PRAWO HUBBLE'A.

Już w 1912 roku V. M. Slipher odkrył, że linie widmowe prawie wszystkich galaktyk (za wyjątkiem kilku najbliższych) przesunięte są w różnym stopniu w stronę długofalową - ku czerwieni. Jednak dopiero w roku 1929 E. Hubble badając skrupulatnie widma galaktyk o znanych już wówczas odległościach (wyznaczonych różnymi metodami) stwierdził istnienie liniowej korelacji pomiędzy przesunięciem ku czerwieni linii widmowych a odległością do galaktyki. Interpretując to przesunięcie widma jako efekt Dopplera wysunął śmiałą hipotezę, że Wszechświat jako całość ekspanduje i wszystkie odległości w nim rosną z czasem a prędkość wzajemnego oddalania się spełnia zależność:

(1)

gdzie d - odległość do galaktyki, zaś H - współczynnik proporcjonalności nazwany później stałą Hubble'a. Jak zobaczymy poniżej, określenie „stała” nie jest w ogólności trafne, gdyż wielkość ta zmienia się w kosmologicznej skali czasu. Lepiej jest więc używać nazwy - parametr Hubble'a, zaś dla wartości tego parametru w obecnym czasie t_o wprowadzono oznaczenie H_o i dla niego termin „stała” jest już w pełni adekwatny. Wielokrotnie weryfikowano obserwacyjnie wartość stałej Hubble'a H_o i pomiary te wciąż są powtarzane. Na ich podstawie przyjmuje się obecnie wartość km/s/Mpc. Oznacza to, ze z każdym megaparsekiem odległości prędkość oddalania się obiektu od dowolnie wybranego punktu początkowego narasta o ok. 65 km/s. Ponieważ występujące w jednostkach stałej Hubble'a kilometry oraz megaparseki można wyrazić w metrach więc, po uproszczeniu przez metry, podstawową jednostką dla wielkości H jest [s^-1] czyli odwrotność czasu. Czas ten, czyli (H_o)^-1 jest co do rzędu wielkości porównywalny z wiekiem Wszechświata.

Odkrycie Hubble'a stało się inspiracją do poszukiwania takich modeli kosmologicznych, które zawierałyby w sobie możliwość ekspansji. Omawiano je w rozdziale „kosmologiczne rozwiązania równań Einsteina”.

Funkcjonowanie prawa Hubble'a możemy zademonstrować graficznie na przykładzie modelu Wszechświata o geometrii typu sferycznego. Niech naszą trójwymiarową przestrzeń reprezentuje dwuwymiarowa powierzchnia sfery, na której wybieramy dwa punkty - np. galaktyki (1) i (2) .Promień tej sfery i jej środek nie należą już do naszej powierzchni - są poza nią, a więc jakby poza tym modelowym wszechświatem. Oznaczamy sobie przez R(t) promień sfery w chwili t zaś przez R(t + t) promień po pewnym czasie t. Podobnie odległości pomiędzy wybranymi punktami oznaczymy odpowiednio przez d oraz d' . Jak widać, punkty symbolizujące galaktyki oddaliły się od siebie nie na skutek ruchów własnych po powierzchni lecz na skutek ekspansji samej sfery.

Możemy więc napisać prostą proporcję :

(2)

Stąd:

(3)

Zmiana odległości pomiędzy punktami (1) i (2) będzie:

(4)

Dzieląc stronami przez przyrost czasu t dostaniemy prędkość oddalania się

(5)

Rozpoznajemy w tym wyrażeniu znany iloraz różnicowy (w granicy pochodną). Możemy zrobić więc podstawienie:

(6)

po którym formuła (5) uzyskuje postać prawa Hubble'a v = H*d. Widzimy więc jawnie, że parametr Hubble'a H jest zmienny w czasie a tempo tej zmiany zależy od typu modelu kosmologicznego. W rozdziale o rozwiązaniach kosmologicznych pokazano, że np. dla modelu o geometrii euklidesowej zależność H(t) jest

(7)

.Pomiary Hubble'a z lat 20-tych dotyczyły galaktyk o odległościach kilkadziesiąt (lub niewiele ponad 100) milionów parseków. W tej sytuacji względnie dobrym przybliżeniem było stosowanie nierelatywistycznego wzoru Dopplera na przesunięcie ku czerwieni:

(8)

Gdy później odkryto bardziej odległe galaktyki oraz kwazary o bardzo dużych przesunięciach widm, koniecznym stało się stosowanie relatywistycznego wzoru Dopplera:

(9)

Jak widać z niego, gdy to v---> c. Obecnie najdalsze (i zarazem najstarsze) zaobserwowane galaktyki i kwazary mają przesunięcia ku czerwieni z>5. Za najstarszy obserwowany obiekt we Wszechświecie można uznać reliktowe promieniowanie tła, które w chwili termodynamicznego oderwania się od materii miało temperaturę kilku tysięcy Kelvinów obecnie zaś ma T=2.75 K. Odpowiadające tej zmianie temperatury przesunięcie ku czerwieni termicznego widma tego promieniowania daje wartość `z' rzędu 10³.

Problem odległości przy dużych wartościach `z'.

Prawo Hubble'a w formie (1) może służyć do wyznaczania odległości do galaktyk i kwazarów. Przy niezbyt dużych wartościach przesunięcia ku czerwieni (z < 1) dobrym przybliżeniem jest stosowanie wartości H_o . Jednak, jak to już stwierdziliśmy, parametr Hubble'a zmienia się w czasie. Nie możemy więc używać wartości H_o dla bardzo odległych obiektów (rzędu miliardów lat świetlnych), gdyż przed miliardami lat wartość parametru Hubble'a była istotnie różna od dzisiejszej. Jednocześnie, w chwili emisji obserwowanego dziś światła takiej galaktyki była ona znacznie bliżej nas niż jest w tej chwili, gdyż wszystkie odległości we Wszechświecie były wówczas mniejsze. Światło biegło od galaktyki do nas a w tym czasie Wszechświat rozszerzał się i to ze zmienną w czasie prędkością. Powstaje więc problem - co w tym kontekście znaczy „odległość do galaktyki” wyznaczana z prawa Hubble'a. Czy chodzi o odległość w chwili emisji widocznego dziś światła tej galaktyki czy też o odległość do niej w chwili obecnej.

Zagadnienie to zostało rozwiązane w latach 50-tych przez Mattiga. Przytoczymy tu końcowy rezultat tego rozwiązania. Obecna odległość do galaktyki ,d_o, z obserwowaną wartością poczerwienienia - z wyraża się:

(10)

gdzie :

czyli stosunek średniej gęstości materii we Wszechświecie do tzw. gęstości krytycznej charakteryzującej Wszechświat o geometrii euklidesowej z k = 0.

Natomiast odległość d₁ do tego samego obiektu w chwili wyemitowania obserwowanego dziś światła wyraża się wzorem:

(11)

W szczególności dla euklidesowego modelu Wszechświata, (gdy ), formuła (10) upraszcza się do postaci:

(12)

Widać z niej, że w granicy

(13)

Jest to właśnie odległość do horyzontu kosmologicznego. Ponieważ dla modelu euklidesowego otrzymaliśmy zależność więc podstawiając do (13) obecną chwilę t = t_o dostaniemy d_o = 3ct_o jako współczesną odległość do horyzontu.

Dla małych wartości z<<1 możemy (11) rozwinąć w szereg względem z:

(14)

Otrzymujemy wówczas:

(14a)

czyli znane liniowe prawo Hubble w postaci (1).

Przykładowo dla jednej z galaktyk rekordzistek obserwowana wartość z = 5.25. Dla niej przy  = 1 oraz H_o = 65 km/s/Mpc = 2.106*10^-18 s^-1 (czyli H_o^-1= 15 mld lat) dostaniemy d_o = 18 mld lat świetlnych zaś d₁ = d_o/6.25 = 2.88 mld lat świetlnych.

---