Grupa: MT-31

Marek Malec

Zadanie I.16

Znaleźć czynnik całkujący dla następujących wyrażeń Pfaffa

Wyrażenie Pfaffa ma następującą postać

DX = X₁(x₁,x₂)dx₁ + X₂(x₁,x₂)dx₂

Gdzie:

X₁(x₁,x₂) i X₂(x₂,x₁)

Funkcja pierwsza i druga dwóch zmiennych niezależnych x₁ oraz x₂, zaś dx₁ i dx₂ to elementarne przyrosty zmiennych niezależnych.

Poszukiwany czynnik całkujący ma postać l(x₁,x₂) funkcji dwóch zmiennych niezależnych x₁ i x₂. Rozważamy dwa przypadki

1. l = l (x₁) - gdy czynnik całkujący jest funkcja zmiennej niezależnej x₁. Jest on wówczas określony poniższym równaniem różniczkowym

dlnl (x₁) =

2. l = l (x₂) - gdy czynnik całkujący jest funkcją zmiennej niezależnej x₂. Określa go wówczas równanie

dlnl (x₂) =

Przykład 1

Wyrażenie Pfaffa ma postać

DX= xdx + xydy

Funkcja pierwsza jest równa

X₁(x₁,x₂) = x

I odpowiednio zmienna niezależna pierwsza i jaj elementarny przyrost

x₁ = x dx₁ = dx

Funkcja druga jest równa

X₂(x₁,x₂) = xy

I odpowiednio zmienna niezależna druga i jej elementarny przyrost

x₁ = y dx₂ = dy

Zakładamy że czynnik całkujący jest funkcji tylko zmiennej niezależnej pierwszej

l = l (x₁) = l (x)

mamy zatem

dlnl (x) =

Wykonując różniczkowanie

= 0 oraz
= y

otrzymamy

dlnl (x) =

zatem

dlnl (x) =

Całkując ostatnie równanie ze stała całkowania

otrzymamy

lnl(x) = -dlnx + lnc

lub

lnl(x) =

Jeżeli logarytmy są równe to i liczby logarytmowane są równe. Zatem

l(x) =

Sprawdzenie

l(x)DX =

0 = 0

L = P

Przykład 2

Wyrażenie Pfaffa ma postać

DX = xdy + 2ydx

Funkcja pierwsza jest równa

X₁(x₁,x₂) = 2y

I odpowiednio zmienna niezależna pierwsza i jej przyrost

x₁ = x dx₁ = dx

Funkcja druga jest równa

X₂(x₁,x₂) = x

I odpowiednio zmienna niezależna druga i jej przyrost

x₂ = y dx₂ = dy

Zakładamy że czynnik całkujący jest funkcją tylko zmiennej niezależnej pierwszej

l = l (x₁) = l (x)

Mamy zatem

dlnl (x) =

wykonując różniczkowanie

= 2 oraz
= 1

otrzymano

dlnl (x) =

zatem

dlnl (x) =

lub

dlnl (x) = dlnx

Całkując powyższe równanie ze stałą całkowania

otrzymujemy

lnl(x) = lnx + lnc

lub

lnl(x) = ln(xc)

Zatem czynnik całkujący równy jest

l(x) = xc

Sprawdzenie

l(x)DX = cx²dy + 2cyxdx

Pochodne mieszane maja postać

Stąd

2cx = 2cx

Zatem

L = P

Przykład 3

Wyrażenie Pfaffa ma postać

DX = xydx

lub

DX = xydx + 0dy

Zatem pierwsza funkcja jest równa

X₁(x₁,x₂) = xy

I odpowiednio zmienna niezależna pierwsza i jaj przyrost

x₁ = x dx₁ = dx

Funkcja druga jest równa

X₂(x₁,x₂) = 0

i odpowiednio zmienna niezależna druga i jej przyrost

x₂ = y dx₂ = dy

Zakładamy że czynnik całkujący jest funkcji tylko zmiennej niezależnej pierwszej

l = l (x₂) = l (y)

mamy zatem

dlnl (y) =

Wykonując różniczkowanie

= 0 oraz
= x

otrzymamy

dlnl (y) =

zatem

dlnl (y) =

lub

dlnl (y) = - dlny

Całkując ostatnie równanie ze stała całkowania

otrzymamy

lnl(y) = -lny + lnc

lub

lnl(y) =

Zatem czynnik całkujący jest równy

l(y) =

Sprawdzenie

l(y)DX =

pochodne mieszane mają postać

czyli

0 = 0

zatem

L = P

---