Marek Kopyto
Nr indeksu : 94597
Wprowadzenie do systemów telekomunikacyjnych
Seminarium rok 2000/2001
Zadanie 1/7
1) Treść zadania:
Znaleźć transformaty Fouriera, wykorzystując jej własności, następujących funkcji:
a) f{t}
A
-2 -1 1 2
t
A/2
rys.1
b) g(t)
A
t
-2 0 1
rys.2
c)
h(t)
A
cos t
- π/2 π/2
rys.3
2) Wprowadzenie teoretyczne:
Ciągła transformata Fouriera jest przekształceniem całkowym opisanym wzorem:
gdzie: f(t) - sygnał, którego transformatę wyznaczamy
ω - pulsacja sygnału
Własności ciągłej transformaty Fouriera:
liniowość
F{a*f(t) + b*h(t)}= a*F{f(t)} + b*F{h(t)}
transformata pochodnej funkcji:
)
przesunięcie w czasie:
F{f(t-to) = e-jωto *F{f(t)}
splot funkcji:
3) Rozwiązanie:
W celu wyznaczenia transformat podanych wyżej przebiegów skorzystam z własności liniowości oraz transformaty pochodnej funkcji
a) Różniczkując sygnał podany na rys.1 otrzymuję następujący przebieg
A f `(t)
-2 -1,5 0 1,5 2 t
-A
Sygnałowi przedstawionemu na rysunku odpowiada transformata F{jω}*jω, gdzie F{jω} transformata sygnału f(t).
Różniczkując drugi raz otrzymujemy
2Aδ(t +1,5 ) f`(t) 2Aδ(t - 1,5 )
2A
-2 -1,5 0 1,5 2
t
-A
-Aδ(t +2 ) -Aδ(t - 2)
-2A -2Aδ(t)
Z kolei temu sygnałowi odpowiada transformata -ω2 F(jω).
Czyli:
Korzystając również z faktu, że:
F{δ(t)}=1 oraz z własności o przesunięciu w czasie, możemy napisać :
b) Podobnie postępując jak w przykładzie a) z sygnałem przedstawionym na rys. 2 otrzymujemy:
g `(t)
A/2
-2 0 1 t
-A
Sygnałowi temu odpowiada transformata jωF{g(t)) gdzie g(t) sygnał przedstawiony na rys.2.
Różniczkując po raz drugi otrzymujemy:
g ``(t)
Aδ(t - 1)
0,5Aδ(t + 2)
-2 0 1 t
-1,5 Aδ(t)
Z kolei temu sygnałowi odpowiada transformata -ω2 F(jω).
Czyli:
Korzystając również z faktu, że:
F{δ(t)}=1 oraz z własności o przesunięciu w czasie, możemy napisać :
c) Różniczkując sygnał przedstawiony na rys.3 otrzymujemy:
h`(t)
A
-Asint
π/2
-π/2 0 t
-A
Sygnałowi temu odpowiada transformata jωF{h(t)) gdzie h(t) sygnał przedstawiony na rys.3.
Różniczkując po raz drugi otrzymujemy:
g``(t)
A Aδ(t + π/2 ) Aδ(t - π/2 )
-π/2 π/2 t
-Acost
-A
Sygnał ten możemy zapisać:
Ponieważ:
to:
Korzystając również z faktu, że:
F{δ(t)}=1 oraz z własności o przesunięciu w czasie, transformacie pochodnej funkcji oraz własności liniowości możemy napisać :
Ponieważ:
to
4)Wnioski:
Ciągła transformata Fouriera jest typem analizy widmowej.
Stosując różniczkowanie oraz korzystając z innych podstawowych własności tej transformacji można dosyć szybko i skutecznie określić widmo amplitudowe oraz fazowe badanego sygnału. Przy czym widmo amplitudowe jest modułem z transformaty Fouriera, a widmo fazowe argumentem tej transformaty.
3