Wykład 7 4.04.01.

Kinematyka płynów

Kinematyka płynów :

• geometryczny opisem ruchu płynów, bez wnikania w pole sił powodujących przepływ,

• wykorzystanie zasady analizy matematycznej, co wymaga przyjęcia założenia że płyn jest ośrodkiem ciągłym pod względem masy i odkształceń postaciowych jak i objętościowych,

• masa i odkształcenia traktowane są jako ciągłe funkcje czasu,

• założenie ciągłości masy ruchy wszystkich elementów płynu są od siebie zależne,

• założenie ciągłości odkształceń elementów płynu powstanie obok pola prędkości ruchu postępowego, pola prędkości obrotowych i pola prędkości odkształceń.

Zadania kinematyki :

• określenie pola prędkości v,

• określenie pola przyspieszeń a,

dla dowolnego elementu w dowolnym czasie.

Znajomość pola prędkości i przyspieszeń => wyznaczenie pola ciśnień p i gęstości.

Parametry ruchu płynów :

• prędkość,

• przyspieszenie,

• ciśnienie.

Klasyfikacja przepływów :

Przepływ :

• 
  nieustalony (niestacjonarny) - parametry przepływu zależą od czasu i współrzędnych położenia,

• 
  ustalony (stacjonarny) - parametry przepływu nie zależą od czasu lecz jedynie od położenia,

Przepływ trójwymiarowy :

• nieustalony,

• ustalony,

Przepływ dwuwymiarowy :

• płaski - między dwiema równoległymi płaszczyznami, do których wektory prędkości są równoległe,

• osiowosymetryczny - /v= v(r,z,t)/ wszystkie elementy płynu leżące na tym samym okręgu poruszają się z taką samą prędkością (np. przepływy w rurociągu, dyfuzory, dysze o przekroju kołowym, osiowy przekrój brył obrotowych).

Przepływ jednowymiarowy : parametry ruchu zależą od jednej współrzędnej /położenia/ - stosowany w obliczeniach hydraulicznych.

Analityczny opis przepływów :

• metoda Lagrange'a - analiza wędrowna,

• metoda Eulera - analiza lokalna.

Metoda Lagrange'a :

• rozpatrujemy ruch elementów płynu wzdłuż ich toru,

• elementy płynu charakteryzuje się za pomocą współrzędnych jakie posiadł w chwili t=t₀.

Jest to metoda teoretyczna, gdyż ciężko jest śledzić konkretny element płynu.

Opisanie za pomocą równoważnego układu równań analitycznych :

Jeżeli t jest zmienną, to równania te stanowią równanie toru elementu płynu, który w chwili t=t₀ przechodził przez punkt P₀(a,b,c).

Jeżeli t jest stałą a współrzędne są zmiennymi to równania opisują przestrzenny rozkład elementów płynu w danej chwili t.

Wyróżniony element płynu

przebędzie drogę :

z prędkością :

wektorowe pole prędkości :

wektorowe pole przyspieszeń :

gdzie :

Metoda Eulera :

• polega na badaniu zmian, jakim w czasie przepływu podlega prędkość elementu płynu, przepływający przez wybrany w obszarze poruszającego się płynu punkt,

• opis parametrów zgodny ze sposobem prowadzenia bezpośrednich pomiarów,

• 
  pole prędkości :

czyli :

współrzędne Eulera :

• 
  wektor przyspieszeń pochodna zupełna wektora prędkości pochodna substancjalna :

• 
  - zmiana wektora prędkości wiąże się ze zmianą położenia dx, a zmiana położenia następuje podczas zmiany czasu dt.

pochodna pochodna

lokalna unoszenia

Pochodną substancjalną wyznacza się analogicznie dla pozostałych parametrów przepływu, zarówno dla wielkości wektorowych jak i skalarnych.

Tor i linia prądu :

Tor - droga jaką zakreśla element płynu w ruchu.

W metodzie Lagrange'a tor opisują równania 1-3 po wyeliminowaniu czasu.

W metodzie Eulera tor opisują równania różniczkowe trajektorii :

Linia prądu - jest to linia do której w danej chwili w każdym jej punkcie wektory prędkości elementu płynu, leżących na tej linii są styczne.

• linie prądu nie mogą się krzyżować,

• wyrażone dla dwóch różnych chwil na ogół się nie pokrywają.

Różniczkowe równania linii prądu.

Warunek styczności :

K - kontur - powierzchnia zawarta w obszarze linii prądu ale nie będąca linią prądu, to zbiór linii prądu tworzących powierzchnię, a poprowadzone przez każdy punkt konturu nazywamy rurką prądu, płyn wewnątrz to struga. Jeżeli ogranicza dowolną skończoną powierzchnię to rurkę prądu uogólniamy do powierzchni prądu. Strumień - płyn zawarty wewnątrz powierzchni prądu.

Przykład :

Dla przepływu płaskiego nieustalonego opisanego funkcjami v_x=x+t, v_y=y+t, określić :

• linię prądu przechodzącą w t=0 przez punkt A(1,1),

• tor tego elementu płynu, który w chwili t=0 znajdował się w punkcie A

Równanie linii prądu :

całkując :

dla :

zatem równanie linii prądu przechodzącego w chwili t=0 przez punkt A to :

x = y

Mechanika Płynów - Wykład 7

- 2 -

z

P₀(t₀)

r₀

r P(t₀+t)

k c z

i j a x y

b

x y

z

v

ds

K

k

i j y

x

---