Fizyka jądrowa - zadania

Zadanie 1

Oblicz, na jaką minimalną odległość od jądra złota (Z=79) zbliży się cząstka α o energii E_o=5,297 MeV, emitowana z promieniotwórczego jądra RaF ?

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

r_min=Ze²/2πε_oE_o

(przekształcona postać wzoru na zamianę energii kinetycznej w energię potencjalną w zderzeniu cząstki α z jądrem).

Przeliczamy energię cząstek α wyrażoną w MeV na J.

E_o=mv_o²/2 = 5,297 x 1,602 x 10^-13 J = 8,486 x 10^-13 J

Podstawiamy do wzoru na r_min

r_min= 79(1,602x10^-19)² / 2x3,14x(8,85 x 10^-12) x (8,486x10^-13)=

= 4,2x10^-14 m.

Odp. Cząstka α zbliży się do jądra złota na odległość r_min równą 4,2x 10^-14 m.

Zadanie 2

Oblicz związek między stałą rozpadu λ i półokresem rozpadu T_1/2.

Rozwiązanie

Zgodnie z definicją T_1/2 jest to czas, po którym połowa jąder ulega rozpadowi.

N = N^oe^-λt

Zgodnie z definicją, po czasie t=T_1/2 N = N_o/2.

N_o/2 = N_oe^-λT_1/2

½ = e^-λT1/2 stąd

- ln 2 = -λT_1/2 i obliczając otrzymujemy

T_1/2 = 0,693/λ .

Zadanie 3

Ilość rozpadów na sekundę w 1g węgla otrzymanego ze świeżo ściętego drzewa wynosi A_o. Oblicz wiek przedmiotu wykonanego z drewna, jeżeli wyznaczona dla niego aktywność A₁ = A_o/4 , a półokres rozpadu T_1/2 = 5568 lat.

Rozwiązanie

Aktywność pierwiastków zmienia się zgodnie z relacją

A₁ = A_oe^-0693t/T1/2 (wzór na liczbę atomów N

ulegających rozpadowi)

Ponieważ A₁=A_o/4, to po podstawieniu do wzoru i podzieleniu obu stron równania przez A_o otrzymujemy

¼ = e ^-0,693t/T1/2

Logarytmujemy obie strony równania otrzymując

ln ¼ = -ln2t/T_1/2,

-2ln2 = -ln2t/T_1/2 czyli

t = 2T_1/2 = 11136 lat (pomiar taki obarczony jest

błędem ±200 lat).

Odp. Wiek przedmiotu wynosi 11136 lat.

Zadanie 4

Jądro litu ⁷₃Li po wychwyceniu protonu rozpada się na dwie cząstki α. Znaleźć wartość energii cząstek α wydzielonej w tej reakcji.

Rozwiązanie

Masa jądra izotopu litu = 7,01601 u

,, ,, ,, helu = 4,00260 u

,, ,, ,, protonu = 1,00727 u

Masa jądra litu oraz protonu wynosi

m_Li + m_p = 7,01601 u + 1,00727 u = 8,02328 u

od masy tej odejmujemy masę dwóch cząstek α

2m_He = 8,00520 u.

Obliczamy deficyt masy Δm

Δm = 0,01808 u.

Ponieważ 1 u = 1,66053 x 10^-27 kg, to energia liczona ze wzoru

E = Δmc²

wynosi E = 17,35 MeV.

Odp. W trakcie reakcji zostanie wydzielona energia 17,35 MeV.

Zadanie 5

Zbiornik zawiera nieznaną objętość kwasu. Aby ją zmierzyć, do zbiornika wlano V₀=10^-2 m³ tego samego kwasu zawierającego izotop promieniotwórczy, przy czym aktywność próbki tej cieczy wynosiła A_o=10⁵ rozpadów/s. Po dokładnym wymieszaniu cieczy w zbiorniku zmierzono aktywność takiej samej próbki i stwierdzono, że wynosi ona A₁=1,2x10³ rozpadów/s. Jaka jest objętość cieczy w zbiorniku?

Rozwiązanie

W objętości V_o znajduje się ściśle określona liczba n_o atomów pierwiastka promieniotwórczego, proporcjonalna do aktywności i objętości

n_o = kA_oV_o (k - stała proporcjonalności związana z

objętością próbki).

Ta sama liczba atomów promieniotwórczych po przemieszaniu cieczy znalazła się w objętości V_x + V_o , gdzie V_x oznacza szukaną objętość.

n_o = kA₁(V_x + V_o), przyrównując obydwa równania

stronami otrzymujemy:

kA_oV_o = kA₁(V_x + V_o), przekształcamy wzór

V_x = V_o(A_o/A₁ - 1)

Po podstawieniu danych i uwzględnieniu jednostek otrzymujemy:

V_x = 10^-2 m³ (10⁵/20 - 1) = 50 m³

Odp. Zbiornik zawiera 50 m³ kwasu.

Zadanie 6

Oblicz ilość energii, jaka wydzieli się w trakcie rozszczepienia 1g izotopu ²³⁵₉₂U odbywającego się zgodnie z podanym schematem.

²³⁵₉₂U+¹₀n→(²³⁶₉₂U)→⁹⁸₄₂Mo+¹³⁶₅₄Xe+2¹₀n+4e+energia.

Ile kilogramów węgla o cieple spalania 2,48x10⁷ J/kg należy spalić, aby otrzymać tę samą ilość energii?

Rozwiązanie

Przeprowadzamy bilans mas tej reakcji

masa Mo = 97,90551 u

,, Xe = 135,90772 u

,, n = 1,00866 u

,, 4e = 0,00219 u

------------------------------------

Razem = 234,82358 u

Masa ²³⁵₉₂U = 235,04393 u

Z bilansu mas wynika, że Δm wynosi:

Δm = 0,22035 u = 3,6589 x10^-28 kg.

Obliczmy energię, jaka wydzieli się podczas jednego rozpadu:

ΔE =Δmc²= 3,293x10^-11 J.

W 1 gramie uranu znajduje się

n = N_o/235 jąder , N_o - liczba Avogadra

n = 6,025x10²³/235 = 2,5638x10²¹ jąder.

Każde jądro w trakcie rozszczepienia wydziela

ΔE = 3,2930x10^-11 J energii,

czyli całkowita energia wydzielona podczas rozszczepienia 1g uranu jest równa:

E_cał = nΔE = 8,442x10¹⁰ J.

Obliczamy ilość węgla, jaką należy spalić, aby otrzymać tę samą ilość energii jaką otrzymujemy rozszczepiając 1g uranu:

(8,442x10¹⁰ J) / (2,48x10⁷ J/kg) = 3,404x10³ kg

Odp. Wydzielona energia (1g uranu) odpowiada spaleniu

3,404x10³ kg węgla.

Zadanie ćwiczeniowe

Oblicz, jaka energia wydzieliłaby się podczas syntezy jąder helu ⁴₂He z jąder deuteru ²₁D zawartego w 1 kg wody? Ile kilogramów węgla o cieple spalania 2,48x10⁷ J/kg należy spalić, aby otrzymać tę samą ilość energii?

(rozwiązanie zadania zostanie omówione na czacie)

W analizowanych zadaniach

/ oznacz znak dzielenia, czyli kreskę ułamkową, a znak

x mnożenie.

---