Wykład 3

Wymiana ciepła

1. Wprowadzenie

Proces wymiany ciepła jest procesem fizycznym związanym z rozprzestrzenianiem się energii cieplnej. Można wyróżnić trzy sposoby,

przy pomocy których ciepło może być wymieniane

a) przewodzenie i przenikanie - kondukcja,

b) unoszenie lub przejmowanie - konwekcja,

c) promieniowanie - radiacja.

Podczas rozwiązywania zagadnień wymiany ciepła najczęściej stosujemy prawo addytywności, które zakłada niezależność ww. rodzajów wymiany ciepła. Oznacza to, że obliczone ilości energii cieplnej związanych z przewodzeniem,

unoszeniem i promieniowaniem niezależnie się sumuje. Podczas pożaru występują wszystkie trzy typy wymiany ciepła, jednak w poszczególnych fazach

rozwoju pożaru, dominuje zazwyczaj jeden rodzaj wymiany ciepła np.

unoszenie spełnia szczególną rolę na początku pożaru, kiedy poziom promieniowania cieplnego nie jest wysoki, promieniowanie stanowi podstawową formę rozprzestrzeniania się ciepła, jeżeli średnica pożaru przekracza 0,3 m. Mechanizm ten ma decydujący wpływ na rozwój pożaru w pomieszczeniach.

Wpływ promieniowania cieplnego płomieni lub dowolnego ogrzanego obiektu

na pobliskie powierzchnie, może być oceniony tylko przy pomocy dokładnej analizy procesów wymiany ciepła. Jest ona niezbędna do oceny czasu ogrzewania materiałów palnych, do stanu przy którym następuje ich zapalenie.

2. Podstawowe pojęcia

Pole temperatur - zbiór temperatur w poszczególnych punktach rozpatrywanej przestrzeni.

Ustalona wymiana ciepła - pole temperatur nie zmienia się w czasie.

Nieustalona wymiana ciepła - pole temperatur zmienia się w czasie np.

podczas pożarów, ogrzewania lub chłodzenia

stalowych elementów (hartowanie)

W większości procesów po pewnym okresie nieustalonej wymiany ciepła

układ dąży do stanu równowagi cieplnej, który charakteryzuje się stałym

rozkładem temperatur (
).

Powierzchnia izotermiczna - zbiór punktów o jednakowych temperaturach.

Strumień ciepła (natężenie przepływu ciepła lub moc ciepła):

[J/s] (1)

Strumień ciepła dla przypadku ustalonego (stosunek ciepła Q do czasu τ trwania wymiany tej ilości ciepła):

[J/s] (2)

Gęstość strumienia ciepła:

[W/m²] (3)

Gęstość strumienia ciepła dla przypadku ustalonego (stosunek strumienia ciepła

do pola A powierzchni izotermicznej, przez którą przepływa ten strumień):

a) powierzchniowa
[W/m²] (4)

b) objętościowa
[W/m³] (5)

c) liniowa
[W/m] (6)

Gęstość strumienia ciepła jest wektorem skierowanym prostopadle do powierzchni izotermicznej w kierunku spadku temperatury.

3. Wprowadzenie do przewodnictwa ciepła

Rozprzestrzenianie się energii cieplnej wewnątrz ciała na drodze wymiany energii cieplnej bezpośrednio pomiędzy sąsiednimi cząstkami oraz dyfuzji drobin, atomów i swobodnych elektronów.

Wszystkie rozważania dotyczące przewodnictwa cieplnego są przeprowadzane

przy następujących założeniach:

1. Charakterystyki wszystkich procesów w danej objętości ciała są

funkcjami ciągłymi, również w czasie.

2. Straty energii na deformację termiczną w ciele są bardzo małe w porównaniu

ze zmianą energii wewnętrznej, tzn. proces zachodzi przy V=const.

3. Nie występuje w ciele konwekcja i promieniowanie cieplne.

Doświadczenia wykazują, że przy pomocy pierwszej i drugiej zasady termodynamiki trudno jest matematycznie opisać procesy przewodnictwa.

W tym celu korzystamy z prawa podanego po raz pierwszy przez Bio

i Fouriera, które brzmi następująco:

„Wektor gęstości strumienia ciepła w przewodnictwie danego punktu

ciała równomiernie nagrzanego, w danym momencie czasu - jest wprost

proporcjonalny do wektora gradientu temperatury”

W postaci matematycznej prawo to można zapisać w następującej postaci:

[W/m²] (5)

gdzie:

Współczynnik proporcjonalności λ w W/mK zwany współczynnikiem przewodnictwa zależy od temperatury i jest podawany w literaturze dla określonego zakresu temperatur względnie ściśle określonej temperatury.

Wartość współczynnika przewodnictwa λ waha się w granicach:

- dla gazów od 5•10^-3 do 0,5 W/mK i wzrasta z temperaturą (od ciśnienia

praktycznie nie zależy w zakresie 0,3 do 2000 bar),

- dla cieczy od 8•10^-3 do 0,6 W/mK i z reguły zmniejsza się ze wzrostem

temperatury (nie zależy od ciśnienia),

- dla metali od 7 do 360 W/mK i powoli zmniejsza się ze wzrostem temperatury

Zwykle przyjmuje się liniową zależność współczynnika przewodnictwa

cieplnego od temperatury w postaci: λ = a + b T, gdzie a i b - stałe

właściwe dla danego materiału. W niskich temperaturach należy w tej

zależności uwzględnić człon nieliniowy, dodając wyrażenie c T².

W tablicach są podawane wartości współczynnika dla różnych materiałów

i mediów. Występujące różnice wartości λ wynikają często z trudnych do określenia własności materiałów szczególnie budowlanych. Nawilżenie, róznice

w składzie chemicznym, czy gęstości, zmieniają zasadniczo przewodność cieplną materiału i dlatego w przypadku braku danych zaleca się wyznaczać wartość λ przy pomocy pomiarów.

Równanie Bio-Fouriera nie uwzględnia skończonej prędkości przewodzenia

ciepła tzn. prędkości rozprzestrzeniania się ciepła w ciele, którą przyjęto za

nieskończoną. W przypadku analizowania procesów krótkotrwałych, należy

uwzględnić skończoną szybkość przewodzenia ciepła przez dodanie jednego członu w równaniu Bio-Fouriera tzn.

(6)

gdzie: τ_r - czas relaksacji (opóźnienia)

4. Ustalone przewodzenie i przenikanie ciepła przez ściankę płaską

W celu rozważenia przypadku ustalonego przenikania ciepła przez ściankę płaską przyjęto następujące założenia:

1. Ściana płaska posiada grubość δ znacznie mniejszą od wymiarów pola

jej powierzchni A.

2. Ściana jest wykonana z materiału o współczynniku przewodzenia ciepła λ.

3. Temperatura powierzchni ścianki z lewej strony (rys.) równa T_s1 jest wyższa

od temperatury powierzchni ścianki z prawej strony T_s2, czyli T_s1>T_s2 .

4. Temperatura ośrodka z lewej strony ścianki równa jest T₁, zaś z prawej

strony ścianki T₂.

5. Powierzchnie izotermiczne są równoległe do powierzchni ścianki.

Rys.1. Ścianka pojedyncza o grubości δ Rys.2. Ścianka podwójna o grubościach

i współczynniku przewodzenia λ δ₁ i δ₂ i współczynnikach przewodzenia

λ₂<λ₁.

Gęstość strumienia ciepła przewodzonego przez ściankę płaską jednowarstwową

przy λ=const (szczególna postać równania Bio-Fouriera):

[W/m²] (7)

gdzie: α₁ i α₂ - współczynnik przejmowania i oddawania ciepła

[W/m²K]

Jeżeli współczynnik przewodzenia ciepła zależy liniowo od temperatury [λ=λ₀(1+bT)], to do równania (7) należy wstawić w miejsce stałej wartość średniej arytmetycznej współczynników przewodzenia ciepła dla temperatur powierzchni i ścianki.

Rozkład temperatury w ściance przy λ=const wyraża się wzorem:

(8)

natomiast przy λ zależnym liniowo od temperatury:

(9)

gdzie: x - współrzędna mierzona prostopadle do ścianki począwszy od

powierzchni 1.

Jeżeli b>0 to wypukłość krzywej jest skierowana do góry, jeżeli b<0, to

wypukłość krzywej jest skierowana do dołu.

Po dodaniu trzech równań (7) stronami otrzymamy:

(10)

Stąd:
(11)

gdzie:
- współczynnik przenikania ciepła w J/m²hK

Opór przewodzenia ciepła ścianki płaskiej wielowarstwowej (rys.2) składającej

się z n warstw różnych materiałów prostopadłych do strumienia ciepła o grubościach δ_i oraz współczynnikach przewodzenia λ_i jest sumą oporów przewodzenia ciepła poszczególnych warstw.

W takim przypadku do wzoru (11) należy wstawić następujące wyrażenie na λ_z:

(12)

gdzie: r - opór przewodzenia ciepła

5. Ustalone przewodzenie i przenikanie ciepła przez ściankę walcową

W praktyce technicznej mamy do czynienia najczęściej ze ściankami krzywymi np. rurami, które posiadają kształt walca.

W celu rozważenia przypadku ustalonego przenikania ciepła przez ściankę walcową przyjęto następujące założenia:

1. Ścianka walcowa posiada długość l, która jest znacznie większa od średnicy.

2. Wewnętrzna powierzchnia o promieniu r_w posiada temperaturę T_sw.

3. Zewnętrzna powierzchnia o promieniu r_z posiada temperaturę T_sz.

4. Temperatura ośrodka na zewnątrz ścianki walcowej wynosi T_z.

5. Temperatura ośrodka wewnątrz ścianki walcowej wynosi T_w.

6. Rozważamy gęstość strumienia ciepła przewodzonego i przenikającego przez

ściankę walcową na jednostkę długości ścianki (gęstość liniowa).

Rys.3. Ścianka walcowa o grubości δ i współczynniku przewodzenia λ

1. T_w > T_z

b) T_w < T_z

Liniowa gęstość strumienia ciepła przewodzonego przez ściankę walcową jednowarstwową można wyrazić wzorem:

(13)

Rozkład temperatury w ściance walcowej przy λ=const można wyrazić wzorem:

(14)

przy λ=λ₀(1+bT):

(15)

Liniowa gęstość strumienia ciepła przenikającego przez ściankę walcową

wielowarstwową między ośrodkami o temperaturach T_w i T_z może być wyznaczona z następującej zależności:

(16)

gdzie:

6. Ustalone przewodzenie i przejmowanie ciepła przy istnieniu

wewnętrznych źródeł ciepła

Założenia:

1. Źródła ciepła są rozmieszczone równomiernie w rozpatrywanym ciele.

2. Wydajność źródła ciepła odpowiada objętościowej gęstości strumienia

ciepła o postaci:

3. Ściana płaska o grubości δ jest wykonana z materiału o współczynniku

przewodzenia ciepła λ.

4. Temperatury ośrodków stykających się ze ścianą z lewej i prawej strony

wynoszą odpowiednio T_p1 i T_p2, natomiast temperatury ścian T_s1 i T_s2.

5. Współczynniki przejmowania ciepła z lewej i prawej strony ściany wynoszą

odpowiednio α₁ i α₂.

6. Współrzędna x jest mierzona od powierzchni ścianki o temperaturze T_s1

w kierunku prostopadłym do ścianki.

Rozkład temperatury w ściance:

(17)

Temperatury na powierzchniach ścianki:

(18)

(19)

Jeżeli
, to ciepło jest odprowadzane od obydwu powierzchni

ścianki.

Maksimum temperatury występuje w punkcie o współrzędnej:

(20)

i wynosi:

(21)

Jeżeli warunki brzegowe (α,T_s,T_p) na obydwu powierzchniach ścianki są

jednakowe, wówczas współrzędną x mierzy się od środka ścianki, a jej grubość

oznacza się przez 2δ. W takim przypadku rozkład temperatury w ściance (17) upraszcza się do postaci:

(22)

Maksymalna temperatura występuje wówczas w środku ścianki (x=0) i jest

równa:

(23)

Gęstość strumienia ciepła na powierzchni ścianki:

(24)

Temperatura powierzchni ścianki:

(25)

W przypadku walca o promieniu r_s i temperaturze ścianki T_s otoczonego

płynem o temperaturze T_p, rozkład temperatury w walcu wynosi:

(26)

Maksymalna temperatura w osi walca (r=0):

(27)

Gęstość strumienia ciepła na powierzchni walca:

(28)

Temperatura powierzchni walca:

(29)

7. Nieustalone przewodzenie ciepła w ciałach stałych

Ponieważ pożar jest procesem dynamicznym (zapalenie i rozprzestrzenianie się ognia), konieczne jest zastosowanie do jego opisu matematycznego równań nieustalonej wymiany ciepła. Podstawowe równania dla tego przypadku otrzymuje się w wyniku analizy bilansu strumienia ciepła w nieskończenie małej objętości. Ma ono następującą postać (λ=const):

(30)

gdzie:
- laplasjan temperatury

- współczynnik wyrównywania temperatury

q_v - wydajność źródła ciepła

Wiele problemów udaje się sprowadzić do jednowymiarowej postaci drogą wprowadzenia współrzędnych biegunowych lub cylindrycznych.

Dla jednowymiarowego procesu po odpowiednich przekształceniach

równanie (30) przyjmuje postać:

(31)

W większości procesów zakładamy, że q_v=0. W takim przypadku

równanie (31) przyjmuje postać:

(32)

Na podstawie zależności (30) równanie przewodzenia nieustalonego w ciałach stałych bez wewnętrznych źródeł ciepła można napisać w postaci:

(33)

Rozwiązanie powyższego równania zależy od warunków brzegowych.

Kąt nachylenia stycznej do krzywej rozkładu temperatury przy powierzchni

ciała stałego można wyznaczyć z następującej funkcji:

(34)

Rys. 5. Interpretacja graficzna trzech rodzajów warunków brzegowych

związanych z przejmowaniem ciepła

a) warunek brzegowy pierwszego rodzaju

b) warunek brzegowy drugiego rodzaju

c) warunek brzegowy trzeciego rodzaju

Punkt kierujący O, przez który przechodzą wszystkie styczne do krzywych rozkładu temperatury przy powierzchni ciała stałego, znajdują się w odległości

λ/α od powierzchni.

W praktyce rozróżnia się trzy rodzaje warunków brzegowych związanych

z przejmowaniem ciepła na powierzchni ciała stałego:

a) warunek brzegowy pierwszego rodzaju - znany jest rozkład temperatury we

wszystkich punktach powierzchni ciała (T_s), nie znana jest gęstość strumienia

a więc i kąt ϕ,

b) warunki brzegowe drugiego rodzaju - znany jest rozkład gęstości strumieni

ciepła q, a zatem i kąt ϕ, we wszystkich punktach powierzchni ciała,

nie znana jest temperatura ścianki T_s,

c) warunki brzegowe trzeciego rodzaju - dana jest temperatura płynu T_p

otaczającego ciało stałe oraz współczynnik przejmowania ciepła α,

nie znana jest temperatura powierzchni ścianki T_s.

Ciało stałe o dużym współczynniku przewodzenia ciepła λ i o małym współczynniku przejmowania ciepła α jest w przybliżeniu w każdej chwili

izotermiczne [T(x)=const].

Nadwyżka ΔT temperatury ciała T nad temperaturą płynu T_p wynosząca w chwili początkowej wartość ΔT₀, zmienia się w czasie wg następującego równania:

(35)

gdzie:
- liczba podobieństwa Biota

- liczba podobieństwa Fouriera

- współczynnik wyrównywania temperatury ciała stałego

l - charakterystyczny wymiar liniowy równy połowie grubości płyty

lub promieniowi walca albo kuli,

L=V/A - stosunek objętości ciała do pola powierzchni,

V - objętość ciała,

A - pole powierzchni,

ρ - gęstość,

c_p - ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu,

τ - czas bieżący

Dla płyty nieograniczonej l/L=1, dla walca nieskończenie długiego l/L=2,

dla kuli l/L=3, dla sześcianu l/L=6, przy czym l - długość krawędzi.

Jeżeli Bi<0,1, to błąd wynikający z założonej izotermiczności ciała nie

przekracza 5%.

1

2

---