R2 B Bledy, metody numeryczne


Rozdział 2

Elementy teorii błędów

Błędy są częścią opłaty,

którą płacimy za pełne życie

Sophia Loren

2.1. Analiza błędów.

Liczba przybliżona a nazywa się liczba różniąca się nieznacznie od liczby dokładnej A i zastępująca ją w obliczeniach.

Na przykład, liczba dokładna 0x01 graphic
, wówczas jako liczba przybliżona może być 0x01 graphic
.

Również, liczba dokładna 0x01 graphic
, wówczas jako liczba przybliżona może być 0x01 graphic
.

Definicja 2.1. Błędem bezwzględnym 0x01 graphic
liczby przybliżonej a nazywa się wartość bezwzględna różnicy pomiędzy liczbą dokładną A i liczbą przybliżoną a, tzn.

0x01 graphic
.

Zaznaczmy, że tak określoną wielkość 0x01 graphic
jeszcze nazywają górnym kresem błędu przybliżenia 0x01 graphic
.

Przykład 2.1. Liczba 0x01 graphic
jest przybliżeniem liczby 0x01 graphic
z błędem 0x01 graphic
Za górny kres błędu można przyjąć 0x01 graphic
.

Ponieważ najczęściej liczba dokładna 0x01 graphic
nie jest znana, to zamiast nieznanego błędu bezwzględnego 0x01 graphic
wprowadza się ocena 0x01 graphic
błędu bezwzględnego.

Definicja 2.2. Ocena 0x01 graphic
błędu bezwzględnego 0x01 graphic
liczby przybliżonej 0x01 graphic
nazywa się każda liczba nie mniejsza od błędu bezwzględnego 0x01 graphic
tej liczby przybliżonej

0x01 graphic
.

Wynika stąd, że

0x01 graphic
.

We wzorze tym wartość 0x01 graphic
jest przybliżeniem z niedomiarem liczby 0x01 graphic
, natomiast wartość 0x01 graphic
jest przybliżenie z nadmiarem liczby dokładnej 0x01 graphic
.

Taką nierówność często zapisujemy również w postaci

0x01 graphic
.

Na przykład, jeśli 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to, ponieważ 0x01 graphic
, wówczas 0x01 graphic
. Zatem możemy przyjąć 0x01 graphic
.

Jeżeli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Definicja 2.3. Błędem względnym 0x01 graphic
liczby przybliżonej 0x01 graphic
nazywa się stosunek błędu bezwzględnego 0x01 graphic
tej liczby do wartości bezwzględnej liczby dokładnej 0x01 graphic

0x01 graphic
.

Wielkość 0x01 graphic
jeszcze nazywają górnym kresem błędu względnego dla przybliżenia 0x01 graphic
.

Przykład 2.2. Liczba 0x01 graphic
jest przybliżeniem liczby 0x01 graphic
z błędem 0x01 graphic
Za górny kres błędu względnego można przyjąć iloraz 0x01 graphic
.

Definicja 2.4. Oceną 0x01 graphic
błędu względnego 0x01 graphic
liczby przybliżonej 0x01 graphic
nazywa się każda liczba nie mniejsza od błędu względnego tej liczby

0x01 graphic
.

Za ocenę błędu bezwzględnego danej liczby 0x01 graphic
można przyjąć wielkość

0x01 graphic
.

Ponieważ najczęściej liczba 0x01 graphic
nie jest znana, ale 0x01 graphic
, to często korzysta się ze wzorów

0x01 graphic

oraz

0x01 graphic
.

Na przykład, jeśli 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to, ponieważ

0x01 graphic
,

to za ocenę błędu bezwzględnego danej liczby 0x01 graphic
można przyjąć 0x01 graphic
.

Przykład 2.3. Jedna stopa sześcienna równa jest 0x01 graphic
; mamy tu 3 cyfry wartościowe, więc jest to przybliżenie w trzecim stopniu dokładności. Jeden cal równia się 0x01 graphic
; mamy tu 5 cyfr wartościowych, więc jest to przybliżenie w trzecim stopniu dokładności.

Jeżeli przybliżenie 0x01 graphic
ma 0x01 graphic
cyfr wartościowych, to jego błąd względny

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
jest pierwszą cyfrą wartościową danego przybliżenia 0x01 graphic
.

Przybliżenie 0x01 graphic
z błędem względnym 0x01 graphic
ma 0x01 graphic
cyfr przybliżenia 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
jest największą liczbą całkowitą spełniającą warunek

0x01 graphic
.

Przykład 2.4. Jeżeli liczba 0x01 graphic
jest wynikiem działań na liczbach przybliżonych i wiadomo, że 0x01 graphic
, to otrzymujemy 0x01 graphic
, gdyż 0x01 graphic
; dane przybliżenie ma więc tylko 3 cyfry wartościowe i należy 0x01 graphic
napisać w postaci 0x01 graphic
.

2.2. Źródła błędów.

Nie pytaj błędu, skąd pochodzi.

Stanisław Jerzy Lec

Przy obliczeniach występują różne rodzaje błędów:

2.2.1. Błędy zagadnienia. Jest to błędy niedokładności modelu matematycznego oraz danych wejściowych (współczynników w równaniach modelu, warunków początkowych i brzegowych). Prawie zawsze model matematyczny jest pewnym przybliżeniem zjawiska lub procesu fizycznego, a dane wyjściowe oparte jest na dane pomiarowe, które obciążone są błędami pomiarowymi.

0x08 graphic
Wahadło matematyczne. Jest to punktowa masa 0x01 graphic
zawieszona na nitce o długości 0x01 graphic
. Przyjmuje się, że masa nitki jest znacznie mniejsza od masy 0x01 graphic
. Dla określenia prawa ruchu tej masy rozważamy działające siły i korzystamy z drugiej zasady Newton'a.

Przyjmiemy, że w pewnej chwili czasu w kierunku ruchu punktu materialnego działa składowa 0x01 graphic
siły ciężkości 0x01 graphic
, wówczas w kierunku przeciwnym działa siła oporu 0x01 graphic
, która jest wprost proporcjonalna do prędkości 0x01 graphic
, mianowicie

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
— współczynnik tarcia.

Wtedy z drugiej zasady Newtona mamy

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
— przyspieszenie styczne.

Ponieważ

0x01 graphic
, 0x01 graphic
,

to równanie ruchu przyjmuje postać

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
— małe przemieszczenie wzdłuż stycznej, 0x01 graphic
— kąt, który tworzy nitka z kierunkiem pionowym, 0x01 graphic
— czas, 0x01 graphic
— charakterystyka wahadła.

W większości wypadków rozważa się małe wychylenia, dla których 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Zatem otrzymane powyżej równanie istotnie upraszcza się

0x01 graphic
.

2.2.2. Błędy początkowe. Kiedy opisuje się konkretny proces, to należę zażądać spełnienia warunków początkowych

0x01 graphic
,

opisujących położenie i prędkość punktu materialnego w chwili czasu 0x01 graphic
(0x01 graphic
i 0x01 graphic
— stałe). Warunki tę są określane eksperymentalnie z błędami pomiarowymi.

Podobnie stałe 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i 0x01 graphic
w równaniu możemy określić tylko w pewnym przybliżeniu.

2.2.3. Błędy obcięcia. Często rozwiązania jakiegoś zagadnienia matematycznego otrzymujemy w postaci ciągów lub szeregów nieskończonych, ale nigdy numerycznie nie obliczamy sumy nieskończonej ilości składników. Przerwanie obliczeń na pewnej liczbie członów powoduje powstanie błędów obcięcia.

2.2.4. Błędy dyskretyzacji. Przy obliczeniach numerycznych funkcje ciągłe zastępujemy funkcjami dyskretnymi, całki oznaczone aproksymujemy sumami skończonymi, ilorazy różniczkowe - ilorazami różnicowymi itd. Stąd powstają kolejne błędy obliczeń.

2.2.5. Błędy zaokrąglenia. Przy przedstawieniu liczb niewymiernych (na przykład liczba 0x01 graphic
), a nawet liczb wymiernych, które są ułamkami okresowymi (na przykład liczba 0x01 graphic
), po przecinku występuje nieskończona ilość cyfr. Jednak w obliczeniach numerycznych może być wykorzystana jedynie skończona ilość cyfr. Mówimy wtedy o zaokrągleniu i błędach zaokrąglenia.

Przy zaokrągleniu powstaje błąd, który może sięgać połowy jednostki ostatniej cyfry znaczącej. Aby więc po zaokrągleniu przybliżenia wszystkie cyfry byli pewne, błąd przed zaokrągleniem nie powinien przekraczać połowy jedności ostatniej cyfry pewnej.

Zaznaczmy, dziwną rzecz, że na przykład ułamek dziesętny 0.1 w układzie dwójkowym ma postać 0.0001100110011…

Prykład 2.5. Dotoczymy bardzo charakterny przykład obliczenia sinusa za pomocą szeregu Taylor'a, tzn.

0x01 graphic

Z analizy matematycznej wiadomo, że ten szereg jest zbieżny dla dowolnych wartości 0x01 graphic
z przedziału 0x01 graphic
i błąd nie przewyższa pierwszego pominiętego wyrazu.

Aby nie było przepełnienia przy obliczaniu kolejnych wyrazów dla dużych wartości 0x01 graphic
stosujemy wzór rekurencyjny

0x01 graphic
.

Niech teraz

0x01 graphic
.

Według wzoru dla sinusa w postaci szeregu Taylor'a otrzymamy

0x01 graphic
.

Wówczas jeśli

0x01 graphic
,

to po obliczeniach mamy całkowicie błędny wynik

0x01 graphic
.

Przyczyną takiego wyniku jest błędy zaokrąglenia.

Zły algorytm doprowadzi do złego wyniku. Program standardowy zawsze sprowadza kąt do przedziału

0x01 graphic
.

OL. O postaci zmiennopozycyjnej liczby dodatniej.

Każda liczba dodatnia może być zapisana w postaci zmiennopozycyjnej

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest cyfry liczby 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Na przykład, liczbę 0x01 graphic
możemy zapisać w postaci

0x01 graphic

Ponieważ, w zastosowaniach występuje ograniczenie ciągu, to liczba przybliżona 0x01 graphic
dla liczby dokładnej 0x01 graphic
ma postać

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
oraz wszystkie 0x01 graphic
cyfry znaczące (wartościowe).

Przy takim postępowaniu prawie zawsze występują zbędne cyfry zerowe, albo na początku, albo w końcu liczy. Oto przykład

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

tzn.

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

ani pierwszy zera w pierwszej liczbie, ani ostatni (cztery) liczby nie są cyfry znaczące (wartościowe).

Definicja 2.5. Cyframi znaczącymi liczby przybliżonej 0x01 graphic
nazywa się wszystkie cyfry jej zapisu dziesiętnego, począwszy od pierwszej cyfry różnej od zera.

Definicja 2.6. Cyfra znacząca nazywa się dokładną, jeśli błąd bezwzględny liczby nie przewyższa jedności pozycji dziesiętnej, odpowiadającej tej cyfrze. Ilość cyfr wartościowych w danym przybliżeniu dziesiętnym nazywamy stopniem dokładności tego przybliżenia.

Mówimy, że 0x01 graphic
pierwszych cyfr (znaków dziesiętnych) liczby przybliżonej są dokładne, jeśli błąd bezwzględny nie przewyższa połowy ostatniej pozycji, którą oznaczona liczba (licząc zlewa na prawo)

0x01 graphic
.

Oto przykład. Jeśli 0x01 graphic
, a 0x01 graphic
, to przybliżona liczba 0x01 graphic
ma trzy cyfry ścisłe, ponieważ 0x01 graphic
. Wówczas liczba przybliżona 0x01 graphic
dla liczby 0x01 graphic
ma pięć cyfr ścisłych, ponieważ 0x01 graphic
.

Dla liczby ścisłej 0x01 graphic
liczba przybliżona 0x01 graphic
ma trzy cyfry ścisłe, ponieważ 0x01 graphic
.

Twierdzenie. Jeśli stopień dokładności liczby przybliżonej 0x01 graphic
wynosi 0x01 graphic
, to względny błąd 0x01 graphic
tej liczby spełnia nierówność

0x01 graphic
.

Dowód. Załóżmy, że

0x01 graphic

jest liczba przybliżona liczby dokładnej 0x01 graphic
, w której 0x01 graphic
cyfr dokładnych. Wtedy

0x01 graphic
.

Skąd

0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic
,

albo

0x01 graphic
.

Prawa strona nierówności przyjmuje wartość najmniejszą przy 0x01 graphic
, temu

0x01 graphic
.

Ponieważ 0x01 graphic
, to

0x01 graphic
.

Zgodnie z definicją

0x01 graphic
,

albo

0x01 graphic
.

Skutek 1. Za oceną 0x01 graphic
błędu względnego 0x01 graphic
liczby przybliżonej 0x01 graphic
ze stopniem dokładności 0x01 graphic
może być przyjęta

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
jest pierwszą liczbą dokładną.

Skutek 2. Za oceną 0x01 graphic
błędu względnego 0x01 graphic
liczby przybliżonej 0x01 graphic
ze stopniem dokładności 0x01 graphic
może być przyjęta

0x01 graphic
.

Dowód. Jeżeli 0x01 graphic
, to w wyrażeniu

0x01 graphic

wyraz 0x01 graphic
może być zaniedbany. Wówczas

0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic
.

Przykład 1. Zapisać oceną 0x01 graphic
błędu względnego 0x01 graphic
liczby przybliżonej 0x01 graphic
liczby 0x01 graphic
.

Ponieważ 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to

0x01 graphic
.

Przykład 2. Ile cyfr dokładnych powinno być w liczbie przybliżonej 0x01 graphic
liczby 0x01 graphic
, jeśli 0x01 graphic
?

Ponieważ 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to ze wzoru

0x01 graphic
mamy 0x01 graphic
.

Skąd 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

OL. O różnym …

W układzie dziesiętnym i dwójkowym każdą liczbę rzeczywistą 0x01 graphic
można wyrazić w postaci

0x01 graphic
, 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są liczbę całkowite.

W standardzie IEEE (Nr 754 z 1985) pierwszy bit określa znak (+ lub -), 8 następnych bitów - cechę mantysy 0x01 graphic
zwiększoną o 127, a pozostałe 23 bity przeznaczone na część ułamkową mantysy 0x01 graphic
.

Cecha jest liczba całkowita z przedziału 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
. Na ośmiu bitach można zapamiętać liczbę całkowite od 0x01 graphic
czyli 0x01 graphic
do 0x01 graphic
czyli 0x01 graphic
. Tych skrajnych wartości nie wykorzystuje się.

Podobnie, mantysa liczby różnej od zera, ma z założenia część całkowitą 1, więc dla niej nie rezerwuje się miejsca. Dla najmniejszej mantysy, równej 1, wszystkie 23 bity są zerami, największa jest 0x01 graphic
i wtedy te bity są jedynkami.

W komputerze można operować z liczbami od 0x01 graphic
do 0x01 graphic
. Oddzielne wyróżniamy liczbę 0x01 graphic
. Prócz tego, część ułamkowa mantysy ma co najwyżej 23 bity. Każda liczba spełniająca te ograniczenia zwana liczbą maszynową.

Zaznaczmy, że nawet liczba 0x01 graphic
nie mogę być dokładnie określona przez liczbie maszynową.

W standardzie IEEE (Nr 754 z 1985) omówione również zero w postaci +0 lub -0, a także symbole 0x01 graphic
i 0x01 graphic
oraz symbol specjalny 0x01 graphic
, który sygnalizuje, że działania rodzaju 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, … lub 0x01 graphic
, są niewykonalnie.

Stosując pewien język programowania należę uwzględniać informację:

jakie są dopuszczalne wartości cechy 0x01 graphic
(ocenia to zakres liczb maszynowych);

jaka długość części słowa przeznaczonego na mantysę 0x01 graphic
bez jej znaku (o tym decyduje liczba bitów 0x01 graphic
).

Liczbę

0x01 graphic

nazywamy precyzją arytmetyki dla danego komputera.

Jeśli taka precyzja jest niewystarczająca, to programowo dokonuje się obliczeń z podwójną precyzją. Wtedy na każdą liczbę rezerwuje się dwa słowa 32-bitowe.

Oprócz tego rozkład liczb zmiennopozycyjnych jest nierównomierny. Mamy zagęszczenie w pobliżu zera, ale w otoczeniu samego zera występuje luka.

Zastąpienie liczb rzeczywistych liczbami maszynowymi realizujemy następująco. Niech 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
. Stąd

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
są równe 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
. Jeśli mantysy liczb maszynowych mają 0x01 graphic
bitów po kropce, to dokonujemy obcięcia i zastępujemy liczbę przez liczbę maszynową

0x01 graphic
.

Otrzymana liczba jest mniejsza od wyjściowej, tzn. 0x01 graphic
, a najbliższa liczba maszynowa, która większa tej liczby, to

0x01 graphic
.

Jest oczywiste, że 0x01 graphic
.

Najbliższą do 0x01 graphic
liczbę maszynową oznaczamy symbolem 0x01 graphic
. Jeśli 0x01 graphic
, to

0x01 graphic

inaczej 0x01 graphic
i

0x01 graphic

Błąd względny reprezentacji będzie

0x01 graphic
.

Określimy wielkość 0x01 graphic
i zapiszemy

0x01 graphic
.

Np. Jaka postać dwójkowa liczby 0x01 graphic
w przykładowej arytmetyce, w której 0x01 graphic
? Jaki są dwie liczby maszynowe 0x01 graphic
i 0x01 graphic
? Która z tych liczb jest 0x01 graphic
? Jaki błąd zaokrąglenia wywołany zamianą 0x01 graphic
na 0x01 graphic
?

Zapiszemy

0x01 graphic
.

Mnożenie przez 2 daje

0x01 graphic
.

Część całkowita obu stron jest równa 0x01 graphic
i po jej odjęciu mamy

0x01 graphic
.

Powtarzając te działania znajdziemy

0x01 graphic
.

Dwie bliskie liczby maszynowe są równe

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

gdzie po przecinku mamy 23 bity. Pierwsza liczba daje obcięcie, a druga zaokrąglenie w górę.

Obliczamy różnice

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Dla tego 0x01 graphic
oraz

0x01 graphic
i 0x01 graphic

Działania arytmetyczne na liczbach zmiennopozycyjnych.

Przyjmujemy, że komputer działa tak, że po wykonaniu działania arytmetycznego mantysa wyniku jest normalizowana, tzn. sprowadzana do właściwego przedziału, np. 0x01 graphic
, a cecha odpowiednio korygowana. Wówczas wynikiem działania nad liczbami maszynowymi 0x01 graphic
i 0x01 graphic
jest 0x01 graphic
, gdzie przez symbol 0x01 graphic
oznaczono jedno z czterech działań arytmetycznych.

W dobrze zaprojektowanym komputerze mamy

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
jest precyzją arytmetyki.

Jeżeli liczby 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są liczbami zmiennopozycyjnymi (nie maszynowymi), to wtedy

0x01 graphic
.

Zaznaczmy, że działania arytmetyczne wykonują się w specjalnych rejestrach, które są dłuższe od słów przeznaczonych na liczby maszynowe (dodatkowe bity chroniące).

2.3. Błędy działań arytmetycznych.

Prawdziwym błędem jest błąd

popełnić i nie naprawić go.

Konfucjusz

2.3.1. Błąd sumy. Załóżmy, że mamy dwie liczby

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

Wtedy ich suma będzie

0x01 graphic

a więc

0x01 graphic

i

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
.

2.3.2. Błąd różnicy. Podobnie

0x01 graphic

a więc

0x01 graphic

i

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
.

Jeśli liczby przybliżone 0x01 graphic
i 0x01 graphic
różnią się nieznacznie, to ich różnica 0x01 graphic
jest wielkością małą. Tak, że błędy względne mogą być duże i mamy utraty dokładności przy takich obliczeniach. Należę unikać takich sytuacji przy napisaniu algorytmu.

Twierdzenie. Jeśli liczby maszynowe 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są takie, że 0x01 graphic
i

0x01 graphic
,

to liczba bitów znaczących straconych przy odejmowaniu 0x01 graphic
jest równa co najmniej 0x01 graphic
i co najwyżej 0x01 graphic
.

Przykład. Przeanalizować odejmowanie dla wyrazów

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

2.3.3. Błąd iloczynu. Mnożąc mamy

0x01 graphic

Ponieważ 0x01 graphic
, to

0x01 graphic

i

0x01 graphic
.

2.3.4. Błąd ilorazu. Analogicznie można udowodnić, że

0x01 graphic

i

0x01 graphic
.

Zaznaczmy, że błąd względny n-tej potęgi liczby przybliżonej

0x01 graphic

wówczas pierwiastka stopnia n

0x01 graphic

Przykłady 2.6. Kombinację działań na liczbach przybliżonych.

1. Mamy wyrażenie

0x01 graphic
.

Obliczamy kolejno

0x01 graphic
.

Ponieważ 0x01 graphic
, to

0x01 graphic
.

2. Mamy wyrażenie

0x01 graphic
.

Dokonujemy obliczeń

0x01 graphic
.

Wtedy

0x01 graphic
.

2.3.5. Błąd funkcji jednej zmiennej. Jeśli funkcja

0x01 graphic

jest różniczkowalna, to dla dostatecznie małego przyrostu argumentu 0x01 graphic
przyrost funkcji 0x01 graphic
równia się w przybliżeniu jej różniczce

0x01 graphic
,

a więc

0x01 graphic
,

0x01 graphic

lub

0x01 graphic
.

Uwarunkowanie

Sformułujemy odpowiedź na pytanie jak małe zmiany argumentu funkcji wpływają na jej wartość. Korzystając z definicji pochodnej notujemy

0x01 graphic
.

Na tej podstawie wielkość

0x01 graphic

nazywamy współczynnikiem uwarunkowania.

Funkcja 0x01 graphic
ma pojedynczy pierwiastek (0x01 graphic
) dla 0x01 graphic
. Jak zmienia się pierwiastek jeśli funkcję 0x01 graphic
zamieniamy na 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
jest dowolna funkcja z klasy 0x01 graphic
, jak i funkcja 0x01 graphic
. Załóżmy, że nowy pierwiastek 0x01 graphic
i wtedy

0x01 graphic
.

Dokonamy rozwinięcia w wzór Taylora

0x01 graphic
.

Ponieważ 0x01 graphic
, a wyrażenia w których występuje 0x01 graphic
są małe, to możemy zapisać

0x01 graphic
.

Przykład (Wilkinson). Rozważmy wielomiany

0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Pierwiastki równania 0x01 graphic
będą 0x01 graphic
0x01 graphic
. Funkcja 0x01 graphic
jest wielomianem w którym przy wyrażeniu 0x01 graphic
występuje współczynnik 0x01 graphic
. Zgodnie z powyższym wzorem

0x01 graphic
.

Stąd wynika czułość pierwiastków na małe zaburzenia współczynników wielomianu Wilkinsona.

Rozważmy aproksymacje średniokwadratową wielomianem dla dowolnej funkcji 0x01 graphic
. Szukamy minimum całki

0x01 graphic
.

Różniczkujemy względem poszukiwanych współczynników 0x01 graphic
i wynik przyrównujemy do zera. Otrzymujemy układ równań normalnych

0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Całkujemy

0x01 graphic
(0x01 graphic
),

i oznaczamy

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Zaznaczmy, że macierz

0x01 graphic

zwana jest macierzą Hilberta 0x01 graphic
tego stopnia.

Wtedy układ normalny dla określenia współczynników 0x01 graphic
zapiszemy w postaci

0x01 graphic
(0x01 graphic
) lub 0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Wskaźnik uwarunkowania takich równań liniowych określa się przez wzór

0x01 graphic
.

W rozważanym przypadku wskaźnik uwarunkowania

0x01 graphic

szybko rośnie. Więc dla dużych 0x01 graphic
zagadnienie jest źle uwarunkowane, a wielomiany względem 0x01 graphic
tworzą źle uwarunkowaną bazę dla rozwinięcia funkcji z taką normą.

Na podsumowanie, zaznaczymy, że w skomplikowanych obliczeniach komputerowych popularne są dwie metody kontroli błędów:

T

Fop

φ

mg

mgsinφ

l



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Błędy w obliczeniach numerycznych - stare, Informatyka WEEIA 2010-2015, Semestr IV, Metody numeryczn
Błędy w obliczeniach numerycznych, Informatyka WEEIA 2010-2015, Semestr IV, Metody numeryczne, Lab 1
Metody numeryczne w6
metoda siecznych, Elektrotechnika, SEM3, Metody numeryczne, egzamin metody numeryczn
MN energetyka zadania od wykładowcy 09-05-14, STARE, Metody Numeryczne, Część wykładowa Sem IV
METODA BAIRSTOWA, Politechnika, Lab. Metody numeryczne
testMNłatwy0708, WI ZUT studia, Metody numeryczne, Metody Numeryczne - Ćwiczenia
Metody numeryczne Metoda węzłowa
Metody numeryczne, wstep
metody numeryczne w4
Metody numeryczne PDF, MN macierze 01 1
Metody numeryczne w11
metody numeryczne i w9
Metody numeryczne PDF, MN raphson 11
metody numeryczne w9
7 h, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numerycz

więcej podobnych podstron