Referat z dydaktyki matematyki
Temat: Funkcja liniowa-gimnazjum.
Temat opracowałam na podstawie podręczników: matematyka z +, matematyka krok po kroku oraz matematyka dla gimnazjalistów.
W Matematyce z + temat jest wprowadzony dopiero w klasie trzeciej w dziale funkcje, po tematach „odczytywanie wykresów „, oraz ”pojęcie funkcji. Zależności funkcyjne”. Przy wprowadzaniu tematu uczeń powinien znać i rozumieć:
Pojęcia odwzorowanie, funkcja, wykres funkcji,
umieć sporządzić graf, tabelkę, oraz sporządzać wykresy prostych funkcji.
Rozwiązywać równania i nierówności pierwszego stopnia.
Autorzy pojęcie funkcji liniowej proponują wprowadzić za pomocą ćwiczeń
Ćwiczenie1
Zaznacz w układzie współrzędnych punkty wykresu funkcji y=1/2 x+1, odpowiadające argumentom x=2, x=-2,x=1, x=-1, x=0, x=3.
Po czym zwracają uwagę, że punkty są współliniowe. A jeśli poprowadzimy prostą przechodzącą przez te punkty, to otrzymamy wykres funkcji y=1/2 x+1 określonej na całym zbiorze liczb rzeczywistych. następnie przedstawiają przykłady wykresów różnych funkcji liniowych. Po analizie podanych przykładów uczeń czyta informację, że funkcję określoną wzorem y=ax+b, gdzie a, b są współczynnikami liczbowymi nazywamy funkcją liniową. Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. wykresem każdej funkcji liniowej jest prosta. Aby narysować tę prostą, wystarczy znaleźć dwa dowolne jej punkty(co w przykładzie autorzy podręcznika ilustrują)
Przykład: narysuj funkcję y= -2x-1
Rozwiązanie:
Znajdujemy dwa punkty należące do wykresu tej funkcji. I tak, jeśli x=0, to y=-1. A jeśli x=1, to
y=-3. Następnie zaznaczamy znalezione punkty w układzie współrzędnym i rysujemu prostą przechodzącą przez te punkty.
Również jest pokazane jak sprawdzać czy dany punkt należ do wykresu funkcji.
Przykład sprawdź czy punkty A=(3,-1) i B=(-6,-5) należą do wykresu funkcji liniowej y=2/3x-1.
Pokazane jest, że pierw dla argumentu x=3, y=2/3*3-1=1, co różni się od drugiej współrzędnej punktu A, zatem ten punkt nie należy do wykresu funkcji. Analogicznie sprawdzamy punkt B(który należy do wykresu).
Kolejny przykład ilustruje nam w jaki sposób szukamy argumentu dla danej wartości, a mianowicie dla jakiego argumentu funkcja y=2/3x-1 przyjmuję wartość 5.
Rozwiązanie: y=5, a zatem 2/3x-1=5, stąd x=9
Kolejnym problemem poruszonym w tym programie jest graficzna ilustracja układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Pokazane zostało w jaki sposób można rozwiązywać układy równań za pomocą funkcji liniowych.(tzw metodę graficzną). A mianowicie: zwrócono uwagę, że jeśli mamy układ równań, to tworzą go dwie funkcję liniowe. Jeśli teraz narysujemy ich wykresy w jednym układzie współrzędnych, to otrzymamy rozwiązanie w postaci:
Jednego punktu, który jest punktem przecięcia obu wykresów funkcji;
Linii prostej, wówczas układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań;
Dwóch linii równoległych, wówczas układ nie ma żadnego rozwiązania.
Zwrócono uwagę, że metoda graficzna rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest mało skuteczna, gdyż nie zawsze możemy odczytać bezbłędnie z wykresu punkt przecięcia.
Kolejnym zagadnieniem, które jest poruszone, to podstawowe własności funkcji liniowej. Omówiono je w trzech tematach: „wartości dodatnie i ujemne funkcji liniowej”, „o czym mówią współczynniki funkcji liniowej?” oraz „wyznaczanie wzoru funkcji liniowej”.
Z temacie „wartości dodatnie i ujemne funkcji liniowej” możemy się dowiedzieć, że aby ustalić jakiego znaku są wartości funkcji, trzeba:
Po pierwsze narysować wykres i odczytać dla jakich argumentów funkcja przyjmuję wartości dodatnie, a dla jakich ujemne.
Lub po drugie rozwiązać dwie nierówności ax+b>0 i ax+b<0.
W temacie „ o czym mówią nam współczynniki funkcji liniowej?” mamy dokładnie omówione własności współczynnika kierunkowego oraz wyrazu wolnego. Również po raz pierwszyy uczeń spotyka się z pojęciami funkcji rosnącej, funkcji malejącej i funkcji stałej.
W przykładzie rozważamy funkcję y=1/2x-1 oraz y=-1/2x-1. Najpierw tworzymy tabelki dla podanych funkcji, gdzie argumentami są kolejne liczby naturalne.
Y=1/2x-1
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
y |
-1 |
-0,5 |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
Y=-1/2x-1
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
y |
-1 |
-1,5 |
-2 |
-2,5 |
-3 |
-3,5 |
-4 |
Wnioski:
w przypadku pierwszej funkcji dla coraz większych argumentów funkcja przyjmuje coraz większe wartości. Natomiast w drugim przypadku- coraz mniejsze wartości. O takiej funkcji jak pierwsza mówimy, że jest rosnąca, a o takiej jak druga, że jest malejąca.
Właściwie pojęcie funkcji rosnącej(malejącej) autorzy opierają na znaku a. Informują, że:
Jeśli a>0, to funkcja jest rosnąca;
Jeśli a<0, to funkcja jest malejąca;
A jeśli a=0, to otrzymujemy funkcję stałą, jej wykres to prosta równoległa do osi OX.
Następnie dopiero definiują liczbę a, jako współczynnik kierunkowy funkcji liniowej. Również możemy się dowiedzieć, że wykresy funkcji liniowych y=ax+b o takim samym współczynniku a są prostymi równoległymi. (Ogólnie sposób nie podoba mi się, autorzy nie definiują poprawnie monotoniczności funkcji, tylko pokazują sposób w jaki można ją określić w przypadku tylko funkcji liniowej. Właściwie uczeń w dalszym ciągu nie wie co to znaczy funkcja rosnąca, funkcja malejąca czy funkcja stała. Co prawda jest zamieszczona informacja, że funkcję , dla których wraz ze wzrostem argumentów wzrastają wartości nazywamy funkcją rosnącą i analogicznie dla funkcji malejącej, ale zostało to mało wyeksponowane a tym samym dla ucznia mało ważne:)). Następnie możemy przeczytać bardzo istotny fakt, że wykres funkcji liniowej przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0,b).
W kolejnym temacie uczymy się jak wyznaczyć wzór funkcji liniowej. Lekcję rozpoczynamy dwoma przykładami.
przykład 1.
Podaj wzór funkcji liniowej, której wykres przecina oś y w punkcie (0,4) i przechodzi przez punkt A=(2,1).
Rozwiązanie zadana sprowadza się do rozwiązania zwykłego układu równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, i tak wystarczy podstawić współgrze punktów do wzoru funkcji:
4=0a+b, a stąd b=4
1=2a+b, podstawiamy b=4 z pierwszej równości, czyli 1=2a+4, stąd a=-3/2
Szukany wzór ma postać: y-3/2x+4
Przykład 2:
Podaj wzór funkcji , której wykresem jest prosta równoległa do wykresu funkcji y=3x-1 i przechodząca przez punkt A=(-1,2).
Korzystamy z warunku na równoległość dwóch wykresów funkcji liniowej, a mianowicie dwa wykresy funkcji są równoległe jeśli mają taki sam współczynnik kierunkowy. Zatem szukany wzór funkcji ma postać y=3x+b, wyraz wolny wyznaczamy z równania otrzymanego po podstawieniu współrzędnych punktu A do naszego wzoru: 2=-3+b,stąd b=5. I tak nasza funkcja ma postać y=3x+5. Poczym uczniowie rozwiązują zadania.
Matematyka dla gimnazjalistów, autorstwa: K. Kłaczkow, M. Kurczab, E. Świda.
W tym programie pojęcie funkcji liniowej jest wprowadzane jako tako w klasie drugiej, a mianowicie już w klasie pierwszej uczeń spotyka się z określeniem funkcja oraz poznaje definicję i wszystkie jej własności: miejsca zerowe funkcji, monotoniczność, różnowartościowość, oraz różne sposoby opisywania funkcji. Natomiast w klasie drugiej uczeń dowiaduje się, że funkcję w postaci y=ax+b nazywamy funkcją liniową oraz poznaje jej własności. Definicja jest podobna jak w matematyce z+. co mi się bardzo spodobało, a czego mi zabrakło w poprzednim podręczniku, a mianowicie to, że autorzy od razu nazwali „a”- jako współczynnik kierunkowy funkcji, „b”- wyraz wolny. Następnie pokazali zależności pomiędzy współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym a wykresem funkcji.
Jeśli b=0, to wykres funkcji przechodzi przez początek układu współrzędnych
a>0 |
a<0 |
a=0 |
Prosta przechodzi przez I i III ćwiartkę układu współrzędnych |
Prosta przechodzi przez II i IV ćwiartkę układu współrzędnych |
Prosa pokrywa się z osią OX |
Jeśli a=0 i b jest różne od 0 to wykresem funkcji liniowej jest prosta równoległa do osi OX
Jeśli mamy dwie funkcję o tych samych współczynnikach kierunkowych, ale różnych wyrazach wolnych, to wykresy tych funkcji są względem siebie równoległe.
Również pojawił się tez fakt:
Tw.1
Wykresem funkcji liniowej y=ax+b, gdzie x należy do rzeczywistych jest prosta przecinająca oś OY w punkcie (0,b)
Również pojawia się pojęcie proporcjonalności prostej. Jest wprowadzone przed funkcją liniową jako zależność między dwiema wielkościami zmiennymi x, y określoną wzorem y=ax, gdzie a jest liczbą różną od zera zwaną współczynnikiem proporcjonalności.
Następnie uczniowie na przykładach omawiają już poznane w klasie pierwszej własności funkcji, takie jak: monotoniczność, miejsce zerowe, wartości dodatnie i ujemne .
Później wykorzystujemy wiadomości o funkcji liniowej do rozwiązywania równań i nierówności liniowych, a mianowicie graficzną prezentację rozwiązań. W klasie trzeciej pojęcie funkcji liniowej wykorzystywane zostaje w tematach związanych z układami równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Matematyka krok po kroku.
W tym podręczniku autorzy proponują wprowadzić pojęcie funkcji liniowej na przykładzie zależności pomiędzy skalą Fahrenheita a skalą Celsjusza. Mianowicie określają tą zależność wzorem F(x)=9/5x+32, gdzie x jest temperaturą podaną w skali Celsjusza, a F(x) odpowiadającą jej wartością wyrażoną w skali Fahrenheita. Następnie utworzono tabelkę częściową funkcji F i naszkicowano jej wykres(co bardzo mi się spodobała autorzy użyli zwrotu „naszkicujmy” a nie „narysujmy” jak to było w poprzednich podręcznikach). Dalej mamy definicje funkcji liniowej, podobną jak w poprzednich podręcznikach. Tu również na wstępie zostało zdefiniowane a- jako współczynnik kierunkowy i b -wyraz wolny. Po definicji możemy przeczytać informację, że wykresem funkcji liniowej danej wzorem f(x)=ax+b jest prosta o równaniu y=ax+b. współrzędne (x0,z0 ) każdego punktu prostej o danym równaniu spełniają to równanie. W kolejnym przykładzie pokazane zostało w jaki sposób sprawdzić czy dany punkt należy do wykresu funkcji.
Przykład:
Sporządźmy wykres funkcji f dany wzorem f(x)=-2x+4 i sprawdźmy, czy punkty A=(1/2,3)
i B=(-1,4) należą do wykresu funkcji.
Proponowane rozwiązanie: rysujemy w jednym układzie współrzędnych wykres funkcji f oraz punkty A i B. Na podstawie sporządzonego wykresu możemy łatwo stwierdzić, że punkt A prawdopodobnie leży na prostej, natomiast punkt B nie leży na tej prostej. Aby to sprawdzić , obliczamy wartość funkcji dla argumentów ½ i -1
f(1/2)=3, f(-1)=6.
Wyciągamy wniosek, że istotnie punkt A leży na prostej będącej wykresem funkcji, gdyż druga współrzędna punktu A jest równa wartości funkcji f dla argumentu 1/2. Punkt B nie leży na tej prostej, gdyż f(-1)=6 nie jest równe 4.
Czym się różni ten podręcznik od poprzednich tym, że niektóre fakty uczeń sam odkrywa np.: w zadanym problemie :Czy każda prosta na płaszczyźnie z układem współrzędnych jest wykresem pewnej funkcji liniowej? Uczeń sam musi spostrzec, że prosta dana równaniem x=b nie jest funkcją, a zatem też nie jest funkcją liniową. Poczymsą proponowane zadania, które w sposób ciekawy i rozwijający utrwalają wiadomości o funkcji liniowej. Następnie możemy przeczytać ładnie sformułowane wnioski z rozwiązanych zadań.
Wykres funkcji liniowej f określonej wzorem f(x)=ax+b (dla x należącego do liczb rzeczywistych), gdzie a jest różne od 0, przecina oś x w punkcie o współrzędnych (-b/a,0) oraz przecina oś y w punkcie o współrzędnych (0,b)
Wykresem funkcji f określonej wzorem f(x)=ax+b (dla x należącego do liczb rzeczywistych), gdzie a=0, jest prostą równoległą do osi x oraz przecinającą oś y w punkcie o współrzędnych (0,b).
Również możemy odnaleźć informację o warunku równoległości dwóch wykresów funkcji liniowej. Podobnie jak w poprzednich podręcznikach w przykładach są pokazane sposoby wyznaczania wzoru funkcji. W kolejnym temacie „ własności funkcji liniowej” głównie dowiadujemy się o monotoniczności funkcji. Właściwie pojęcie funkcji rosnącej, malejącej czy stałej również oparte zostało na znaku współczynnika kierunkowego, ale bardziej już została zaakcentowana definicja funkcji rosnącej i funkcji malejącej. Jest szansa, że uczeń zapamięta:
Funkcję f nazywamy rosnącą, gdy wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości i analogicznie dla funkcji malejącej.
Ciekawe zadania:
Zad.1. paradoks Zenona z Elei.
Szybkonogi Achilles goni żółwia, biegnąc dwa razy szybciej od niego. Zenon z Elei wyjaśnia, że Achilles nigdy nie dogoni żółwia, gdyż: Jeżeli początkowa odległość jest równa 10m i Achilles biegnie 2 razy szybciej od żółwia, to gdy przebiegnie 2m, to żółw przejdzie 1m. kiedy Achilles przebiegnie 1m, to żółw przejdzie 1/2m. kiedy Achilles przebiegnie 1/2 m, to żółw przejdzie 1/4m. za każdym razem odległość między żółwiem a Achillesem będzie dodatnia. Sporządź wykres drogi Achillesa i żółwia.
Czy Zenon z Elei miał rację?
Zad.2.
Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest zawarty w dwusiecznej kąta prostego o ramionach wyznaczonych przez osie układu współrzędnych na płaszczyźnie.
Zad. 3.
Wymień miejsca zerowe następujących funkcji:
Każdej liczbie naturalnej mniejszej od 50 przyporządkujemy resztę z dzielenia tej liczby przez 9
Każdej liczbie naturalne jod 1 do 20 przyporządkujemy liczbę parzystych dzielników tej liczby.
Ścieżki:
Ekologiczna
Na rysunku przedstawiona zmiany emisji dwutlenku siarki na terenie Polski
Podaj lata, w których następował wzrost emisji dwutlenku siarki
Podaj okres, w którym nastąpił największy spadek emisji dwutlenku siarki
Prozdrowotna
Normalne ciśnienie człowieka rośnie wraz z wiekiem. Doświadczalnie ustalono wzór na obliczanie prawidłowego ciśnienia krwi:
p[mmHg]=102+0,6w[lata].
Na podstawie powyższego wzoru:
Oblicz prawidłowe ciśnienie noworodka
Oblicz ciśnienie krwi człowieka w wieku 30 lat
W jakim wieku człowieka ciśnienie krwi wynoszące 147 mmHg jest prawidłowe?
Czytelniczo-medialna
Znajdź kto jako pierwszy wprowadził oznaczenie funkcji f(x). Kim był i jakie miał zasługi dla matematyki.
Regionalna
Zakładając, że pociąg na trasie Gdynia- Łódź jedzie ze stałą prędkością v=70km/h, narysuj wykres zależności drogi od czasu. Sprawdź jaka jest odległość między stacjami kolejowymi Gdynia- Łódź. Podaj dziedzinę tej funkcji.
Fizyka
W czasie rozciągania sprężyny sporządzona następującą tabelkę wyników pośrednich:
F[N] |
0 |
1 |
2 |
3 |
D[cm] |
0 |
3 |
6 |
9 |
Przedstaw te wyniki na wykresie i oblicz wykonaną pracę w czasie doświadczenia. (prace obliczamy jako pole powierzchni figury ograniczonej wykresem funkcji, osiami układu współrzędnych i prostą o równaniu F=3)
Chemia
Biologia
Ilość pokarmu p[kg] potrzebna na dobę krowie zależy od jej żywej wagi [kg] w następujący sposób: p=0,006w+3,7. Oszacuj ile pokarmu na dobę potrzebuje krowa o żywej wadze 500kg
Geografia
Zadania standardowe:
Zad.1. wykonaj wykres funkcji y=3/2 x+4/7.
Zad.2 Jakim wzorem określamy funkcję liniową, której wykres przecina oś y w punkcie (0,7) i której miejscem zerowym jest liczba 7?
Zad,3 oblicz dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, dla jakich ujemne: y=6x-18
Zad. 4 ustal jaką( rosnącą czy malejącą ) funkcją jest funkcja liniowa, której wykres :
Przecina oś x w punkcie (-3,0), a oś y w punkcie (0,4),
Przechodzi przez punkty (1, ½ ) i (4,-2)
Przechodzi przez II, III i IV ćwiartkę układu.
Standardy i zadania występujące na egzaminach zewnętrznych :
8