STATYSTYKA - ZMIENNA LOSOWA

• Charakterystyki funkcyjne i liczbowe zmiennej losowej typu skokowego:

Rozkład prawdopodobieństwa: P(X=x_i)=p_i

Dystrybuanta: F(X)=P(X<x)=

Własności dystrybuanty: 1. F(-∞)=0

2. F(+∞)=1

3. 0≤F(X) ≤1 (musi być przynajmniej lewostronnie ciągła)

Wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna):

Wariancja:

• Teoretyczne rozkłady zmiennej losowej typu skokowego:

1. Rozkład zero-jedynkowy:

P(X=1)=p P(X=0)=q

E(X)=p

D²(X)=pq

2. Rozkład dwumianowy (Bernoulli'ego):




E(X)=np

D²(X)=npq

3. Rozkład Poisson'a:




E(X)=λ

D²(X)=λ

• Charakterystyki funkcyjne i liczbowe zmiennej losowej typu ciągłego:

Funkcja gęstości:


Dystrybuanta: F(X)=P(X<x)
f(t) - funkcja gęstości




Wartość oczekiwana:


Wariancja:


• Teoretyczne rozkłady zmiennej losowej typu ciągłego:

1. Rozkład normalny LaPlace'a:




E(X)=m

D²(X)=σ²

D(X)= σ

X: N(m, σ)

2. Rozkład normalny wystandaryzowany:







U: N(0;1)

3. Rozkład Chi²:

U_i: N(0;1)




E(χ²)=k

D²(χ²)=2k

4. Rozkład t-Studenta:




E(t)=0




• Szacowanie średniej populacji generalnej:

1. Twierdzenie 1:

Przedział ufności:


Błąd oszacowania:


Niezbędna liczebność próby:


2. Twierdzenie 2:




3. Twierdzenie 3 (tzw. Twierdzenie graniczne):




4. Twierdzenie 4:







• Szacowanie odchylenia standardowego w zbiorowości generalnej:




c₁ odczytujemy dla


c₂ odczytujemy dla


---