Ciecze lepkie
Do cieczy lepkich zaliczamy ciecze izotropowe w ogólności ściśliwe, w których dewiator naprężenia jest różny od zera i jest liniową funkcją dewiatora prędkości odkształcenia.
Współczynnik lepkości postaciowej
sij=2*μ*eij.
eij.=(1/2)*((∂vi/∂ξj)+(∂vj/∂ξi)-(1/3)*(∂vi/∂ξj)
Definicja tensora odkształcenia Eulera
σij=-p*δij+λ*vl,l*δij+2*μ*ηij.
λ-współczynnik lepkości odkształcenia objętościowego
ηij.-tensor prędkości deformacji
σ=-p+λ*vl,l+(2/3)*μ*vl,l
σ=-p+λ'*vl,l
λ'-współczynnik lepkości objętościowej
λ'=λ+(2/3)*μ
Równania Navera-Stokesa
ρ*(dvi/dt)=-p,i+ρ*xi+(λ+μ)*vl,li+μ*∇2*vi -zapis wektorowy
ρ*v.=ρ*x-gradp+(λ+μ)*graddivv+μ*∇2*v
Równania ciągłości masy Eulera
d/dt(lnρ)+vi,i=0
d/dt(lnρ)+divv=0 -wektorowo
Ciecz lepka nieściśliwa
Moc naprężeń w jednostce objętości
σij*ηij.=-p*vl,l+λ*(vl,l)2+2*ηij.* ηij.*μ
Bilans entropii
du/dt=(p/ρ)*(dρ/dt)+T*(dsr/dt)
T*(dsr/dt)=λ*(vl,l)2+2*μ*ηij.* ηij.=ρ*ℵ.
Funkcja rozproszenia energii dla ośrodka nieściśliwego
T*(dsr/dt)=2*μ*eij.*eij.=ρ*ℵ.
Z definicji przy takich samych założ. dla ośrodka nieściśliwego
sij=∂x0./∂eij.
x0.=(1/2)*T*(dsw/dt)=v
Przy założ. liniowości związków naprężenia mogą być zamienione na ciepło
du/dt=T*(dsv/dt)=-qi,i+r
T*(dsv/dt)=ρ*cv*(dT/dt)
Równanie przewodnictwa - prawo Fonera
-ql,l=λT*∇2*T
ρ*cv*(dT/dt)=λT*∇2*T+2*μ*eij.*eij.
Kinematyczny współczynnik lepkości
ν=μ/ρ
Równanie przewodnictwa cieplnego
dT/dt=Η*∇2*T+(ν/cv)*vi,j*vi,j
Równanie ruchu nie zawiera divergencji bo div=0
| dvi/dt=xi-(1/ρ0)*p,i+ν*∇2*vi
| ρ=ρ0=const
| vi,i=0
Jeżeli μ=μ(T) - funkcja temperatury
dvi/dt=xi-(1/ρ0)*p,i+ν*∇2*vi+2*ν'*eij.*T,j
ν'=(1/ρ0)*dμ/dT
Równanie elipsy
(eij)2/(eij.)2=(sij)2/(2*μ*ω*eij.)=1
Pole elipsy
F=π*2*μ*ω*eij.*eij.
Praca wykonana na jeden cykl
F=2*π*μ*ω*(eij.)2
Ciało stałe sprężyste
Ciałem doskonale sprężystym nazywamy ośrodek dla którego stan naprężenia w danej chwili t zależy tylko i wyłącznie od stanu odkształcenia w tej samej chwili w danym punkcie.
1.Zakładamy że ośrodek jest jednorodny
2.Jest izotropowy
3.Przyjmujemy teorię małych odkształceń
ui,j-odkształcenie
|ui,j|<<1
4.Σ(m) ρ*ℵm.=0
5.Bilans entropii
T*(ds./dt)=(du/dt)-σij*εij.=-ql,l
(du/dt)=σij*εij.-ql,l
(du/dt)-T*(ds/dt)=σij*εij.
Energia Hoholca
Ψ=u-T*s
dΨ/dt=σij*εij.-s*T.
Funkcja stanu
∂Ψ/∂εij=σij ; ∂Ψ/∂T=-s
s-entropia
Postać rozwinięta z uwzględnieniem temperatury
Ψ=(1/2)*λ*e2+μ*εij*εij+a1*Θ+a2*Θ2
σij=2*μ*εij+(λ*e+a1*Θ)*δij
Moduł odkształcenia objętościowego K
K=λ+(2/3)*μ
Równanie przewodnictwa cieplnego
∇2*Θ-a*e.=(1/Η)*Θ.
A=(3*λT*k*T0)/(ρ*cv*Η)
Η=λT*ρ*cv
Opis Lagrange'a bo małe przemieszczenia
σij,j+ρ*xi=ρii
εij=(1/2)*(ui,j+uj,i)
Układ sprzężonej termosprężystości Dahameta-Neumana
μ*∇2*ui+(λ+μ)*e,i+ρ*xi=ρ*ui..+k*Θi k=3*αT*K
μ*∇2*u+(λ+μ)*graddivu+ρ*x=ρ*u..+k*gradΘ
Szczególne przypadki liniowej teorii sprężystości
Układ sprzężonej sprężystości
| μ*∇2*ui+(λ+μ)*e,i+ρ*xi=ρ*ui..+k*Θ,i
| ∇2*Θ-a*e.=(1/Η)*Θ.
Układ sprężony
-pomijamy e
∇2*Θ=(1/Η)*Θ.
Równanie przemieszczeniowe Nawera
μ*∇2*ui+(λ+μ)*e,i+ρ*xi=0
Prawo Hooka bez wpływu temperatury
σij=2*μ*εij+λ*δij*εkk
Wektor kulisty
σ=k*e=(λ+(2/3)*μ)*e
Ośrodki liniowo lepkosprężyste
Ciało Kalvina-Voigta
-związki fizyczne są takie same, zmieniają się tylko związki fizyczne
-w związkach fizycznych jest zależność od czasu
εij=(1/2)*(ui,j+uj,i)
Reologia
Bada ośrodki gdzie związki fizyczne są funkcjami czasu
Pełzanie
| sij=2*G*eij+2*ηk*eij.=2*G*(eij+τk*eij.)
| σ=K*(e-3*αT*Θ)
τk-czas opóźnienia pełzania
τk=ηk/G
Prawo Hooka
σij=2*G*(εij+τk*εij.)+[(K-(2/3)*G)*e-(2/3)*G*τk*e.-3*αT*K*Θ]*δij
Równanie przewodnictwa cieplnego
Θ.=Η*∇2*Θ-Η*a*e.+(ν/cv)*eij.*eij.
Równanie postaciowe
μ*∇2*ui+ηk*∇2*ui.+(λ+μ)*e,i+(1/3)*ηk*eij.-ρ*xi=ρ*ui..+k*Θ,i
Pozbywając się temperatury dochodzimy do
μ*∇2*ui+ηk*∇2*ui.+(λ+μ)*e,i+(1/3)*ηk*e,i.+ρ*xi=0
Zagadnienie statyczne (nie ma bezwładności)
sij=2*G*eij+2*ηk*eij. σ=k*e
σij=2*G*(εij+τk*εij.)+(λ*e-(2/3)*G*τk*e.)*δij
Charakterystyka
eij(t)=(sij./2*G)*[1-e-t/τk]
Ciało Maxwella
Model mechaniczny
| sij=2*G*eij(s)
| sij=2*ηM*eij.(l)
Dewiatorowe odkształcenie
eij=eij(s)+eij(l)
Prawo Hooka z temperaturą
σ=k*(e-3*α*Θ)
Ogólna zależność
2*ηM*εij.=σij+τM*σij.-[σ-((2*ηM/3*k)-τM)*σ.+2*ηM*αT*Θ.]*δij
τM-czas relaksacji
Charakterystyka
sij(t)=2*G*eij.*e-t/τM
Równanie przewodnictwa cieplnego
∇2Θ-a*e.=(1/Η)*Θ.
A=(3*αT*k*T0)/(ρ*cv*Η)
Η=λT*ρ*cv
Opis Lagrangea bo małe przemieszczenia
σij,j+ρ*xi=ρii
εij=(1/2)*(ui,j+uj,i)
Układ sprzężonej termosprężystości
μ*∇2*ui+(λ+μ)*e,i+ρ*xi=ρ*ui..+k*Θi
k=3*αT*K
Dohemeta-Neumana
μ*∇2*u=(λ+μ)*graddivu+ρ*x=ρ*u..+k*gradΘ
Funkcja relaksacji
Ψ(t)=s(t)/e0
Ψ(t)=∫(0-∞) G(τ)*exp(-t/τ)dτ
s=2*∫(-∞-t) Ψ(t-ω)*(de(ω)/dω)*dω
Funkcja pełzania
ϕ(t)=e(t)/s0
ϕ(t)=∫(0-∞) g(t)*[1-exp(-t/τ)]*dτ
Analogia
σij=2*μ*εij+λ*δij*εkk
σij=2*μk*(εij+τk*εij.)+[(K-(2/3)*μ)*e-(2/3)*μ*τk*e.]*δij
σij+τM*σij.=2*ηM*εij.+[K*e+(τM*K-(2/3)*ηM)*e.]*δij
Transformata Laplaca
f(s)=∫(0-∞) f(t)*e-st*dt
Transformata funkcji pełzania
σij=2*μk*(εij+τk*s*εij)+[(K-(2/3)*μ)*e-(2/3)*μ*τk*s*e]*δij
σij+τM*σij=2*ηM*εij+[K*e+s*(τM*K-(2/3)*ηM)*e]*δij
σij=εij*(2*μk+2*μk*τk*s)+e*[K-(2/3)*μ-(2/3)*μ*τk*s]*δij
Transformata odwrotna
f(t)=(1/2*π*i)*∫(χ-i*ω - χ+i*ω) f(s)*sst*ds
Transformata odwrotna funkcji pełzania
σij=Pk(s)*εij+Qk(s)*e*δij
σij=PM(s)*εij+QM(s)*e*δij
Pk(s)=2*μ*(1-s*τk)
Qk(s)=K-(2/3)*μ*(1-sτk)
PM(s)=(2*ηM*s)/(1+τM*s)
QM(s)=(K*(1+τM*s)-(2/3)*ηM*s)/(1+τM*s)