Wielokąt wpisany w okrąg. Wielokąt opisany na okręgu.

O wielokącie mówimy, że jest wpisany w okrąg, gdy wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu. W takiej sytuacji można również powiedzieć, że okrąg jest opisany na wielokącie. W każdy okrąg można wpisać różne wielokąty. Natomiast nie na każdym wielokącie można opisać okrąg.

Aby istniał okrąg przechodzący przez wszystkie wierzchołki wielokąta środkiem tego okręgu musi być punkt przecięcia się symetralnych wszystkich boków wielokąta.

Ponieważ w dowolnym trójkącie symetralne jego wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie, to znaczy, że na każdym trójkącie można opisać okrąg.

Czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych katów są równe.

α

β

• δ

α + δ = γ + β

W każdym czworokącie suma miar kątów wynosi 360⁰. wynika stąd, że w czworokącie wpisanym w okrąg suma miar kątów przeciwległych jest równa 180⁰.

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania:1,2,4,5 str. 202-203 z podręcznika.

Gdy okrąg jest styczny do wszystkich boków wielokąta, to mówimy, że wielokąt jest opisany na okręgu albo że okrąg jest wpisany w wielokąt. Na danym okręgu można opisać różne wielokąty. Natomiast by w wielokąt można było wpisać okrąg, należy wyznaczyć dwusieczne wszystkich jego kątów. Punkt przecięcia się dwusiecznych jest środkiem tego okręgu.

Dwusieczne kątów każdego trójkąta przecinają się w jednym punkcie, co oznacza, że w każdy trójkąt można wpisać okrąg.

W czworokąt można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt jest wypukły i sumy długości jego przeciwległych boków są równe.

Promień okręgu jest prostopadły do boku czworokąta

Znając długość promienia okręgu wpisanego w wielokąt i obwód tego wielokąta możemy obliczyć jego pole. Wielokąt opisany na okręgu dzielimy na trójkąty łącząc wierzchołki wielokąta ze środkiem okręgu. Pole wielokąta jest równe sumie pól tych trójkątów.

Pole wielokąta opisanego na okręgu jest równe iloczynowi promienia tego okręgu przez połowę obwodu wielokąta.

P = r ⋅

Ćwiczenie 2

Rozwiąż zadania:1,2, 3, 12, 13 str. 206-208 z podręcznika.

               

---