PRÓBY KOSMOLOGII KWANTOWEJ -

RÓWNANIE WHEELERA-DeWITTA.

W podejściu tym chodziło o sformułowanie czegoś w rodzaju równania Schródingera dla funkcji falowej  wczesnego wszechświata. Przedstawimy tu zarys najprostszej wersji takiego podejścia.

Zacznijmy od znanego już równania kosmologicznego w postaci:

(1)

tu prim nadal oznacza pochodną po x_o = ct zaś p to ciśnienie pochodzące od pola Higgsa  omawianego w rozdziale o fazie inflacyjnej.

Przypomnijmy otrzymane tam zależności na gęstość energii i ciśnienie tego pola:

(2)

oraz

(3)

Okazuje się, że można zbudować taki lagranżjan, który po wstawieniu do równań Lagrange'a da nam równanie (1) , w którym ciśnienie `p' dane jest przez (2) lub (3).

Lagranżjan ten ma postać

(4)

(lagranżjan ma tu wymiar energii).

Obliczamy:

(5)

Łatwo teraz sprawdzić, że po wstawieniu do otrzymamy (1).

Mając odpowiedni lagranżjan można zbudować tensor energii-pędu a w szczególności składową T^o_o czyli hamiltonian.

(6)

Wielkości oraz można traktować jak tzw. pędy kanoniczne.

Wielkość H po uporządkowaniu wyrazów przyjmie postać

(7)

Następnie jako pędy kanoniczne podstawia się odpowiednie dla mechaniki kwantowej wielkości operatorowe

(8)

przez co cały hamiltonian H też staje się operatorem. Można więc formalnie użyć go do zapisania równania Schródingera . Postuluje się jednak, że funkcja falowa wszechświata (,R) nie zależy jawnie od czasu (a jedynie za pośrednictwem R(t) oraz (t) ). Oznacza to, że nie istnieje „zewnętrzny względem wszechświata” układ współrzędnych czasoprzestrzennych , w którym istniałaby „linia świata dla wszechświata” - czyli zewnętrzny względem wszechświata czas absolutny.

Ostatecznie równanie nasze
po uwzględnieniu (7) i (8) będzie

(9)

Jest to właśnie równanie Wheelera-DeWitta (najprostsza jego wersja). Różne możliwości dyskusji daje możliwość zastosowania różnych form potencjału pola V() a także różne typy pól Higgsa w stosowanym wariancie teorii.

---