Wykład 4

Unoszenie (przejmowanie) ciepła

1. Wiadomości wstępne

Rozprzestrzenianie się ciepła drogą wymiany jego w czasie ruchu cząstek

względem siebie. Zjawisko to może mieć miejsce tylko w ciałach, których

cząsteczki przemieszczają się względem siebie a więc: w gazach, cieczach

i sproszkowanych ciałach stałych. Jeżeli ciecz lub gaz omywa powierzchnię

ciała stałego, to zachodząca między nimi wymiana ciepła nazywa się

wymuszoną. Zjawisko unoszenia powstające samoistnie nosi nazwę konwekcji naturalnej. Ilość ciepła wymienianego na drodze unoszenia (przejmowania)

można określić przy pomocy empirycznego związku podanego przez Newtona:

lub
(35)

gdzie: T_s - temperatura powierzchni ścianki,

T_p - temperatura płynu

• - współczynnik przejmowania lub oddawania ciepła

Współczynnik α nie jest stały dla danego materiału, ale zależy m.in. od

charakterystyki systemu, geometrii ciała stałego, własności cieczy i parametrów

tej cieczy a także od różnicy temperatur. Wyznaczenie wartości α dla różnych

warunków stanowi jedno z głównych zadań teorii wymiany ciepła oraz aerodynamiki. Ustalenie analitycznej funkcji na współczynnik α jest na ogół

bardzo trudne. W wielu wypadkach zależność tę wyznacza się doświadczalnie

korzystając z teorii podobieństwa i analizy wymiarowej.

W wielu przypadkach w praktyce, szczególnie podczas pożarów, parametry

płynu zmieniają swoje własności. Może on zmieniać swój stan fizyczny (np. odparowywać, krystalizować). Analizę wymiany ciepła podczas unoszenia

wymuszonego (przejmowania) przeprowadza się przy następujących założeniach upraszczających:

1. Wszystkie charakterystyki procesów wymiany ciepła przez unoszenie

w określonej objętości traktuje się jako funkcje ciągłe.

2. Czynnik przylega do powierzchni nagrzewania.

3. Nie uwzględnia się wymiany ciepła przez promieniowanie.

4. Rozpatruje się tylko procesy przy stałym ciśnieniu (dla czystej wymiany

ciepła przez unoszenie w gazach lub cieczach jest to założenie nieścisłe).

5. Parametry fizyczne płynu nie zależą od temperatury pomimo, że w pewnych

procesach nie spełnia się to założenie)

6. Ciepło wynikłe z tarcia lepkiego płynu w strumieniu jest pomijalnie małe

w porównaniu ze zmianą entalpii.

7. Energia kinetyczna strumienia jest mała i pomijalna w porównaniu ze zmianą

entalpii strumienia.

8. „Termiczny opór styku” płynu z powierzchnią nagrzewania jest pomijany.

Przy rozwiązywaniu problemów przenoszenia ciepła (przewodnictwa i unoszenia włącznie) zachodzi konieczność określenia warunków brzegowych - szczególnie gdy proces wymiany ciepła zachodzi na granicy ciała stałego zajmującego określoną objętość. Warunki brzegowe określamy na podstawie:

a) zasady zachowania energii na rozpatrywanych powierzchniach,

b) ciągłości obu pól rozkładu temperatur,

c) przyjęcia liniowej zależności wymiany ciepła między ciałem stałym i

strumieniem płynu.

Ten ostatni warunek można zapisać w postaci:

(36)

gdzie:
- gradient temperatury na powierzchni ciała stałego,

λ - współczynnik przewodnictwa cieplnego,

α - współczynnik przejmowania lub oddawania ciepła

- temperatura płynu przylegającego do powierzchni ciała stałego,

T_p - temperatura płynu w środku strumienia.

Warunki przejmowania ciepła zależą od czynników cieplnych warstwy granicznej oraz zjawisk czysto mechanicznych. Te ostatnie ujęte zostały

w równaniu przepływu płynu lepkiego tzw. równanie Naviera-Stokesa.

Składowa tego równania na oś x ma następującą postać:

{1} {2} {3} {4} {5} (37)

gdzie: ρ - gęstość,

w_x , w_y, w_z - składowe prędkości na oś Ox,Oy i Oz,

x, y, z - składowe położenia na oś Ox, Oy i Oz,

g_x - składowa przyspieszenia ziemskiego w kierunku osi Ox,

τ - czas,

p - ciśnienie,

μ - lepkość dynamiczna.

Całkowanie tego równania i wyznaczanie stałych całkowania (warunków

brzegowych) jest bardzo skomplikowane. W związku z powyższym do

rozwiązania równania (37) wykorzystuje się prawa podobieństwa.

Jeżeli dobierzemy wszystkie warunki zjawiska na modelu doświadczalnym tak, aby były one podobne do zjawiska rzeczywistego, wówczas wyznaczone

wartości współczynników λ i α odnoszące się do tego modelu można przenieść

do warunków panujących w procesie rzeczywistym.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

,
,
,
,
,
,

przy czym indeks 1 odnosi się do parametrów modelu, zaś indeks 2 do

rzeczywistego urządzenia.

Wykorzystując powyższe oznaczenia oraz fakt, że wszystkie człony równania oznaczone cyframi od {1} do {5} muszą mieć ten sam wymiar, równanie Naviera-Stokesa można napisać w następującej formie:

(38)

{1} {2} {3} {4} {5}

Z powyższych równości analizy wymiarowej otrzymuje się kryteria mechaniczne zwane pierwotnymi. Ponieważ nie są one łatwe do wyznaczenia,

często stosuje się liczby kryterialne wtórne.

Z porównania pomiędzy sobą poszczególnych członów równania otrzymujemy tzw liczby podobieństwa i tak:

1. z porównania {2} i {3} - liczba Froude'a

,

2. z porównania {1} i {2} - liczba Hoodsona (równoczesności)

,

3. z porównania {2} i {4} - liczba Eulera

,

4. z porównania {2} i {5} - liczba Reynoldsa

lub

Jako wtórną od liczby Froude'a używa się liczby Galileusza:

Ga = Fr Re² =

jako wtórną od liczby Galileusza używa się liczby Grashoffa:

Gr = Ga β ΔT =

gdzie: β - współczynnik rozszerzalności objętościowej,

ΔT - różnica temperatur.

Kryterium Galileusza i Grashoffa charakteryzują podobieństwo oddziaływania

sił ciążenia - kryteria dynamiczne.

Weźmy pod uwagę równanie Newtona i Fouriera dla warstwy granicznej:

(39)

i równanie Kirchoffa-Fouriera dla ośrodka gazowego:

(40)

gdzie:

- laplasjan temperatury

Rozwiązując łącznie równania (39) i (40) otrzymamy trzy liczby kryterialne

charakteryzujące podobieństwo cieplne:

1. liczba Fouriera

,

2. liczba Pecleta

,

3. liczba Nusselta

,

4. liczba Prandtla

Liczba Prandtla charakteryzuje fizyczne właściwości ośrodka. Dla przemian

ustalonych w czasie liczby Hoodsona i Fouriera nie mają znaczenia. Dla wymiany ciepła, ze względu na występowanie współczynników α i λ najważniejsza jest liczba Nusselta.

Zasada podobieństwa:

Rozpatrywane zjawisko będzie pod względem geometrycznym, kinematycznym, dynamicznym i cieplnym podobne do zjawiska modelowego, jeżeli liczby Eu, Fr, Re, Pe, Nu i Fo będą miały dla obu

rozpatrywanych zjawisk te same wartości.

Jeżeli przepływ jest ustalony i uśredniony, to Nu = f₁(Re,Gr,Pr), bo Eu=Φ Re,

a liczbę Fr zastąpiono Gr, zaś Pe=Re Pr.

Dla ruchu konwekcyjnego swobodnego lub laminarnego wpływ liczby Re można pominąć i wtedy Nu = f₂(Gr, Pr).

Dla ruchu burzliwego można pominąć wpływ liczby Grashoffa, wtedy Nu=f₃(Re, Pr).

Liczbę Nusselta wyrażamy zazwyczaj przy pomocy funkcji potęgowej o następującej postaci:

(41)

Wartości stałej oraz wykładników a,b i c wyznacza się na podstawie badań

doświadczalnych.

2. Niektóre przypadki przejmowania ciepła

2.1. Ruchu swobodny w przestrzeni nieograniczonej (konwekcja naturalna)

Ruch czynnika jest spowodowany tylko zmianą ciężaru właściwego. Dla kul, rur poziomych i pionowych, drutów oraz płyt pionowych stosujemy wzór empiryczny (równanie Michiejewa) o postaci:

Nu = C (Gr Pr)ⁿ (42)

Współczynnik proporcjonalności C oraz wykładnik potęgowy n zależą od natężenia ruchu określanego przez iloczyn liczb Grashoffa i Prandtla

zgodnie z poniższą tabelką:

Gr Pr	C	n
od 10^-2 do 5•10^2 od 5•10^2 do 2•10^7 od 2•10^7 do 10^13	1,18 0,54 0,135	0,125 0,250 0,333

Wymiar liniowy w liczbach podobieństwa przyjmuje się równy średnicy kuli,

rury lub drutu, gdy ciałem wymieniającym ciepło jest kula, rura lub drut

lub wysokości płyty, jeżeli ciałem jest płyta.

Za temperaturę odniesienia (dla określenia lepkości η, gęstości ρ, współczynnika przewodności λ) przyjmuje się średnią arytmetyczną temperatury ścianki i omywającego ją czynnika, czyli

T_od = 0,5⋅(T_s+T_p) (43)

2.2. Ruchu wymuszony w rurze (konwekcja wymuszona)

Wymiana ciepła przy konwekcji wymuszonej zależy od rodzaju ruchu

(ruch laminarny lub burzliwy).

Przy ruchu laminarnym wewnątrz rury można stosować wzór:

(44)

Liczby podobieństwa we wzorze oblicza się przy średniej arytmetycznej

temperatury ścianki i płynu, Pr_s jest liczbą Prandtla obliczoną przy temperaturze

ścianki. Obecność liczby Grashofa we wzorze wynika z uwzględnienia konwekcji swobodnej. Powyższa zależność pozwala obliczyć średnią wartość

współczynnika przejmowania ciepła w przypadku, gdy długość rury l>50d

a Re<Re_kr=2300.

Przy przepływie burzliwym wewnątrz rury obowiązują następujące zależności:

1. dla 2300<Re<10 000 i małej lepkości płynu

Nu = 0,023 Re^0,8 Pr^0,4 (45)

2. dla Re>10 000 i lepkości przekraczającej dwukrotnie lepkość wody

Nu = 0,023 Re^0,8 Pr^0,33 (46)

2.3. Ruchu wymuszony prostopadle do rury lub pęku rur

Przy przepływie prostopadłym do pojedyńczej rury (Re>1000):

Nu = 0,26 Re^0,6 Pr^0,33 (47)

Przy przepływie prostopadłym do pęku rur ułożonych w tzw. szachownicę

(10 rzędów)

Nu = 0,33 Re^0,6 Pr^0,33 (48)

dla Re>2000 obliczonego dla prędkości maksymalnej między rurami.

Przy przepływie prostopadłym do pęku rur szeregowych (10 rzędów)

Nu = 0,26 Re^0,6 Pr^0,33 (49)

dla Re>2000 obliczonego dla prędkości maksymalnej między rurami.

We wszystkich przypadkach wymiarem liniowym (w liczbie Nusselta

i Reynoldsa) jest średnica zwilżona płynem (wewnętrzna lub zewnętrzna)

i długość rury.

Przy przepływach przez kanały o przekroju niekołowym zamiast średnicy

stosuje się średnicę hydrauliczną zdefiniowaną przy pomocy wzoru:

(50)

gdzie: f - pole przekroju [m²]

o - obwód zwilżony [m]

2.4. Skraplanie się pary

dla rur poziomych: Nu = 0,72(Ga Pr k)^0,25

dla rur pionowych: a) Nu = 1,15(Ga Pr k)^0,65 dla Ga Pr k<10⁵

b) Nu = 0,068(Ga Pr k)^0,33 dla Ga Pr k>10⁵

gdzie:
- liczba kondensacji,

r - ciepło skraplania [kJ/kg]

c_p - ciepło właściwe cieczy [kJ/kg K]

ΔT - różnica temperatury i powierzchni ścianki [K]

Charakterystycznym wymiarem liniowym jest średnica rury dla rur poziomych

lub długość (w liczbie Ga) dla rur pionowych. Temperatura odniesienia, dla której znajduje się parametry fizyczne jest średnią arytmetyczną ścianki i pary.

Zagadnienia kondensacji pary występują przy gaszeniu pożarów za pomocą pary wodnej. Efekt gaszenia uzyskuje się przede wszystkim przez rozrzedzenie koncentracji wolnego tlenu w powietrzu oraz w mniejszym stopniu przez obniżenie temperatury wskutek skraplania się pary wodnej na powierzchniach konstrukcji budowlanej. Do celów gaśniczych wystarczy doprowadzić ilość pary wypełniającej 30% objętości pomieszczenia. Z reguły parę wodną wprowadzamy w sferę pożaru podczas początkowej fazy jego rozwoju, gdy temperatura ścian jest jeszcze dostatecznie niższa od temperatury nasycenia pary przy danym ciśnieniu. W tym przypadku część pary skondensuje się na powierzchniach.

Współczynnik oddawania ciepła α jest liczony ze wzoru:

(51)

W porównaniu z poprzednimi wzór (50) zawiera ρ_p - gęstość pary i ρ - gęstość

skroplin. W tych obliczeniach temperaturę powierzchni ścian określa się przy

pomocy wzorów podanych dla nieustalonego przewodnictwa cieplnego.

Z przeprowadzonych analiz wynika, że ilość pary skraplająca się na powierzchniach ścian (gdy jej temperatura jest niższa od 370 K) jest znacznie

wyższa od ilości potrzebnej do zaduszenia pożaru (zmniejszenia koncentracji

tlenu). ten fakt należy uwzględnić przy projektowaniu parowych urządzeń gaśniczych.

2.5. Wrzenie

Odróżniamy wrzenie pęcherzykowe i błonkowe. Wrzenie pęcherzykowe jest wtedy, gdy na powierzchni grzejnej powstają osobne pęcherzyki pary.

Wrzenie błonkowe występuje na powierzchni grzejnej, gdy między cieczą a powierzchnią grzejną powstaje błonka pary.

W przypadku występowania cieczy niezwilżających daną powierzchnię grzejną wrzenie błonkowe zawsze zachodzi, a przy cieczach zwilżających występuje początkowo wrzenie pęcherzykowe i przy dalszym wzroście natężenia strumienia cieplnego (wydatku powierzchniowe-go) pęcherzyki zlewają się tworząc ciągłą błonkę. W 1756 r. p. Leidenfrost stwierdził, że krople wody odparowują wolniej na płycie kuchennej rozżarzonej do czerwoności ( wtedy krople przyjmują kształt kulisty pokrywając się izolującą warstewką pary - bo przy ∆T > 25 deg

i T > 423 K strumień ciepła q jest większy od krytycznego q_k), niż na chłodniejszej płycie. W tym ostatnim przypadku kropla zwilża powierzchnię i szybko odparowuje. Większe techniczne zastosowanie ma wrzenie pęcherzykowe niż błonkowe. Dla wielu cieczy dane są skąpe i niepewne. Zależność współczynnika przejmowania ciepła i natężenia strumienia ciepła od różnicy temperatury ścianki i cieczy podaje przykładowo dla wody o dużej objętości, wykres na rys. 1.

Rys. 1. Zależność współczynnika przejmowania ciepła i natężenia strumienia

ciepła od różnicy temperatury ścianki i cieczy podczas wrzenia

(WP - wrzenie pęcherzykowe)

Dla wody można stosować wzory:

α = 2,53 p^0,176 q^0,7 lub α = 22 p^0,58∆T^2,33 (52)

gdzie:

p - ciśnienie w bar,

∆T - różnica temperatury ścianki i wrzącej cieczy w K,

q - strumień ciepła liczony ze wzoru:

Uwaga - Obliczona przy pomocy liczby Nusselta wartość współczynnika przejmowania ciepła α jest współczynnikiem w wymianie konwekcyjnej.

Przy wysokich temperaturach gazów wieloatomowych należy uwzględnić wpływ promieniowania. Zwykle ten wpływ jest uwzględniany w wartości współczynnika α uzyskanej dla wymiany konwekcyjnej. Wtedy α_c = α + α_prom.

Dla innych cieczy o ciśnieniu nasycenia p_n = od 0,2 do 10 bar i strumieniu cieplnym q = od 0,2 do 0,4 q_k współczynnik przejmowania ciepła α liczymy ze wzoru:

α = C p_n^0,4 q^0,7 (52)

gdzie: p_n - ciśnienie nasycenia w bar,

q - strumień cieplny w W/m²,

C - stała zależna od rodzaju cieczy. np. dla nafty C= 0,93 do 1,68, dla gazoliny C= 0,81 ,dla benzolu C = 0,93, dla spirytusu etylowego C = 1,36 i dla spirytusu metylowego C = 1,09.

1. Wymuszona wymiana ciepła wrzącej wody

W przypadku wymuszonego ruchu wrzącej cieczy zredukowany współczynnik przejmowania ciepła α_z można określić z zależności:

(53)

gdzie: α_{p -} współczynnik przejmowania ciepła określany ze wzoru dla przypadku

pęcherzykowego wrzenia cieczy,

α_f - współczynnik przejmowania ciepła określony dla jednofazowej

cieczy w konwekcyjnej wymianie ciepła.

2.7. Przepływ ciepła podczas ruchu obu ośrodków wymieniających energię

cieplną.

Wymiana ciepła następuje z reguły w urządzeniach, w których po obu stronach ścianki dzielącej odbywa się ruch ośrodków. Podczas ruchu tych ośrodków wzdłuż ścianki, temperatura ich zmienia się; ośrodek oddający ciepło ochładza się, zaś ośrodek ogrzewający się ma coraz wyższą temperaturę (wzdłuż powierzchni ogrzewanej). Wzajemne usytuowanie się kierunku obu ośrodków może być jednak różne, a stosownie do tych różnic, będą zmieniały się też ich

temperatury.

Rozróżnia się 3 zasadnicze przypadki wzajemnego przepływu obu ciał wymieniających energię cieplną;

1. Ruch obu ciał jest w tym samym kierunku - czyli współprąd.

2. Ruch ciał jest w kierunkach przeciwnych - tzw. przeciwprąd.

3. Ruch ciał jest w kierunkach przecinających się pod kątem tzw. przepływ skrzyżowany.

Chcąc wyrazić strumień ciepła przepływającej od gorącego ośrodka do chłodniejszego przy pomocy równania: Q = - λ_z F ∆T

musimy podstawić w nim właściwą różnicę temperatur . Ta właściwa średnia różnica temperatur jest różna dla każdego z wymienionych przypadków przepływu. Współczynnik λ_z zwykle jest uważany za stały na całej powierzchni wymiany ciepła - choć nie jest to całkiem ścisłe.

Można udowodnić teoretycznie (wprowadzając pewne założenia upraszczające), że w przypadku współprądu i przeciwprądu właściwą różnicą temperatur jest tzw średnia logarytmiczna różnica temperatur , określona wzorem:

(55)

gdzie: ∆T^' - różnica temperatury na wlocie ,

∆T^'' - różnica temperatury na wylocie .

Rys. 2. Przebieg zmian temperatury ośrodków wymieniających ciepło wzdłuż

drogi wymiany

Dokładne ujęcie rachunkowe przypadku prądów skrzyżowanych jest znacznie trudniejsze. Najczęściej posługujemy się wtedy arytmetyczną różnicą temperatur ∆T = 0,5(∆T^' + ∆T^”).

Często stosuje się różne układy wymienników tzw. mieszane , składające się z elementów współ i przeciwprądowych a nawet skrzyżowanych.

Sprawnością wymiennika nazywa się stosunek ilości ciepła pobranego przez czynnik ogrzewany do ilości ciepła doprowadzonego do czynnika ogrzewającego. Zatem:

(56)

gdzie:
- natężenia przepływu obu strumieni przepływających przez

wymiennik,

c₁ , c₂ - ciepła właściwe obu czynników,

∆T₁, ΔT₂ - różnice temperatur obu czynników.

Przy dobrej izolacji wymienników ich sprawności wynoszą ok.98 do 99%.

1

24

---