Statystyka matematyczna

Budownictwo II rok 2008/2009

Lista nr 3.

1. Z partii jabłek pobrano próbę o liczności n=10. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania trzech jabłek obitych próbce, jeśli przypuszczamy, że w partii znajduje się 10% jabłek obitych?

2. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba spędza wieczór w domu jest równe 0,85. Jakie jest prawdopodobieństwo, że telefonując do dziesięciu znajomych

a) zastaniemy wszystkich w domu,

b) nie zastaniemy dwóch osób

c) zastaniemy nie więcej niż połowę znajomych.

3. Rozpatrzmy liczbę trafień w dwóch wykonywanych przez koszykarza rzutach osobistych. Kodując trafienie jako 1, a chybienie jako 0, opisać wszystkie możliwe zdarzenia w tym „eksperymencie”. Zakładając, że prawdopodobieństwo trafienia w jednym rzucie osobistym wynosi 0,8 i zdarzenie trafienia lub chybienia w drugim rzucie nie zależy od tego, co zdarzyło się w pierwszym, obliczyć prawdopodobieństwo, że koszykarz trafi tylko raz.. Powtórzyć zadanie zakładając, że koszykarz wykonuje nie dwa, a dziesięć rzutów osobistych. Za jedno trafienie uzyskuje jeden punkt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdobędzie 4 punkty? 7 punktów?

4. Dobrać stałą c tak, aby poniższa funkcja

była gęstością prawdopodobieństwa. Sporządzić jej wykres. Wyznacz P(-1<X<1).

5. Za wpłaconą złotówkę rzucamy 6 razy kostką. Jeśli wyrzucimy przynajmniej dwie szóstki, to wygrywamy 4 złote. W przeciwnym razie tracimy wpłaconą złotówkę. Czy warto grać?

6. Pociągi kolejki elektrycznej odjeżdżają ze stacji co 10 minut. Zakładając, że rozkład czasu przybycia pasażera na stację jest jednostajny, obliczyć wartość przeciętną czasu czekania na pociąg oraz prawdopodobieństwo, że czas czekania na pociąg przekroczy 8 minut.

7. Sprawdź, czy funkcja f(x)=cos(x) dla 0<x≤π/2 i f(x)=0 poza tym przedziałem jest funkcją gęstości pewnej zmiennej losowej. Jeśli tak, to wyznacz jej dystrybuantę, wartość oczekiwaną i wariancję.

8. Wytrzymałość lin stalowych produkowanych przez pewien zakład jest zmienną losową o rozkładzie N(1000 kG/cm², 50 kG/cm²). Obliczyć jaki procent lin ma wytrzymałość mniejszą niż 900 kG/cm².

9. Automat produkuje nity. Średnice główek nitów są wartościami zmiennej losowej o rozkładzie N(2 mm; 0,1 mm). Wyznaczyć przedział (2-ε, 2+ε), w którym znajduje się 95% średnic główek produkowanych nitów.

10. Czas (w dniach) poprawnej pracy mierników pewnego typu jest normalny N(1000, 100). Jaki powinien być okres gwarancji aby na 99% miernik działał przynajmniej przez okres gwarancji?

11. W windach osobowych znajduje się instrukcja następującej treści: „maksymalne obciążenie 13 osób lub 1000 kg”. Zakładając, że waga pasażera ma rozkład normalny N(70 kg, 3 kg) wyznaczyć prawdopodobieństwo, że waga 13 przypadkowych osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 1000 kg.

12. Do wypełniania kartonów z sokiem wykorzystywany jest automat. Waga soku w wypełnianych pojemnikach ma rozkład N(1 kg; 0,05 kg).

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że waga losowo wybranego kartonu jest mniejsza niż 0,95 kg?

b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że waga kartonu przekroczy 1,05 kg?

c) Jaki procent kartonów waży więcej niż 1 kg?

13. W windach osobowych znajduje się instrukcja następującej treści: „maksymalne obciążenie 13 osób lub 1000 kg”. Zakładając, że waga pasażera ma rozkład normalny N(70 kg, 3 kg) wyznaczyć prawdopodobieństwo, że waga 13 przypadkowych osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 1000 kg.

14. Wadliwość towaru wynosi 10%. Z partii towaru pobrano 100 sztuk. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba sztuk dobrych przekroczy 85% ogólnej liczebności partii?

15. Z magazynu pobrano losowo 100 worków. Średnia waga worka wynosi 50 kg, a odchylenie standardowe wagi worków wynosi 4 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że łączna waga wybranych worków przekroczy 4,5 tony?

16. Zbiór złożony z 1000 znaków jest przesyłany między dwoma komputerami. Prawdopodobieństwo błędnej transmisji jednego znaku jest równe 0,02. Zdarzenia błędnej transmisji dla różnych znaków są niezależne. Oszacować prawdopodobieństwo, że podczas transmisji liczba błędów mieści się w granicach od 10 d0 25.

17. Urządzenie składa się z n elementów. Urządzenie pracuje, jeśli co najmniej 70% elementów jest sprawnych. Prawdopodobieństwo awarii jednego elementu jest równe 0,2. Jak duża powinna być liczba elementów, aby z prawdopodobieństwem 0,95 urządzenie pracowało.

18. Żywotność żarówek produkowanych przez pewną firmę ma rozkład normalny ze średnią 1000 h i odchyleniem standardowym 200 h. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że wśród 25 zakupionych żarówek średni czas świecenia mieści się w przedziale 900 h i 1100 h.

19. Z badań wynika, że żywotność opony radialnej ma rozkład N(90000 km, 10000 km). Zakupiono 5 opon. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich łączna żywotność przekroczy 400000 km?

20. Wiadomo, że średnia waga dorosłego człowieka wynosi 75 kg i odchylenie standardowe wagi wynosi 3 kg. Samolot zabiera 81 pasażerów. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że łączna waga pasażerów przekroczy 6 ton.

21. Inwestor uważa, że cena akcji wzrośnie jutro na giełdzie o pewną wartość X z przedziału [0 zł, 1 zł]. Przypuśćmy, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wartość posiadanych przez inwestora akcji wzrośnie jutro o więcej niż o 45 złotych, jeśli zakupił on dzisiaj 100 akcji różnych przedsiębiorstw?

22. Korzystając z tablic wyznaczyć stałą c tak, aby spełniony był odpowiedni warunek:

a) P(χ²<c)=0,05,

b) P(χ^2>c)=0,01,

c) P(χ²>c)=0,95,

d) P(t₁₀<c)=0,05,

e) P(t₁₂>c)=0,01,

f) P(f_5,10<c)=0,95,

g) P(f_5,10<c)=0,05.

23. Dostawca pewnych detali twierdzi, że ich wadliwość nie przekracza 7%. W celu sprawdzenia jego stwierdzenia przeprowadzono eksperyment, w którym wybrano losowo 100 detali, wśród których było 15 wadliwych. Dlaczego detale do próby powinny być wybierane losowo? Zaproponuj sposób losowego wyboru detali. Jaką postać ma testowana hipoteza dostawcy? Wskaż statystykę testową i obszar krytyczny. Czy na poziomie istotności 0,05 jego twierdzenie da się utrzymać?

---