Nazwisko i imię:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 0: Szacowanie niepewności w pomiarach laboratoryjnych

Cel ćwiczenia:

Zapoznanie sie z metodami obliczania niepewności wielkości mierzonych i wyliczanych

w laboratorium fizycznym.

Zagadnienia do opracowania

1. Co to jest niepewność wyniku pomiaru i czym różni sie od pojęcia błędu pomiaru?

Jak zapisujemy wynik pomiaru z niepewnością?

2. Jak szacujemy niepewność wyniku gdy wykonujemy pomiar jednokrotnie?

3. Omów rozkład normalny (Gaussa) i objaśnij pojecie prawdopodobieństwa i gęstości

prawdopodobieństwa.

4. Jaka wielkość statystyczna jest miara niepewności i jak ja szacujemy?

5. Omów prawo przenoszenia niepewności; kiedy wolno je stosować?

6. Podstawowe parametry statystyczne wielokrotnego pomiaru (wartość średnia, odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru i wartości średniej).

7. Wyjaśnij pojęcia: poziom ufności i przedział ufności na przykładzie rozkładu normalnego

8. Wyjaśnij pojęcia niepewności rozszerzonej. Jak szacuje sie niepewność w przypadku

niewielkiej liczby powtórzeń pomiaru?

Ocena z odpowiedzi:

Ad 1. Niepewność pomiaru - różnica pomiędzy wartością pewnej wielkości uzyskaną w wyniku pomiaru a rzeczywistą wartością tej wielkości. Charakteryzuje ona rozrzut wartości (szerokość przedziału), wewnątrz którego można z zadowalającym prawdopodobieństwem usytuować wartość wielkości mierzonej. Natomiast błąd pomiaru - odstępstwo wyniku jednostkowego pomiaru od wartości prawdziwej, której wielkości na ogół nie znamy. Przez błąd rozumie się różnicę wyniku pomiaru i wartości prawdziwej zazwyczaj nieznanej.

Ad 2. Gdy wyniki pomiarów są takie same lub podlegają systematycznym zmianom, wówczas metody statystyczne nie mogą być zastosowane. Sytuacja taka występuje np. gdy:

• klasa przyrządu jest niska w danych warunkach pomiaru (na przykład przy pomiarze długości ołówka linijką ze skalą centymetrową). Wówczas o niepewności pomiarowej decyduje klasa przyrządu (w przykładzie z linijką będzie to 1 cm),

• mierzona wielkość zmienia się znacząco w czasie pomiaru z powodu warunków zewnętrznych, np. zmiany temperatury.

Wyznaczając niepewność pomiaru należy uwzględnić wszystkie składowe mające wpływ na wynik pomiaru, obliczone obiema metodami. Z rozważań statystycznych tego postulowanego tzw. równomiernego rozkładu zmiennej losowej wynika, że niepewność standardowa typu B, uB, pomiaru tym przyrządem wyraża sie wzorem:

u_B =

Ad 3. Jeżeli wyniki pomiarów w serii x1, . . . , xn są otrzymywane w sposób niezależny
i w warunkach zapewniających taka sama dokładność pomiaru, a także jeżeli liczba pomiarów (n) staje sie znacząco duża (teoretycznie powinniśmy rozpatrywać przypadek
n zdążającego do nieskończoności; w praktyce wystarcza zwykle n ok. 20÷30) to zmienna losowa jaka jest wynik pomiaru x podlega tzw. rozkładowi Gaussa (rozkładowi normalnemu) o wartości oczekiwanej μ i odchyleniu standardowym ϭ. Rozkład ten określa funkcja gęstości prawdopodobieństwa, ƒ(x) dana wzorem

Funkcja
określa prawdopodobieństwo P przyjęcia zmienną losową X wartość
z określonego przedziału zmiennej (x,x+dx)

Rozkład normalny Gaussa - gęstości prawdopodobieństwa
zestandaryzowanej zmiennej
u =
/
, gdzie x oznacza wynik pomiaru,
wartość oczekiwaną,
a
odchylenia standardu.

Ad 4. Dla pojedynczego pomiaru niepewność szacowana jest z niepewności wzorcowania przyrządu lub w oparciu o tzw. działkę elementarna stosowanego miernika). Najczęściej wykorzystuje się pojecie niepewności standardowej (u). Przyjęto umowę, że wynikiem pomiaru jest uzyskany liczbowy rezultat pomiaru wraz z wartością liczbowa oszacowanej niepewności standardowej - obie liczby reprezentują pewne wielkości, wyrażone przy użyciu tej samej jednostki! Niepewność standardowa zaokrągla sie do maksymalnie dwóch cyfr znaczących, a wynik pomiaru zaokrągla się i podaje z miejscami znaczącymi zgodnymi co do pozycji z niepewnością. Na przykład, zapisujemy wynik: 1522 z niepewnością 1, ale nie 1522 z niepewnością 0,9. Albo 1,00061 (u = 0, 00027), czy zaokrąglony 1,0006 (u = 0, 0003), ale nie 1,0006 (u = 0, 00027). Karygodnym jest podawanie wszystkich cyfr wynikających
z obliczeń numerycznych przy użyciu kalkulatora, np.: 1522,79346214 (u = 1, 35791622).

Ad 5. Najprostszy przypadek prawą przenoszenia niepewności (bezwzględnej) zachodzi,

gdy funkcja y jest suma lub różnica dowolnej liczby składników. Pochodne cząstkowe

są równe jedności i w rezultacie niepewność złożona jest suma geometryczna niepewności

poszczególnych składników:

Prawo przenoszenia niepewności przyjmuje postać szczególnie przejrzysta i wygodna do praktycznych obliczeń, gdy zamiast niepewności bezwzględnych obliczymy złożona niepewność względna ur(y) = uc(y)/y. W tym celu równanie najpierw dzielimy obustronnie przez y,

Następnie wyrażenia wewnątrz nawiasów kwadratowych mnożymy i dzielimy przez xk:

Wyraziliśmy niepewność względną wielkości mierzonej pośrednio ur(y) = uc(y)/y jako sumę geometryczna niepewności względnych ur(xk) = ur(xk)/xk pomnożonych przez zależne od postaci funkcji y(x1, . . . , xk, . . .) bezwymiarowe wagi wk równe

Tak uzyskane prawo przenoszenia niepewności względnych można krótko zapisać wzorem

Ad. 6 Odchylenie standardowe - klasyczna miara zmienności, obok średniej arytmetycznej najczęściej stosowane pojęcie statystyczne. Intuicyjnie rzecz ujmując, odchylenie standardowe mówi, jak szeroko wartości jakiejś wielkości (takiej jak np. wiek, inflacja, kurs akcji itp.) są rozrzucone wokół jej średniej. Im mniejsza wartość odchylenia tym obserwacje są bardziej skupione wokół średniej.

Wyróżnia się:

• odchylenie standardowe zmiennej losowej, będące właściwością badanego zjawiska. Daje się ono obliczyć na podstawie ścisłych informacji o rozkładzie zmiennej losowej^[2]. Rozkład ten w praktycznych badaniach nie jest zwykle znany.

• odchylenie standardowe w populacji, które jest liczbą dającą się obliczyć dokładnie, jeśli znane byłyby wartości zmiennej dla wszystkich obiektów populacji; odpowiada odchyleniu zmiennej losowej, której rozkład jest identyczny z rozkładem w populacji.

• odchylenie standardowe z próby, które jest oszacowaniem odchylenia standardowego w populacji na podstawie znajomości wyłącznie części jej obiektów, czyli właśnie tzw. próby losowej. Stosowane do tego celu wzory nazywane są estymatorami odchylenia standardowego.

Wartość oczekiwana (przeciętna, średnia), nadzieja matematyczna - w rachunku prawdopodobieństwa wartość opisująca spodziewany (średnio) wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

Formalnie, jeżeli dyskretna zmienna losowa X przyjmuje wartości
z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio
, to wartość oczekiwana
zmiennej losowej X wyraża się wzorem

.

Jeżeli zmienna X przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, to wzór na jej wartość oczekiwaną ma
w miejsce n (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny). Jeżeli X jest zmienną losową typu ciągłego zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej
, to wartość oczekiwaną zmiennej losowej X definiuje się jako całkę

o ile powyższa całka istnieje, czyli jest skończona:

.

Ad. 7 Poziom ufności - w metrologii i statystyce: prawdopodobieństwo 1-α związane
z przedziałem ufności. Poziom ufności bywa często wyrażany w procentach. Wartość poziomu ufności jest jednym ze składowych wyniku pomiaru umieszczanym na świadectwie wzorcowania. Wynik pomiaru podaje się zwykle dla poziomu ufności p=95%. Oznacza to
95-procentowe prawdopodobieństwo, że wynik pomiaru zawiera się w przedziale domkniętym ograniczonym niepewnością rozszerzoną pomiaru.

Przedział ufności - niech cecha X ma rozkład w populacji z nieznanym parametrem θ.
Z populacji wybieramy próbę losową (X₁, X₂, ..., X_n). Przedziałem ufności (θ - θ₁, θ + θ₂)
o współczynniku ufności 1 - α nazywamy taki przedział (θ - θ₁, θ + θ₂), który spełnia warunek:

P(θ₁ < θ < θ₂) = 1 − α

gdzie θ₁ i θ₂ są funkcjami wyznaczonymi na podstawie próby losowej.

Podobnie jak w przypadku estymatorów definicja pozwala na dowolność wyboru funkcji
z próby, jednak tutaj kryterium wyboru najlepszych funkcji narzuca się automatycznie
- zazwyczaj będziemy poszukiwać przedziałów najkrótszych.

Współczynnik ufności 1 - α jest wielkością, którą można interpretować w następujący sposób: jest to prawdopodobieństwo, że rzeczywista wartość parametru θ w populacji znajduje się
w wyznaczonym przez nas przedziale ufności. Im większa wartość tego współczynnika, tym szerszy przedział ufności, a więc mniejsza dokładność estymacji parametru. Im mniejsza wartość 1 - α, tym większa dokładność estymacji, ale jednocześnie tym większe prawdopodobieństwo popełnienia błędu. Wybór odpowiedniego współczynnika jest więc kompromisem pomiędzy dokładnością estymacji a ryzykiem błędu. W praktyce przyjmuje się zazwyczaj wartości: 0,99; 0,95 lub 0,90, zależnie od parametru. Cecha ma w populacji rozkład normalny N(m, σ), przy czym odchylenie standardowe σ jest znane. Przedział ufności dla parametru m tego rozkładu ma postać:

lub równoznacznie:

gdzie:

• n to liczebność próby losowej

• 
  oznacza średnią z próby losowej

• σ to odchylenie standardowe populacji

• u_α jest statystyką, spełniającą warunek:

P( − u_α < U < u_α) = 1 − α, gdzie U jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(0,1).

• 
  oraz
  to kwantyle rzędów odpowiednio
  i
  rozkładu N.

Ad. 8 Niepewność rozszerzona pomiaru - wielkość definiująca przedział wokół wyniku pomiaru, który zgodnie z oczekiwaniami może obejmować dużą część rozkładu wartości, które w uzasadniony sposób można przypisać wielkości mierzonej. Niepewność rozszerzoną U_p otrzymujemy przez pomnożenie niepewności standardowej pomiaru u_c(y) przez współczynnik rozszerzenia dla określonego rozkładu błędów k:

U_p=k_p*u_c(y)

gdzie:

• k_p jest współczynnikiem rozszerzenia.

• literka p oznacza poziom ufności pomiaru np: napięcia, natężenia, rezystancji.

Niepewność rozszerzona została stworzona dla potrzeb zastosowań przemysłowych
i handlowych. Tworzy ona pewien margines bezpieczeństwa wymaganego w powyższych dziedzinach i dla ochrony życia i zdrowia.

Ocena i podpis

---