R. Stosik

D. Kucharska

Prognozowanie i symulacje

Na podstawie danych 20-stu obserwacji oszacowano następujący model:

Y = -2,0808 + 0,0094425X + 0,20459T + ξt

(+/- 1,0636) (+/- 0,0010485) (+/- 0,074456)

gdzie:

Y - liczba linni autobusowych

X - przebieg autobusów w tys. km˛

t - zmienna czasowa

Lata	Y	X
1930	3	485
1931	4	634
1932	4	656
1933	4	775
1934	7	884
1935	8	1108
1936	11	1322
1937	14	1465
1938	16	1623
1939	17	1740
1940	16	1517
1941	16	1260
1942	13	1010
1943	9	793
1944	8	752
1945	10	869
1946	12	1200
1947	16	1663
1948	16	1691
1949	18	1821

Miary dopasowania modelu kształtują się następująco:

1. współczynnik determinacji

R² = 0,6804

co oznacza, że zgodnie z tą miarą 68% całkowitej zmienności zmiennej Y zostało wyjaśnione przez model,

2. skorygowany współczynnik determinacji

R² = 0,6428

co oznacza, że zgodnie z tą miarą 64,3% całkowitej zmienności zmiennej Y zostało wyjaśnione przez model

3. błąd standardowy reszt

SE = 1,5692

co oznacza, że przeciętne odchylenie wartości teoretycznych od empirycznych zmiennej Y wynosi +/- 1,5692 jednostek

Dla wszystkich poniższych testów należy przyjąć następujące założenia:

1. istnieje zawsze:

• H₀ - hipoteza zerowa,

• H_A - hipoteza alternatywna,

porównywane parametry:

• dane ,

• wskazane [prob],

• zasady odczytywania wyników:

• jeżeli prob >  lub prob =  to nie ma podstaw do odrzucenia H₀,

• jeżeli prob <  to odrzucamy H₀ na rzecz H_A.

Model sprawdzono za pomocą następujących testów:

1. test t-studenta

badanie indywidualne istotności parametrów strukturalnych

• dla zmiennej x: prob = 0,000 oraz  = 0,05 więc prob < 

co oznacza, że zmienna x statystycznie istotnie wpływa na zmienną Y,

• dla zmiennej t: prob = 0,149 oraz  = 0,05 więc prob > 

co oznacza, że zmienna czasowa t statystycznie nieistotnie wpływa na zmienną Y,

2. test Fishera-Snedecora

badanie łącznej istotności parametrów strukturalnych

prob = 0,000 oraz  = 0,05 więc prob < 

co oznacza, że zmienne objaśniające statystycznie istotnie wpływają na zmienną Y,

3. test DW

badanie występowania autokorelacji

DW = 0,54732 czyli podejrzewamy autokorelację dodatnią,

• podane d_l = 0,87 oraz d_u = 1,78 zatem d_l < DW < du

co oznacza, że w modelu nie występuje autokorelacja

4. test Ramsey'a

weryfikacja hipotezy o poprawności wyboru postaci analitycznej funkcji

prob = 2,7183 oraz  = 0,05 więc prob > 

czyli postać analityczna modelu jest poprawna,

5. test JB

weryfikacja hipotezy o normalnym rozkładzie składnika losowego

prob = 3,1883 oraz  = 0,05 więc prob < 

czyli składnik losowy ma rozkład normalny

6. test White'a

weryfikacja hipotezy o stałości wariancji składnika losowego

prob = 0,065822 oraz  = 0,05 więc prob > 

czyli wariancja składnika losowego nie jest stała w czasie

- ocena stabilności parametrów strukturalnych (T1=10) (test Chow'a)

T = T1 + T2

B1 - wektor parametrów strukturalnych modelu opartego na obserwacjach z okresu T1

B2 - wektor parametrów strukturalnych modelu opartego na obserwacjach z okresu T2

Ho: B1 = B2

Ha: B1 ≠ B2

CHOW = -0,6689 Fα(3,14) = 3,34

CHOW < Fα Nie ma podstaw do odrzucenia Ho; parametry w obydwu podpróbach są

sobie równe a więc model charakteryzuje się stabilnością parametrów

strukturalnych.

- ocena właściwości predyktywnych modelu (T1=10) (test PF)

T = T1 + T2

PF = 0,6213 Fα(10,7) = 3,36

PF < Fα Nie ma podstaw do odrzucenia Ho; B1=B2 czyli model charakteryzuje się

dobrymi właściwościami predyktywnymi.

- wyznaczenie historycznej prognozy punktowej dla zmiennej Y na okresy t=4, t=5, t=6

Y4 = -2,0808 + 0,0094425 * 775 + 0,20459 * 4 = 6,0555

Y5 = 7,2893

Y6 = 9.6090

- obliczenie i interpretacja wybranych błędów ex post dla prognozy „historycznej”

względny błąd prognozy

Ψ1 = 51,3875 Wyznaczając prognozę na okres T=4 pomyliliśmy się o 51,39%

Ψ2 = 4,1328 Wyznaczając prognozę na okres T=5 pomyliliśmy się o 4,13%

Ψ3 = 20,1125 Wyznaczając prognozę na okres T=6 pomyliliśmy się o 20,11%

średni błąd prognozy

Ψ = 25,2109 25,21% rzeczywistej wartości zmiennej Y stanowiło przeciętne

bezwzględne odchylenie prognoz od danych rzeczywistych

współczynnik Janusowy

J² = 0,3166 J²<1 czyli dotychczasowe prognozy są trafne - moel może być

wykorzystywany do dalszego prognozowania

średnie obciążenie prognozy

Ū = 1,3179 Ū>0 czyli prognozy są niedoszacowane

wariancja błędu ex post

Sp² = 2,2992

średni błąd prognozy

Sp = 1,5163 Zmienna prognozowana odchyla się od wyznaczonej prognozy

średnio o ±1,52 jednostki

względny błąd prognozy ex post

VSp = 23,94% 23,94% przeciętnego rzeczywistego poziomu zmiennej Y stanowi

średni błą prognoz ex post

współczynnik Theil'a

I² = 0,0535

I = 0,2313 Średni względny błąd ciągu prognoz w porównaniu z ich realizacją

wynosi 0,23 jednostek

- wyznaczenie prognozy warunkowej punktowej dla zmiennej Y na okres T+1, T+2 oraz T+3

Yt = -2,0808 + 0,0094425 X1 + 0,20459 t

Y21 = 17,9185

Y22 = 18,3875

Y23 = 19,7832

- obliczenie i interpretacja błędów ex ante dla wyznaczonych prognoz (średni błąd prognozy, względny błąd prognozy)

wariancja błędu prognozy ex ante dla 21ej obserwacji


16,2281

średni błąd prognozy ex ante dla 21ej obserwacji


4,0284 zmienna prognozowana odchyla się o 4,0284 jednostki

względny błąd prognozy ex ante dla 21ej obserwacji


22,4818 22,48% stanowi jej średni błąd

wariancja błędu prognozy ex ante dla 22ej obserwacji


17,1219

średni błąd prognozy ex ante dla 22ej obserwacji


4,1379 zmienna prognozowana odchyla się o 4,1379 jednostki

względny błąd prognozy ex ante dla 22ej obserwacji


22,5039 22,50% stanowi jej średni błąd

wariancja błędu prognozy ex ante dla 23ej obserwacji


18,0477

średni błąd prognozy ex ante dla 23ej obserwacji


4,2483 zmienna prognozowana odchyla się o 4,2483 jednostki

- wyznaczenie prognozy przedziałowej dla zmiennej Y na okres T+1, T+2 oraz T+3 oraz interpretacja otrzymanych wyników

prognoza przedziałowa na okres 21szy

tα/2 = 3,83 α = 0,05

< 2,41 ; 33,43 > Z prawdopodobieństwem 95% rzeczywista wartość

zmiennej Y w okresie 21szym znajduje się w przedziale

< 2,41 ; 33,43 >

prognoza przedziałowa na okres 22gi

tα/2 = 3,83 α = 0,05

< 2,46 ; 34,32 > Z prawdopodobieństwem 95% rzeczywista wartość

zmiennej Y w okresie 22gim znajduje się w przedziale

< 2,46 ; 34,32 >

prognoza przedziałowa na okres 23ci

tα/2 = 3,83 α = 0,05

< 3,43 ; 36,14 > Z prawdopodobieństwem 95% rzeczywista wartość

zmiennej Y w okresie 23cim znajduje się w przedziale

< 3,43 ; 36,14 >

---