Rozdział IV

WYBÓR REPREZENTANTÓW GRUP OBIEKTÓW PRZE-STRZENNYCH

Wybór reprezentantów grup obiektów przestrzennych dokonywany jest na podstawie wcześniejszego grupowania porównywanych obiektów. Z każdej grupy obiektów wybierany jest jeden reprezentant, który powinien charakteryzować się dwoma podstawowymi własnościami (Nowak, 1990, s. 184):

• jak największym podobieństwem, ze względu na opisujące go wartości zmiennych, do pozostałych obiektów w danej grupie,

• jak najmniejszym podobieństwem do obiektów reprezentantów innych grup.

Przykładowymi metodami, posiadającymi powyższe własności, są metoda środka ciężkości oraz metoda potencjałów (Pluta, 1977).

4.1. Metoda środka ciężkości

Sposób wyboru reprezentantów w metodzie środka ciężkości zależy od liczebności grup obiektów, przy czym wyróżnia się grupy jednoelementowe, grupy dwuelementowe oraz grupy wieloelementowe o liczbie elementów większej od dwóch.

Obiekty stanowiące grupy jednoelementowe stają się automatycznie reprezentantami, gdyż charakteryzują się własnościami (wartościami opisujących je zmiennych) znacznie różniącymi się od pozostałych obiektów.

W kolejnym etapie procedury wybieramy reprezentanty grup wieloelementowych. Na wstępie obliczamy sumę odległości każdego obiektu od pozostałych obiektów w danej, r-tej grupie wieloelementowej.

, i,i'=1,2,...,n_r>2, i≠i'. (4.1)

Reprezentantem r-tej grupy obiektów zostaje obiekt o najmniejszej sumie odległości od innych obiektów tej grupy:

, i=1,2,...,n_r. (4.2)

Wybrany obiekt reprezentant jest najbardziej podobny do pozostałych obiektów należących do danej grupy obiektów.

W ostatnim etapie procedury wybierane są reprezentanty grup dwuelementowych. W tym celu obliczamy sumy odległości każdego obiektu z danej r-tej grupy dwuelementowej od wybranych we wcześniejszych etapach obiektów reprezentantów:

, i'=1,...,n_r'=2. (4.3)

Reprezentantem danej grupy dwuelementowej zostaje obiekt, dla którego suma odległości (4.3) jest większa:

, i'=1,...,n_r'=2. (4.4)

Wybrany w ten sposób obiekt reprezentant jest najmniej podobnym obiektem, w danej grupie obiektów, do obiektów reprezentantów grup jednoelementowych i grup wieloelementowych.

Zaprezentowana procedura nie pozwala na wybór obiektów reprezentantów z dwuelementowych grup obiektów, gdy mamy do czynienia z większą ich liczbą. W sytuacji gdy występuje więcej niż jedna grupa dwuelementowa proponujemy zastosować zmodyfikowaną formułę (4.3), a mianowicie uwzględnić w niej obok sumy odległości danego obiektu od obiektów reprezentantów także sum jego odległości od środków ciężkości pozostałych grup dwuelementowych. Formuła (4.3) przyjmuje wtedy postać:

, i'=1,...,n_r'=2; i”=1,...,n_r”=2; i≠i'. (4.5)

gdzie:

i”^c - środek ciężkości danej dwuelementowej grupy obiektów, obliczany według formuły (2.46).

Przykład 4.1

Wybór reprezentantów grup województw został przeprowadzony metodą środka ciężkości, dla grup województw otrzymanych w wyniku zastosowania metody k-średnich. W efekcie zastosowania tej metody otrzymaliśmy następujące 4 grupy województw (por. Przykład 3.9):

W analizowanym przykładzie nie otrzymano grup jednoelementowych, a tym samym możemy przystąpić do wyboru reprezentantów z grup wieloelementowych. W tym celu obliczamy, niezależnie dla każdej grupy, sumę odległości każdego z województw od pozostałych województw otrzymując:

Grupa G₁:

d₁=1,707,

d₂=1,650,

d₃=1,677,

d₁₄=1,658,

d₁₆=1,571,

Grupa G₂:

d₆=2,161,

d₇=2,798,

d₈=2,977,

d₁₀=2,668,

d₁₁=2,847

d₁₅=2,696,

Grupa G₃:

d₃=1,064,

d₉=1,369,

d₁₃=1,120.

Następnie w każdej z grup województw jako reprezentanta wybieramy województwo o najmniejszej sumie odległości od innych województw. Reprezentantami kolejnych grup województw zostają tym samym:

G₁→O₁₆,

G₂→O₆,

G₃→O₃.

W przypadku wyboru reprezentantów z dwuelementowej grupy województw G₄ szacujemy dla każdego z województw z tej grupy sumę jego odległości od wcześniej wybranych województw reprezentantów otrzymując:

d₅=11,376,

d₁₀=10,149.

Reprezentantem grupy G₄ zostaje województwo, dla którego suma powyższych odległości jest większa, tzn.:

G₄→ O₅.

4.2. Metoda potencjałów

Punktem wyjścia metody potencjałów jest konstrukcja skupień I-go rzędu. Tym samym każdemu obiektowi O_i przyporządkowujemy obiekt najbardziej do niego podobny
, tzn. obiekt, dla którego spełniona jest relacja:

i,i'=1,2,...,n_r, i≠i' . (4.6)

W efekcie otrzymujemy pary obiektów. Pierwszy z wierzchołków (odpowiadający i-temu obiektowi) stanowi początek wiązadła (odcinka łączącego wierzchołki), a drugi z wierzchołków (odpowiadających
-temu obiektowi) jest końcem tego wiązadła. Kierunek wiązadeł (połączeń między obiektami) przedstawia się w postaci skierowanych strzałek. Otrzymujemy w ten sposób graf zorientowany (rys. 4.1, Przykład 4.2).

Następnie określamy potencjał wierzchołków (obiektów) tożsamy z liczbą skierowanych do nich strzałek. Reprezentantem danego skupienia (grupy obiektów) zostaje obiekt o największym potencjale. Jeżeli w danym skupieniu występuje więcej niż jeden obiekt o maksymalnym potencjale to jako reprezentanta skupienia wybieramy ten obiekt, którego średnia odległość od pozostałych obiektów jest najmniejsza.

, i=1,2,...,n_r, (4.7)

przy czym:

, i,i'=1,2,...,n_r. (4.8)

Uzyskujemy w ten sposób podstawowy zbiór obiektów reprezentantów. Zbiór ten wykorzystujemy do wyeliminowania tzw. elementów (obiektów) zbędnych i nieistotnych. W tym celu obszar zmienności odległości województw od województwa reprezentanta w tym skupieniu jest dzielony na trzy podobszary:

, (4.9)

, (4.10)

, (4.11)

gdzie:

, (4.12)

. (4.13)

Wszystkie obiekty, których odległości od obiektu podstawowego w danym skupieniu należą do pierwszego z przedziałów, nazywane są zbędnymi gdyż leżą relatywnie blisko obiektów podstawowych. Natomiast obiekty, których odległości od obiektu podstawowego, w danym skupieniu, należą do trzeciego z przedziałów nazywane są nieistotnymi, gdyż leżą relatywnie daleko od obiektów podstawowych. Pozostałe obiekty, wraz z obiektami podstawowymi, stają się reprezentantami.

Przykład 4.2

Do wyboru województw reprezentantów wykorzystano metodę potencjałów. Punktem wyjścia metody są skupienia 1-szego rzędu otrzymane podczas budowy dendrytu za pomocą metody taksonomii wrocławskiej (por. rozdz. 2.3.1). Kierunek połączeń między parami województw przedstawiamy w postaci skierowanych strzałek, otrzymując skupienia zorientowane (rys. 4.1).

Rys. 4.1. Zorientowane skupienia 1-szego rzędu.

Następnie określamy potencjał poszczególnych województw. W skupieniu dwuelementowym oba województwa mają ten sam potencjał równy 1. Jako reprezentanta tej grupy wybieramy województwo, którego średnia odległość od pozostałych województw jest najmniejsza. Odległości te były w naszym przykładzie następujące:

.

Ostatecznie podstawowy zbiór województw ma następującą postać:

G_P={O₁, O₃, O₆, O₁₄}.

Na podstawie odległości województw od województw należących do zbioru podstawowego eliminujemy, w każdym ze skupień, województwa zbędne spełniające nierówność:

d_ii^r<2,2655-0,551<1,7145.

Do zbioru województw zbędnych należą województwa:

G_Z={O₂, O₁₄}.

Natomiast dla województw nieistotnych spełniona jest nierówność:

d_ii^r.>2,2655+0,551>2,8165.

Do zbioru województw nieistotnych wchodzą województwa:

G_N={O₅, O₈, O₉, O₁₂}.

Województwami, dla których spełniona jest nierówność:

3,232≤d_ii^r≤4,060

są województwa O₄, O₇, O₁₀, O₁₁, O₁₃, O₁₅, które wraz z województwami podstawowymi tworzą ostateczny zbiór województw reprezentantów o postaci:

G_R={ O₁, O₃, O₄, O₅, O₆, O₇, O₁₀, O₁₁, O₁₃, O₁₄, O₁₅}.

181