WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA

1. Lepkość:

Lepkość płynu to zdolność do przenoszenia naprężeń stycznych przy wzajemnym przemieszczaniu się elementów płynu. Miarą lepkości jest wartość dynamicznego współczynnika lepkości, wiążącego naprężenie styczne z gradientem prędkości:

F_t = η S

F_t - siła oddziaływania dwóch sąsiadujących elementów płynu

Wymiar lepkości: [η]=
lub 1 Poise = 1 g/cm³ = 10^-1 kg/ms

Współczynnik lepkości zależy od temperatury, dla cieczy jest równy:

η = A e ^B/T , gdzie A, B są stałymi charakteryzującymi daną ciecz

Wszystkie ciecze i gazy rzeczywiste są lepkie, więc zjawisko lepkości odgrywa ważną rolę w przepływie płynów i ruchu ciał stałych w cieczy. Dla małych prędkości przepływu cieczy rzeczywistej, przepływ jest laminarny, tzn. prędkość w każdym punkcie przekroju jest określona jednoznacznie. Gdy prędkość przestaje być funkcją ciągłą współrzędnych położenia, to przepływ taki nosi nazwę przepływu turbulentnego.

Wartość pewnej prędkości krytycznej, dla której przepływ przestaje być laminarny, określa się za pomocą liczby Reynoldsa:

Re =
, gdzie l - wymiar liniowy, v - prędkość przepływu

natomiast prędkość krytyczna wynosi:

v_k = Re_k η/ρl

2. Prawo Stokesa:

Dla małych prędkości, siła tarcia wewnętrznego R jest wprost proporcjonalna do prędkości v, zależy również od wymiaru liniowego l ciała oraz od współczynnika lepkości i wynosi:

R = -6π r η v

Na kulkę o promieniu r, spadającą w lepkiej cieczy, działają siły:

F_g= mg = ρ v g

F_w= - ρ_c V g

R = -6π r η v, gdzie ρ - gęstość ciała stałego

ρ_c - gęstość cieczy

V = 4/3 π r³

Wypadkowa siła F wynosi:

F = F_g - F_w - R

Siła F jest z czasem malejąca, przyspieszenie ciała maleje więc, a prędkość dąży do wartości, gdy F= 0. Różniczkując powyższe równanie, można otrzymać wartość prędkości kulki:

v = A/B(1 - e^-Bt)

Prędkość graniczna, jest prędkością stałą i wynosiv_g = A/B. W rzeczywistości kulka po niedługim czasie porusza się z prędkością bardzo bliską v_{g ,} więc prędkość graniczna jest dobrym przybliżeniem rzeczywistej prędkości kulki.

TABELA 1. Wyznaczanie współczynnika lepkości metodą Stokesa.

KULKA NR 1.:

L.p.	ri [m]	Δri [m]	ti [s]	Δti [s]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0.003470 0.003490 0.003490 0.003480 0.003480 0.003480 0.003470 0.003480 0.003470 0.003470	0.000010 -0.000010 -0.000010 0 0 0 0.000010 0 0.000010 0.000010	2.40 2.40 2.60 2.40 2.60 2.40 2.60 2.40 2.40 2.40	0.06 0.06 -0.14 0.06 -0.14 0.06 -0.14 0.06 0.06 0.06
średnie	r = 0.003480	Δr = 0.000002	t = 2.46	σt = 0.03
wyniki	r = 0.003480 ± 0.000002		t = 2.46 ± 0.03

m [kg]	Δm [kg]	ρc [kg/m^3]	Δρc [kg/m^3]	h [m]	Δh [m]	η[Ns/m^2]	Δη[Ns/m^2]	ε
0.000652	0.000001	1240	10	0.296	0.001	0.54	0.02	3.7%
0.000652 ± .000001		ρc = 1240 ± 10		h=0.296 ± 0.001		η = 0.54 ± 0.02

KULKA NR 2.:

L.p.	ri [m]	Δri [m]	ti [s]	Δti [s]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0.003060 0.003065 0.003115 0.002995 0.003010 0.003100 0.003020 0.003070 0.003045 0.002985	-0.000013 -0.000018 -0.000068 0.000052 0.000037 -0.000053 0.000027 -0.000023 0.000006 0.000062	5.80 6.00 5.80 5.80 5.80 6.00 5.80 5.80 5.80 5.80	0.04 -0.16 0.04 0.04 0.04 -0.16 0.04 0.04 0.04 0.04
średnie	r = 0.003047	Δr = 0.000001	t = 5.84	σt = 0.02
wyniki	r = 0.003047 ± 0.000001		t = 5.84 ± 0.02

m [kg]	Δm [kg]	ρc [kg/m^3]	Δρc [kg/m^3]	h [m]	Δh [m]	η[Ns/m^2]	Δη[Ns/m^2]	ε
0.000298	0.000001	1240	10	0.296	0.001	0.51	0.02	3.9%
0.000298 ± .000001		ρc = 1240 ± 10		h=0.296 ± 0.001		η = 0.51 ± 0.02

TABELA 2. Wyznaczanie współczynnika lepkości za pomocą wiskozymetru Hopplera.

L.p.	t [s]	Δt [s]	ρk [kg/m^3]	Δρk [kg/m^3]	ρc [kg/m^3]	Δρc [kg/m^3]	k [Nm/kg]	η [Ns/m^2]	Δη [Ns/m^2]	ε
1 2 3	203.2 200.0 197.2	-3.1 0.1 2.9	8120	10	1235	5	0.1216 * *10^-6	0.17	0.01	5.9%
	200.1	T =7.4
	t = 200.1 ± 7.4		ρk = 8120 ± 10		ρc =1235 ± 5			η = 0.17 ± 0.01

gdzie T = t_n,α σ_t

3. Przykładowe obliczenia:

3.1. Dla metody Stokesa:

η =
, gdzie r - promień kulki

ρ - gęstość cieczy

h - odległóść między pierścieniami

t - czas spadania kulki

m - masa kulki

Dowyznaczania lepkości za pomocą wiskozymetru korzystałem ze wzoru:

η = k (ρ_k - ρ_c) t

k = 0.1216 • 10^-6

ρ_k = 8120 ± 10

ρ_c = 1235 ± 5

3.2. Obliczanie wartości lepkości oraz błędu:

η =
m = 0.000652

r = 0.003480

ρ_c= 1240

h = 0.296

t = 2.46

Po podstawieniu wartości:

η = 0.54

Błąd bezwzględny obliczam metodą różniczki zupełnej:

dη = (
+

+

Wzór na Δη otrzymuję po zamianie dt na Δt, dm na Δm, ... oraz zamieniając nawiasy na wartości bezwzględne.

Podstawiając następnie wartości (g,m, Δm, r, Δr, h, Δh , ρ_c, Δρ_c, t, Δt), otrzymujemy:

Δη = 0.02,

natomiast

η = 0.54 ± 0.02

ε = (Δη/η)∗ 100% = 3.7%

4. WNIOSKI:

Podczas pomiaru współczynnika lepkości metodą Stokesa, występuje możliwość popełnienia większej ilości błędów, niż podczas użycia wiskozymetru Hopplera. Jakie to są błędy: obie kulki zrobione były z różnych materiałów, w związku z czym ich współczynniki tarcia są różne. Kształt kulek nie był idealnie kulisty, a różnice wartości promienia tej samej kulki w kilkakrotnym jego pomiarze były duże. Czas opadania kulek zależy odległości kulki od ścianek naczynia, gdyż prędkość przemieszczania się cieczy jest różna, w różnych jej warstwach i tak kulka opadająca blisko ścianki, będzie opadać wolniej. Wpływ na dokładność wyniku ma również dokładność zatrzymywania czasomierzy, czy błędy przy pomiarze odległości pierścieni . Większość tych błędów można częściowo wyeliminować, powtarzając niektóre pomiary kilkakrotnie, możnaby było użyć również fotokomórek do zatrzymywania czasomierzy i zwiększyć promień naczynia. Przy pomiarze wiskozymetrem Hopplera zostały wyeliminowane możliwości popełnienia niektórych błędów: niejednakowa odległość kulki od ścianek naczynia, niedokładne wyznaczenie wysokości opadania i gęstości cieczy.

Użycie wiskozymetru i uzyskany wynik jest dokładniejszy, jednak metoda pierwsza jest bardziej uniwersalna.

---