Podstawowym pojęciem wprowadzanym w mechanice klasycznej jest punkt materialny, który jest obiektem o zaniedbywalnie małych rozmiarach oraz posiadający masę. Ruch punktu materialnego jest scharakteryzowany przez kilka parametrów liczbowych (lub wektorów): jego położenie, masę i siłę działającą na niego. Każdy z tych parametrów zostanie opisany poniżej.

W rzeczywistości obiekty, które opisuje mechanika klasyczna zawsze mają niezerowy rozmiar. Prawdziwy punkt materialny, np. elektron prawidłowo jest opisywany przez mechanikę kwantową. Obiekt o niezerowym rozmiarze ma bardziej skomplikowane zachowanie niż hipotetyczny punkt materialny, ponieważ jego wewnętrzny układ może ulec zmianie - np. podczas lotu piłka może obracać się wokół własnej osi, zmieniając w wyniku tego swój ruch. Jakkolwiek, będziemy w stanie użyć naszych rezultatów dla punktu materialnego aby studiować takie obiekty traktując je jako zbiorowy obiekt, zbudowany z oddziałujących na siebie punktów materialnych. Można pokazać, że takie zbiorowe obiekty zachowują się jak punkt materialny. W omawianym przykładzie piłkę traktujemy jako punkt materialny.

Punkt materialny (masa punktowa) to ciało fizyczne obdarzone masą, ale mające tak małe rozmiary, że w opisie matematycznym zjawiska dane ciało można potraktować jak punkt geometryczny. W zależności od problemu, jako punkt materialny można traktować np.:

• elektron krążący po orbicie wokół jądra.

• kamień rzucony pod pewnym kątem do powierzchni Ziemi - jego rozmiary są nieistotne w porównaniu z odległością jaką przebędzie i dokładnością pomiarów.

• Ziemia poruszająca się po orbicie wokół Słońca - jej wymiary są nieistotne w porównaniu z promieniem orbity.

Redukcja ciała do punktu materialnego ma istotne znaczenie dla prostoty opisu ruchu danego ciała. Masa punktowa w fizyce to idealizacja ciała lub układu ciał, w której wymiary układu można pominąć w porównaniu z odległościami, które pokonuje. Wtedy można przyjąć, że cała masa układu jest skupiona w środku masy układu. W przypadku jednorodnego ciała kulistego, jeżeli nie obraca się ono, masa punktowa jest nie tylko idealizacją, ponieważ takie ciało zachowuje się tak jak masa punktowa.

Pojęcia punkt materialny używa się również w kinematyce w przypadku ciała o dowolnym kształcie, jeżeli jest bryłą sztywną i nie wykonuje obrotów. Wygodnie jest wówczas analizować np. ruch dowolnego wyróżnionego punktu tego ciała, któremu przypisujemy całą jego masę, niż opisywać ruch ciała jako całości.

Podobnie w dynamice, gdy rozpatrujemy siły, które powodują tylko translację, można bryłę sztywną zredukować do punktu. Punktem tym jest środkiem masy danej bryły.

Położenie punktu materialnego jest określane względem wybranego punktu odniesienia (O) znajdującego w przestrzeni. Wybrany punkt wraz z innymi ciałami z nim związanymi nazywamy układem odniesienia. Punktowi materialnemu w konkretnym układzie współrzędnych (opisanym przez wektory jednostkowe i=1,2,3) przyporządkowujemy współrzędne xⁱ

Wprowadza się pojęcie "ciało fizyczne" lub krótko "ciało" oznaczające dowolny obiekt będący punktem materialnym lub złożony z punktów materialnych.

Położenie ciała definiowane jest jako wektor , ciało nie musi być nieruchome, więc położenie zmienia się w czasie (jest funkcją czasu (t)).

Prędkość opisuje szybkość zmiany położenia w czasie, jest definiowana jako pochodna położenia po czasie (oznaczana również przez kropkę)

.

Prędkość też zazwyczaj nie jest stała dlatego do opisu jej zmian wprowadza się przyspieszenie czyli szybkość zmiany prędkości, jest zdefiniowana

.

Zmiana wektora przyspieszenia może dotyczyć zmiany jego wartości lub kierunku bądź obydwu.

Siły; drugie prawo Newtona (druga zasada Newtona)

Drugie prawo Newtona wiąże zmianę masy i prędkości punktu materialnego z siłą. Jeżeli m jest masą v prędkością punktu materialnego, a F jest sumą wektorową sił przyłożonych do niego, to drugie prawo Newtona utrzymuje że:

.

Wartość jest nazywana pędem i jest ważnym pojęciem mechaniki klasycznej.

Kiedy masa m jest stała w czasie, drugie prawo Newtona może zostać zapisane w prostszej formie:

Gdzie: a - przyspieszenie, zdefiniowane powyżej.

Nie zawsze masa jest niezależna od czasu. Np. masa rakiety zmniejsza się jak jej środki pędne zostają z niej wyrzucone. W takiej sytuacji powyższe równanie jest niepoprawne, zatem do opisu powinna być zastosowana pełna forma drugiego prawa Newtona.

Drugie prawo Newtona wymaga podania siły (F), która jest opisem oddziaływań naszego ciała z innymi ciałami. Np. typowa siła oporu ruchu piłki w powietrzu może być modelowana jako funkcja prędkości piłki, wielkości piłki.

Gdzie: λ - dodatnia stała zależna od wielkości i kształtu ciała. - minus oznacza, że siła ma przeciwny zwrot do zwrotu prędkości.

Gdy tylko mamy niezależne związki dla każdej siły działającej na punkt materialny, możemy podstawić je do drugiego prawa Newtona otrzymując zwyczajne równanie różniczkowe, które jest nazwane równaniem ruchu

Kontynuując nasz przykład, zakładamy że tarcie jest jedyną siłą działającą na punkt materialny (pomijamy grawitację). Wtedy równanie ruchu przybiera postać:

.

Równanie to można scałkować otrzymując

gdzie v0 jest prędkością początkową, czyli prędkością ciała w momencie początkowym (t=0). Z równania tego wynika, że prędkość tego punktu materialnego zmniejsza się eksponencjalnie do zera z przyrostem czasu. To wyrażenie może być następnie scałkowane.

Cząstka swobodna [edytuj]

Przy braku działania sił zewnętrznych cząstka porusza się swobodnie. Jej ruch opisany jest prostym równaniem różniczkowym

Równanie to jest niezmiennicze przy transformacji układu współrzędnych

Właściwe transformacje Galileusza to:

tworzących grupę Galileusza. Są one symetrią równania Newtona dla cząstki swobodnej.

Grupa transformacji Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciągłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania (np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji właściwej generowanej przez v.

Z transformacji Galileusza wynika prawo składania prędkości. Oznaczmy , , z właściwej transformacji Galileusza różniczkując otrzymujemy

Układ odniesienia (fizyka) - punkt lub układ punktów w przestrzeni, względem którego określa się położenie lub zmianę położenia (ruch) danego ciała. Wybrany punkt często wskazuje się poprzez wskazanie ciała, z którym związany jest układ współrzędnych.

Wybór układu odniesienia jest koniecznym warunkiem opisu ruchu lub spoczynku. Układ odniesienia można wybrać dowolnie, tak, by wygodnie opisać ruch.

Określanie ruchu ciała względem układu odniesienia, czyli ruchu wobec innego ciała, nazywany względnością ruchu.

Z układem odniesienia związuje się zazwyczaj układ współrzędnych, z którym bywa czasami mylony.

Szczególnie ważne przykłady układów odniesienia:

• układ laboratoryjny - układ, w którym laboratorium jest nieruchome,

• układ środka masy - ruch opisujemy tak jakby środek masy opisywanych ciał spoczywał,

• Ziemia - w pewnych sytuacjach, gdy obszar, w którym porusza się opisywane ciało jest wystarczająco mały, można założyć, że Ziemia jest płaska i nieruchoma, np. lot pocisku karabinowego, upadek kamienia, jadący samochód.

Punkt materialny (masa punktowa) to ciało fizyczne obdarzone masą, ale mające tak małe rozmiary, że w opisie matematycznym zjawiska dane ciało można potraktować jak punkt geometryczny. W zależności od problemu, jako punkt materialny można traktować np.:

• elektron krążący po orbicie wokół jądra.

• kamień rzucony pod pewnym kątem do powierzchni Ziemi - jego rozmiary są nieistotne w porównaniu z odległością jaką przebędzie i dokładnością pomiarów.

• Ziemia poruszająca się po orbicie wokół Słońca - jej wymiary są nieistotne w porównaniu z promieniem orbity.

Redukcja ciała do punktu materialnego ma istotne znaczenie dla prostoty opisu ruchu danego ciała. Masa punktowa w fizyce to idealizacja ciała lub układu ciał, w której wymiary układu można pominąć w porównaniu z odległościami, które pokonuje. Wtedy można przyjąć, że cała masa układu jest skupiona w środku masy układu. W przypadku jednorodnego ciała kulistego, jeżeli nie obraca się ono, masa punktowa jest nie tylko idealizacją, ponieważ takie ciało zachowuje się tak jak masa punktowa.

Pojęcia punkt materialny używa się również w kinematyce w przypadku ciała o dowolnym kształcie, jeżeli jest bryłą sztywną i nie wykonuje obrotów. Wygodnie jest wówczas analizować np. ruch dowolnego wyróżnionego punktu tego ciała, któremu przypisujemy całą jego masę, niż opisywać ruch ciała jako całości.

Podobnie w dynamice, gdy rozpatrujemy siły, które powodują tylko translację, można bryłę sztywną zredukować do punktu. Punktem tym jest środkiem masy danej bryły.

Ruch - w fizyce to zmiana położenia ciała odbywająca się w czasie względem układu odniesienia.

Parametry opisujące ruch:

• przemieszczenie (zmiana położenia) - różnica między położeniem końcowym a początkowym,

• tor - linia, po której porusza się ciało:

• w ruchu prostoliniowym torem jest linia prosta,

• w ruchu krzywoliniowym torem jest linia krzywa,

• droga - długość odcinka toru,

• czas - różnica między chwilą końcową a początkową ruchu.

Podstawowe prawa rządzące ruchem sformułował Izaak Newton i uznawano je za dokładne do końca XIX w. Obecnie ruch ciał fizycznych opisują trzy teorie:

• mechanika klasyczna - opisująca ruch obiektów niezbyt małych i poruszających się niezbyt szybko,

• teoria względności:

• szczególna teoria względności - opisująca ruch ciał o prędkościach porównywalnych z prędkością światła, ale nie uwzględniająca grawitacji,

• ogólna teoria względności uwzględniająca grawitację,

• mechanika kwantowa - opisująca zachowanie się obiektów małych (atomy, cząstki subatomowe).

Klasyfikacja ruchów [edytuj]

Ruchy klasyfikuje się określając tor ruchu oraz zmiany wartości prędkości.

Podział ze względu na toru ruchu:

• prostoliniowy (poruszanie się po linii prostej),

• krzywoliniowy (poruszanie się po linii krzywej),

• po okręgu - rozpatrywany jako najprostszy przypadek ruchu krzywoliniowego,

• po elipsie - ruch w polu sił centralnych,

• po paraboli - ruch w polu jednorodnym,

• inne (powyższe są najpopularniejsze).

Podział ze względu na wartości prędkości:

• jednostajny - prędkość nie zmienia się,

• zmienny - prędkość zmienia się,

• jednostajnie zmienny - zmiany prędkości są jednakowe w jednakowych przedziałach czasu,

• przyspieszony - prędkość zwiększa się,

• opóźniony - prędkość maleje,

• niejednostajnie zmienny.

Prędkość:

• wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce czasu.

• skalarna wielkość oznaczająca przebytą drogę w jednostce czasu lub tylko wartość prędkości zwana przez niektórych szybkością.

Jednostka prędkości w układzie SI to metr na sekundę.

Definicje prędkości [edytuj]

Prędkość w ruchu po prostej [edytuj]

Dla ruchu wzdłuż prostej prędkość definiuje się jako granicę przyrostów przesunięcia do przyrostu czasu w jakim nastąpił ten przyrost, dla malejących odcinków czasu. Prędkość ta zwana jest prędkością chwilową, w przeciwieństwie do prędkości średniej wyznaczonej na podstawie dłuższego odcinka czasu i drogi.

Prędkość średnia wektorowa [edytuj]

Prędkość wektorowa średnia określa szybkość zmiany wektora położenia w dłuższym czasie definiuje się jako:

Wynikającą z tego zmianę położenia określa wzór:

Prędkość jako wielkość niewektorowa [edytuj]

W wielu przypadkach prędkość rozumiana jest jako stosunek drogi do czasu jej przebycia. Tak jest rozumiana intuicyjnie, a także w wielu problemach fizycznych.

Przy czym droga jest rozumiana jako długość odcinka krzywej (toru), po której porusza się ciało, od punkt początkowego do końcowego ruchu.

Prędkość chwilowa:

Prędkość chwilowa niewektorowa jest równa modułowi (wartości) prędkości chwilowej wektorowej.

Prędkość średnia:

Średnia prędkość niewektorowa jest większa lub równa modułowi średniej prędkości wektorowej.

Prędkość w różnych układach współrzędnych [edytuj]

Układ współrzędnych kartezjańskich [edytuj]

Trzy składowe prędkości (w przestrzeni) lub dwie (na płaszczyźnie) wyrażone są takimi samymi wzorami jak prędkości w ruchu prostoliniowym, przy czym drogą jest w tym przypadku współrzędna danej osi

Prędkość całkowitą można wyznaczyć z jej składowych

lub z użyciem wersorów osi

Wartość prędkości dana jest wzorem:

Układ współrzędnych biegunowych [edytuj]

W układzie współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie występują dwie składowe prędkości

• prędkość radialna, czyli prędkość zmiany długości promienia wodzącego

• prędkość transwersalna - prędkość zmiany położenia w kierunku prostopadłym do promienia wodzącego

gdzie jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku.

Prędkość całkowita

Wartość prędkości całkowitej

Układ współrzędnych walcowych [edytuj]

Podobnie jak dla współrzędnych biegunowych, tylko dochodzi jedna współrzędna w kierunku osi z :

Prędkość całkowita

Wartość prędkości całkowitej

Układ współrzędnych sferycznych [edytuj]

We współrzędnych sferycznych występują dwie prędkości prostopadłe do promienia

gdzie jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku np. od osi 0Z

gdzie kąt jest kątem, jaki tworzy rzut wektora wodzącego z ustalonym kierunkiem na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pierwszej osi (0Z). Tym kierunkiem może być oś 0X.

Prędkość całkowita

Wartość prędkości całkowitej

Prędkość kątowa [edytuj]

W ruchach krzywoliniowych definiowana jest prędkość kątowa gdzie jest kątem obrotu wokół pewnej osi ustalonej osi. Traktując jako kąt skierowany, można przypisać prędkości kątowej kierunek osi obrotu i zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

Tak zdefiniowana prędkość kątowa jest pseudowektorem. Pomiędzy prędkością kątową a prędkością transwersalną zachodzi następujący związek

Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów [edytuj]

Zmiany prędkości są podstawą klasyfikacji ruchów w fizyce.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym [edytuj]

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest stała (zarówno jej kierunek i wartość). Przyjmuje się odtąd, że do położenia ciała wystarczy jedna współrzędna x. Każdy ruch prostoliniowy można przez odpowiednie obroty sprowadzić do przypadku jednowymiarowego. Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym określa więc następująca zależność:

Gdzie:

• - wektor położenia jako funkcja czasu t

• S - przebyta droga

• T - czas trwania ruchu

• x(t) - funkcja położenia (skalar) od czasu

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym [edytuj]

Przyspieszenie jest stałe i niezerowe, więc prędkość zmienia się. W ruchu tym także można ograniczyć się do rozpatrywania jednej współrzędnej.

Gdzie:

• T - całkowity czas ruchu

• - wektor prędkości jako funkcja czasu.

Czasami (zazwyczaj z powodów dydaktycznych) wyróżnia się specjalny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego - ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy. W ruchu tym wektor przyspieszenia jest stały i skierowany przeciwnie do wektora prędkości - .

Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa) [edytuj]

W tym ruchu wektor prędkości kątowej jest stały i jego wartość wyraża się wzorem:

Prędkość w ruchu po okręgu też jest stała i wiąże się z prędkością kątową wzorem

Znajomość prędkości kątowej umożliwia zapisanie równań ruchu po okręgu we współrzędnych kartezjańskich

Przyspieszenie - wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę prędkości w czasie.

Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie (jest to miara zmienności prędkości). Jeśli przyspieszenie jest skierowane przeciwnie do zwrotu prędkości ruchu, to prędkość w tym ruchu maleje a przyspieszenie jest nazywane opóźnieniem.

Definicja [edytuj]

Jeżeli dany wektor określa położenie punktu materialnego, a wektor określa prędkość tego punktu, to przyspieszenie tego punktu jest pochodną prędkości po czasie:

A ponieważ prędkość jest pochodną położenia po czasie, to przyspieszenie można zapisać jako drugą pochodną położenia po czasie:

Jednostka przyspieszenia w układzie SI to metr na sekundę do kwadratu.

W ruchu prostoliniowym [edytuj]

W ruchu po linii prostej prędkość jest skalarem, wówczas przyspieszenie określa wzór:

Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym [edytuj]

W układzie odniesienia związanym z torem ruchu całkowite przyspieszenie jest rozbijane na dwie składowe: prostopadłą do toru ruchu zwane przyspieszeniem dośrodkowym (normalnym, ozn. ) i składową równoległą zwaną przyspieszeniem stycznym (ozn. ).

Wartość przyspieszenia całkowitego (długość wektora ) jest równa:

Wektor przyspieszenia całkowitego jest sumą składowej normalnej i stycznej:

Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) [edytuj]

Jest to składowa przyspieszenia prostopadła do toru ruchu. Reprezentuje tę część przyspieszenia, która wpływa na kierunek prędkości, a zatem na kształt toru. Jeżeli prędkość chwilowa oznaczona jest jako v, a promień chwilowego zakrzywienia toru (promień okręgu stycznego do toru) ruchu wynosi r, to wartość a_n przyspieszenia dośrodkowego ciała jest równa:

Przyspieszenie styczne [edytuj]

Jest to składowa przyspieszenia styczna do toru ruchu, wpływająca na wartość prędkości. Stosując oznaczenie v dla wartości prędkości chwilowej i oznaczenie s dla drogi pokonanej przez ciało, przyspieszenie styczne a_τ określają wzory:

Przyspieszenie kątowe [edytuj]

Występuje w ruchu obrotowym - jest wektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt α, a wartość prędkości kątowej oznaczymy jako ω, to wartość przyspieszenia kątowego ε wynosi:

Jednostka przyspieszenia kątowego w układzie SI to jeden radian przez sekundę do kwadratu.

Pomiar [edytuj]

Do pomiaru służy przyspieszeniomierz nazywany także akceleromierzem, akcelerometrem i sejsmometrem.

Ruch harmoniczny - drgania opisane funkcją sinusoidalną (harmoniczną). Jest to najprostszy w opisie matematycznym rodzaj drgań.

Ruch harmoniczny jest często spotykanym rodzajem drgań, również wiele rodzajów bardziej złożonych drgań może być opisane jako w przybliżeniu harmoniczne. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych. Przekształceniem umożliwiającym rozkład ruchu drgającego na drgania harmoniczne jest transformacja Fouriera.

Ruch harmoniczny prosty [edytuj]

Ruch harmoniczny ciała na sprężynie

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi:

gdzie

- siła,

k - współczynnik proporcjonalności,

- wychylenie z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać (z II zasady dynamiki Newtona) jako:

albo w postaci różniczkowej:

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).

Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnej z poniższych funkcji:

gdzie:

• jest częstością kołową drgań,

• stałe zależne od warunków początkowych.

Są to tzw. harmoniki. Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1,2,3.

Częstość kołową ω₀ wiąże z okresem drgań T związek:

,

częstotliwość drgań ν natomiast wynosi

Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.

Energia w ruchu harmonicznym prostym [edytuj]

Energia potencjalna dla siły proporcjonalnej do wychylenia.

Wykres zależności energii od wychylenia

Z zasady zachowania energii, wynika zależność, z której można wyznaczyć energię kinetyczną:

Z równania powyższego wynika kilka faktów (na podstawie jedynki trygonometrycznej i porównania współczynników we wzorze z powyższym):

Ciało drgające ma maksymalną prędkość gdy przechodzi przez położenie równowagi i ma ona wartość:

v₀ = x₀ω₀

prędkość chwilowa zmienia się jak

Bezpośrednio z równania ruchu wynika, że przyspieszenie jest opisywane zależnością:

Ruch harmoniczny tłumiony [edytuj]

Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości:

Równanie ruchu ma wtedy postać:

Równanie to ma dwie klasy rozwiązań:

Oscylator przetłumiony [edytuj]

Gdy:

odpowiada to tak zwanemu oscylatorowi przetłumionemu - w tej sytuacji nie występuje ruch wahadłowy, a jedynie eksponencjalny zanik wychylenia z czasem.

Oscylator drgający [edytuj]

Gdy

Analogicznie jak dla ruchu harmonicznego prostego rozwiązanie można przedstawić za pomocą kilku wzorów ze składową okresowa, ale z dodatkowym czynnikiem tłumiącym:

Położenie w ruchu harmonicznym nietłumionym (zielony), tłumionym (czerwony), obwiednia ruchu tłumionego (czarny).

gdzie

- jest zmodyfikowaną częstością kątową

- czas relaksacji - czas, po jakim amplituda drgań spada e-krotnie.

Ostatecznie otrzymujemy analogiczny wzór:

Diagramy fazowe [edytuj]

Wykres fazowy (położenie - prędkość) ruchu harmonicznego

Na wykresie fazowym obok znajdują się krzywe fazowe - dla ruchu harmonicznego prostego (zielony) i ruchu harmonicznego tłumionego (czerwony).

Parametry ruchów:

• ω = 1,0

• β = 0,2

• x₀ = 1,0

• v₀ = 1,0

Przybliżanie innych rodzajów ruchu przez drgania harmoniczne [edytuj]

Przybliżenie za pomocą prostego ruchu harmonicznego stosuje się np. do opisu małych drgań wahadła matematycznego.

Ogólniej, załóżmy, że ciało znajduje się w położeniu x_r równowagi trwałej; innymi słowy w punkcie x_r energia potencjalna tego ciała przyjmuje wartość minimalną E(x_r). Jeżeli funkcja E(x) posiada rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu x_r, otrzymujemy:

Dla dostatecznie małych h można pominąć wyrazy z h do potęgi większej niż 2. Wyraz z h się zeruje (warunek konieczny występowania minimum), pozostaje równanie postaci:

Można obliczyć siłę dla takiej energii potencjalnej jako ujemny gradient potencjału (energii potencjalnej).

Wniosek: Pod warunkiem, że dla danego ruchu funkcja energii E(x) jest funkcją dość regularną (tzn. posiada rozwinięcie w szereg Taylora, co w praktyce oznacza, że posiada ciągłą pierwszą i drugą pochodną w pewnym otoczeniu punktu równowagi) to dla niewielkich wychyleń z położenia równowagi ruch ten możemy opisywać z dobrym przybliżeniem jako drgania harmoniczne.

Przykłady ruchów harmonicznych [edytuj]

• wahadło matematyczne

• wahadło fizyczne

• ciężarek na sprężynie

• drgania atomów sieci krystalicznej

---