WIADOMOŚCI PODSTAWOWE

Wahadłem matematycznym płaskim nazywamy punkt materialny poruszający się po okręgu koła w polu grawitacyjnym. Wahadło wykonuje ruch oscylacyjny w płaszczyźnie pionowej

Długość łuku zakreślonego przez wahadło dane jest wzorem S=lf

(l -odległość punktu materialnego od osi obrotu, f - kąt wychylenia z położenia równowagi)

Równanie różniczkowe ruchu wahadła jest następujące

lub

Rozwiązanie powyższego równania różniczkowego po przekształceniu daje następującą zależność okres wahadła:

Widać że druga część iloczynu jest szeregiem którego wartość wzrasta wraz ze wzrostem maksymalnego wychylenia wahadła fm.

Dla kątów mniejszych od p/2 wystarczy uwzględnić pierwsze cztery wyrazy ciągu.

Wzór przyjmuje postać:

W przypadku zmniejszania maksymalnego kąta wychylenia aż do zera otrzymujemy niezależność okresu drgań wahadła od amplitudy fm.

Do pomiarów przyspieszenia ziemskiego używa się wahadła różnicowego. W przypadku takiego wahadła nie wykonuje się niewygodnego pomiaru długości l, mierzy się tylko różnicę długości, równocześnie dokonując pomiaru okresu dla różnych długości.

W przypadku takiego wahadła korzystając z wyżej zapisanych wzorów można napisać:

(i=1,2,..)

gdzie:

Podnosząc oba równania do kwadratu i odejmując stronami otrzymujemy:

OPIS DOŚWIADCZENIA

Nasze doświadczenie polegało na pomiarze za pomocą fotokomórki i urządzenia elektronicznego okresu wahadła matematycznego dla różnych długości sznurka i różnych kątów wychylenia (ściślej mierzyliśmy czas półokresu lewego, następnie prawego i sumowaliśmy te dwa wyniki). Zmiany długości wahadła odczytywaliśmy z zamontowanej na statywie miarki (dokładność do 1 mm), a fm ustalaliśmy za pomocą kątomierza w którym podziałka wykonana była co 5o.

Na dalszych stronach zamieszczamy wyniki naszych pomiarów wraz z policzonym okresem i wartością średnią z kilku pomiarów

Wykresy zależności okresu od kąta wychylenia

Obliczenia przyspieszenia ziemskiego przedstawiamy w formie tabeli

Ostateczni przyspieszenie g=9,87±3,82 [m/s2](błąd obliczony z różniczki zupełnej).

RACHUNEK BŁĘDÓW

W naszym doświadczeniu za błąd pomiaru długości wahadła przyjęliśmy Dl=1[mm]; za błąd ustawienia początkowego wahadła przyjęliśmy Df=5o

błąd zmierzonego czasu półokresu DT/2=0,001[s];dla całego okresu DT=0,002[s];

Do oszacowania błędów wielkości obliczonych pośrednio czyli g użyliśmy metody różniczek zupełnych według wzoru:

Przy obliczaniu błędów systematycznych przyjęliśmy że wszystkie błędy sumują się. Błędy w naszym doświadczeniu były spowodowane również ewentualnymi drżeniami statywu, poruszaniem się wahadła nie w jednej płaszczyźnie.

Po podstawieniu do powyższego wzoru (różniczek zupełnych) wyrażenia na g i zsumowaniu wszystkich błędów otrzymaliśmy niepewność pomiarową Dg=3,82 co po przeliczeniu na niepewność względną daje 38% błędu.

Z otrzymanych wyników wyraźnie widać że pomiary obarczone są błędem systematycznym gdyż wartość przyspieszenia w naszych wynikach jest zawsze wyższa od rzeczywistej. Mimo dużej niepewności wartość otrzymana jest bliska wartości znanej z tablic. W celu zmniejszenia tak dużej niepewności pomiaru należałoby dysponować urządzeniem do wprowadzania w ruch wahadła z odpowiednim wychyleniem maksymalnym, gdyż ręczne odchylanie go najczęściej powoduje poruszanie się wahadła nie w płaszczyźnie.

---