do badań budżetów rodzinnych, odchylenie standardowe rocznych wydatków na artykuły przemysłowe 2800 zł. Natomiast dla 100 rodzin w wysokiej grupie zamożności odchylenie standardowe rocznych wydatków na artykuły przemysłowe wyniosło 8200 zł. Na poziomie istotności 0,01 sprawdzić hipotezę , że wariancje rocznych wydatków na artykuły przemysłowe są w obu grupach zamożności rodzin takie same.
33. W pewnej uczelni zbadano miesięczne dodatkowe dochody 120 wylosowanych studentów . Okazało się , że średnie dochody w tej grupie wynoszą 542,5 zł. , a wariancja 29881,216 (zł)2. Zweryfikować na poziomie istotności 0.05 hipotezę , że wariancja dochodów studentów badanej uczelni wynosi 30000 (zł)2.
34. Na losowo dobranej próbie 10 samochodów marki Skoda przeprowadzono badanie zużycia benzyny po przejechaniu 100 km. Okazało się , że średnie zużycie benzyny w tej próbie smochodów wynosiło 8,3 l , przy odchyleniu standardowym 0.9 l . Jednocześnie wiadomo , że norma fabryczna zużycia benzyny po przebyciu trasy 100 km wynosi 7,7 l . Czy rzeczywiste zużycie benzyny różni się istotnie od normy fabrycznej , jeżeli zostaną przyjęte poziomy istotności 0,1 oraz 0,05.
35. Poniższy szereg rozdzielczy przedstawia rozkład empiryczny 600 pomiarów wzrostu ( w cm.) mężczyzn - członków klubów sportowych:
Wzrost w cm |
156- -160 |
160- -164 |
164- -168 |
168- -172 |
172- -176 |
176- -180 |
180- -184 |
184- -188 |
188- -192 |
Liczba Człon- Ków |
9 |
31 |
76 |
122 |
158 |
114 |
60 |
24 |
6 |
Na poziomie istotności 0.05 - stosując test zgodności chi-kwadrat , zweryfikować hipotezę , że wzrost wszystkich mężczyzn- członków klubów sportowych- jest w przybliżeniu normalny.
36. W pewnym kinie odbywała się projekcja filmu, który według przypuszczeń kierownika kina jest filmem „kasowym” . Zakładano , że średnia frekwencja widzów na seansie powinna wynosić 250 osób. Aby sprawdzić to przypuszczenie , na losowo wybranych 49 seansach notowano liczbę widzów i okazało się , że średnia frekwencja wynosiła 231 , przy odchyleniu standardowym 19 osób. Czy można na tej podstawie twierdzić , że kierownictwo kina przyjęło za wysoką przeciętną liczbę osób na seansie . Przyjąć poziom istotności 0.02.
37.Socjolog skłonny jest przypuszczać, że w porównaniu z miejskimi gospodarstwami domowymi na wsi mąż jest częściej osobą posiadającą decydujący głos w sprawach finansowych. Na 150 zbadanych gospodarstw wiejskich mąż w 120 przypadkach był osobą posiadającą decydujący głos w sprawach finansowych, natomiast w 200 losowo wybranych miejskich gospodarstwach ,decydujący głos należał do męża w 132 przypadkach. Zweryfikować odpowiednią hipotezę na poziomie istotności 0.01.
38.Zużycie po jednym miesiącu pracy pewnej części trącej maszyny ,zmierzono na 20 wylosowanych częściach ubytek materiału. Okazało się , że średni ubytek materiału wynosi 72,8, przy wariancji 46,15. Na poziomie istotności 0.05 zweryfikować hipotezę , że wariancja zużycia tych części maszyny wynosi 40.
39. W pewnym doświadczeniu farmakologicznym otrzymano na 120 badanych szczurów, którym podano pewien preparat, 57 takich, które doszły do pokarmu w labiryncie doświadczalnym w czasie do 1 minuty. Natomiast na 100 szczurów, którym nie podano tego preparatu, 71 wykonało to zadanie w tym samym czasie. Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę o otępiającym działaniu badanego preparatu na szczury.
40. W pobranej losowo próbie 190 gospodarstw domowych zbadano wysokość wydatków na obuwie w danym miesiącu, uzyskując następujący rozkład empiryczny:
Wydatki na obuwie ( w zł) |
300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 1000i więcej |
Liczba gospodarstw |
8 15 21 30 40 46 21 9 |
Zweryfikować hipotezę o normalności rozkładu miesięcznych wydatków na obuwie w populacji generalnej gospodarstw domowych, przyjmując poziom istotności 0,05. Zastosować test zgodności chi-kwadrat.
41. Wysunięto hipotezę, że wariancja wieku lekarzy pracujących na wsiach jest taka sama jak wariancja wieku lekarzy miejskich. Dwie losowe próby o liczebnościach odpowiednio 400 lekarzy wiejskich i 500 lekarzy miejskich dały następujące wyniki: średni wiek lekarza wiejskiego wynosi 43 lata a wariancja 69,9 (lat)2, natomiast średni wiek lekarza miejskiego wynosi 48 lat a wariancja 90,2. Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić wysuniętą hipotezę.
42. Dzienne obroty w przeliczeniu na 1 ekspedienta w 200 losowo wybranych sklepach przedstawiały się następująco:
Obroty ( w tys. zł) |
Poniżej 2 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 12 i więcej |
Liczba sklepów |
17 36 56 52 25 10 4 |
Zweryfikować na poziomie istotności 0,1 hipotezę, że rozkład sklepów ze względu na wysokość dziennych obrotów przypadających na 1 ekspedienta jest normalny. Zastosować
test zgodności chi-kwadrat.
43. W celu sprawdzenia czy kostka sześcienna do gry jest rzetelna (symetryczna), wykonano 120 rzutów tą kostką i otrzymano następujące wyniki:
Liczba oczek |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Liczba rzutów |
11 |
30 |
14 |
10 |
33 |
22 |
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że wszystkie liczby oczek w rzucie mają
identyczne prawdopodobieństwo wyrzucenia. Zastosować test zgodności chi-kwadrat.
44. rozkład liczby brakujących zapałek w pudełkach o nominalnej liczbie 48 zapałek był w wylosowanych 260 pudełkach zapałek następujący:
Liczba brakujących zapałek |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Liczba pudełek |
9 18 36 53 54 41 27 14 5 3 |
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby brakujących zapałek w pudełkach jest rozkładem Poissona.