STATYSTYKA - wykłady

08.05.2010

ANALIZA REGRESJI

Analiza regresji prowadzona jest dodatkowo w połączeniu z analizą korelacji.

Prowadzimy ją wtedy, gdy pomiędzy zmiennymi mamy zależność przyczynowo-skutkową.

Celem tej analizy jest wyznaczenie funkcji regresji, która opisuje badaną zależność.

y
y

X x

Przykład nr 1 Przykład nr 2

Funkcję regresji wyznaczamy wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów.

METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW (MNK)

Polega na wyznaczeniu regresji tak, aby suma kwadratów odchyleń wartości empirycznych od teoretycznych była minimalna.

200 (xi, yi)

180

160 zmienność resztowa

yi 140 zmienność ogólna

(z daszkiem) 120 zmienność wyjaśniona regresją

100

wartość 80

średnia 60

40

20

(zaznaczyć kilka punktów, aby tworzyło

5 10 15 20 25 coś na kształt przykładu nr 1)

Zmienność ogólna = zmienność wyjaśniona regresją + zmienność niewyjaśniona regresją

daszek daszek

Y - yi = (Y - yi) + (yi - yi)

Zad 1/

Dla opisu wpływu zmian wartości cechy x dla zmiany wartości cechy y w przypadku zależności liniowej funkcja regresji ma równanie :

daszek

y = a₁x + a₀

x_i y _i

x₁ y ₁

x₂ y ₂

. .

. .

x_n y _n

n daszek n

W = Ʃ (y_i - y_i)² = Ʃ (y_i - a₀ - a₁x_i)² minimum

i=1 i=1

Niewiadome współczynniki równania regresji : a_1, a₀ wyznaczamy rozwiązując układ równań normalnych.

n n

na₀ + a₁ Ʃ x_{i =} Ʃ y_i

i=1 i=1

n n n

a₀ Ʃ x_i + a₁ Ʃ x_i² ₌ Ʃ y_i x_i

i=1 i=1 i=1

ważne słowo - zawsze pisać!!!

Interpretujemy wartość współczynnika a₁ , który informuje jak średnio zmienia się wartość cechy y jeżeli cecha x rośnie o jedną jednostkę.

Odp. Cecha x ma wpływ na cechę y.

Zad 2/

Dla opisu wpływu zmian wartości cechy y na zmiany wartości cechy x w przypadku zależności liniowej funkcja regresji będzie miała równanie :

daszek

x = b₁y + b₀

n daszek n

W = Ʃ (x_i - x_i)² = Ʃ (x_i - b₀ - b₁y_i)² minimum

i=1 i=1

Niewiadome współczynniki równania regresji : b_1, b₀ wyznaczamy rozwiązując układ równań normalnych.

n n

nb₀ + b₁ Ʃ y_{i =} Ʃ x_i

i=1 i=1

n n n

b₀ Ʃ y_i + b₁ Ʃ y_i² ₌ Ʃ y_i x_i

i=1 i=1 i=1

Interpretujemy współczynnik kierunkowy b₁ , który informuje jak średnio zmienia się wartość cechy x jeżeli cecha y rośnie o jedną jednostkę.

Cecha po lewej stronie równania - zmienna objaśniana

Cecha po lewej stronie równania - zmienna objaśniająca

Przykład : Obliczanie parametrów funkcji regresji opisującej wpływ liczby zatrudnionych osób (x_i) na obroty w tys. zł. (yi) w sklepach branży spożywczej.

	xi	yi	xi²	xi yi	yi²	xi yi	y =6,91xi+1,99	(yi-yi)²	x =0,124yi+1,33	(xi-xi)²
	23	149	529	3427	22201	3427	160,9	141,61	19,80	10,24
	4	35	16	140	1225	140	29,6	29,16
	12	69	144	828	4761	828	84,9	252,81
	3	33	9	99	1089	99	22,7	106,09
	17	119	289	2023	14161	2023	119,5	0,25
	2	6	4	12	36	12	15,8	96,04
	21	176	441	3696	30976	3696	147,1	835,21
	9	98	81	882	9604	882	64,2	1142,44
	7	48	49	336	2304	336	50,4	5,76
	12	47	144	564	2209	564	84,9	1436,41
suma	110	780	1706	12007	88566	12007		4045,78		71,91

n=10 yi 4045,78 71,91

narysować wykres s(u) = 10-2 = 22,49 s(z)= 10-2 =2,99

xi

10 a₀ + 110a_{1 =} 780

110a₀ + 1706a_{1 =} 12007

_{780 110}

a_{0 = 12007 1706}

_{10 110}

_{110 1706} a_{1 = 6,91}

a_{0 = 1,99}

_{10 780}

a_{1 = 110 12007}

_{10 110}

_{110 1706}

daszek

Równanie regresji ma postać : y = 6,91xi + 1,99

Współczynnik regresji informuje, że wraz ze zwiększeniem zatrudnienia o 1 osobę wielkość obrotów średnio rośnie o 6,91 tys. zł.

Obliczanie parametrów funkcji regresji opisującej wpływ wielkości obrotów w tys. zł. (yi) na liczbę zatrudnionych osób (xi) w sklepach branży spoż.

10 b₀ + 780b_{1 =} 110

780b₀ + 88566b_{1 =} 12007

b_{1 = 0,124}

b_{0 = 1,33} zamiast 1 jest 10 tys.

daszek

Równanie regresji ma postać : x = 0,124 yi + 1,33

Współczynnik regresji informuje, że wraz ze zwiększeniem obrotów o 10 tys. zatrudnienie rośnie średnio o 1 osobę.

Związek współczynników regresji i współczynnika korelacji.

s(y)

a₁ = s(x) r = a₁ b₁

s(x)

b₁ = s(y)

1/ Zależność korelacyjna liniowa dodatnia

Współczynnik korelacji r > 0 a₁ > 0 , b₁ > 0

_{współczynniki kierunkowe}

y

linia regresji

x

2/ Zależność korelacyjna liniowa ujemna

Współczynnik korelacji r < 0 a₁ < 0 , b₁ < 0

y

linia regresji

x

3/ Brak zależności korelacyjnej daszek daszek

Współczynnik korelacji r = 0 a₁ = 0 , b₁ = 0 y = a_{0 ,} x = b₀

y

a₀ linia regresji

b₀ x

Jeżeli zmienne są niezależne, to linie regresji są prostopadłe.

Siłę zależności korelacyjnej opisujemy wielkością kąta pomiędzy funkcjami regresji :

- im większa siła tym mniejszy kąt pomiędzy funkcjami regresji.

- im mniejsza siła tym większy kąt pomiędzy funkcjami regresji.

Mnożymy równania stronami a₁ b₁ = r ² - współczynnik determinacji

r = a₁ b₁

Współczynnik korelacji jest średnią geometryczną ze współczynników kierunkowych linii regresji.

Wylicz współczynnik korelacji

2

a₁= - = 0,2

10

8

b₁= - = 0,8

10

0,2 ^. 0,8 = 0,16 r = 0,16 = 0,4

Miary dopasowania linii degresji do danych :

• 
  Współczynnik determinacji r ² ma być jak największy

• 
  
  Współczynnik zbieżności φ² = 1 - r ² ma być jak najmniejszy

• Wariancja resztowa 1 = r ² + φ²

Dla funkcji regresji Y względem X wariancję resztową określamy wzorem :

n n daszek

Ʃ u_i ² Ʃ (y_i - yi)²

i=1 i=1

s² (u) = =

n - k n - k

daszek

Reszta yi - yi = ui

Dla funkcji regresji X względem Y wariancję resztową określamy wzorem :

n n daszek

Ʃ z_i ² Ʃ (x_i - xi)²

i=1 i=1

s² (z) = =

n - k n - k

daszek

Reszta xi - xi = zi

gdzie : n - liczba elementów w próbie

k - liczba szacowanych elementów

(dla funkcji liniowej k =2)

Interpretujemy wartości odchyleń standardowych rozkładu reszt:

Im mniejsza wartość tym mniejszy błąd MNK

Obliczanie odchylenia standardowego składnika resztowego funkcji regresji opisującej wpływ liczby zatrudnionych osób (xi) na obroty w tys. zł. (yi) w sklepach spoż.

n n daszek

Ʃ u_i ² Ʃ (y_i - yi)²

i=1 i=1

s² (u) = =

n - k n - k

n = 10

k = 2

Wartość teoretyczna dla cechy y wyznaczamy wykorzystując równanie regresji:

daszek

y = 6,91xi + 1,99 (wróć do tabelki - są to kolumny 7 i 8)

Oznacza to, że faktycznie zaobserwowane obroty w badanych sklepach różnią się od poziomu szacowanego za pomocą funkcji regresji o 22,5 tys. zł.

Oblicz odchylenie standardowe (yi) - wielkość obrotów, (xi) - liczba zatrudnionych

Wróć do tab. - 2 ostatnie kolumny Odp. Nie wiem jak ma brzmieć!

ANALIZA DYNAMIKI

Indeksy proste

Szereg czasowy

t_i y _i

czas rzeczywisty t₁ y ₁ obserwacje jednej cechy w czasie rzeczywistym

t₂ y ₂

. .

. .

t_n y _n

Analiza struktury Analiza regresji Analiza dynamiki

Δ xi ni xi ni ti yi

Histogram

ni yi yi

xi xi xi

Szereg rozdzielczy Funkcja regresji Szereg czasowy

Przedziałowy Wykres liniowy względem cza (zmiennej względem czasu)

Proste miary opisu dynamiki :

1/ przyrosty absolutne

2/ przyrosty względne

3/ indeksy indywidualne

1/ Przyrosty absolutne :

- ciąg przyrostów o podstawie stałej

Za podstawę porównań przymniemy wybrany okres badawczy (wartość z okresu k)

Δ y _t/k = y_{t -} y_k t = 1,2,….,n

Przyrosty o podstawie stałej informują o ile zmieniła się wartość badanej cechy w porównaniu z wartością z okresu k.

- ciąg przyrostów o podstawie łańcuchowej

Δ y _t/t-1 = y_{t -} y_t-1 t = 2,….,n

Przyrosty o podstawie łańcuchowej informują o ile zmieniła się wartość badanej cechy w porównaniu z wartością w okresie poprzednim.

Przyrosty absolutne mają jednostkę taką jak badana cecha.

2/ Przyrosty względne

- ciąg przyrostów o podstawie stałej

Za podstawę porównań przymniemy wartość z okresu k

y_{t -} y_k

P _t/k = y_k t = 1,2,….,n

Przyrosty względne o podstawie stałej informują o ile zmieniła się wartość badanej cechy

w stosunku do wartości z okresu k.

- ciąg przyrostów o podstawie łańcuchowej

y_{t -} y_t-1

P _t/t-1 = y_t-1 t = 2,….,n

Przyrosty względne łańcuchowe informują o ile zmieniła się wartość badanej cechy

w stosunku do wartości w okresie poprzednim.

Są to mierniki bez jednostki własnej i interpretujemy te wyniki zamieniając je na %.

3/ Indeksy indywidualne

- ciąg indeksów o podstawie stałej

Za podstawę porównań przymniemy wartość z okresu k

y_t

i _t/k = y_k t = 1,2,….,n

Indeksy o podstawie stałej informują ile razy zmieniła się wartość badanej cechy

w porównaniu z wartością z okresu k.

np. 0,2 - wzrost o 20%

- 0,3 - spadek o 30%

- ciąg indeksów o podstawie łańcuchowej

Za podstawę porównań przymniemy wartość z okresu k

y_t

i _t/t-1 = y_t-1 t = 2,….,n

Indeksy łańcuchowe informują ile razy zmieniła się wartość badanej cechy

w porównaniu z wartością w okresie poprzednim.

Są to liczby, które własnej jednostki nie mają, przy interpretacji zamienimy je na %.

np. 1,3 - wzrost o ???

-0,8 - spadek o 20%

Przyrosty względne :

y_{t -} y_k y_{t -} y_k

P _t/k = y_k ⁼ y_k y_k ⁼ i _t/k - 1 (indeks minus 1)

1

Indeksy indywidualne : p= i -1

y_{t -} y_t-1 y_{t -} y_{t-1 p + 1 = i}

P _t/t-1 = y_t-1 ⁼ y_t-1 y_t-1 ⁼ i _t/t-1 - 1

Zad. 1/ Ludność woj. śląskiego (w tys. osób)

porównanie, którego roku

badanie dotyczy z roku na rok

	ti	yi	yi - y98	yi - yi -1	yi - y98 y98	yi - yi -1 yi -1	yi y98	yi yi -1
	1998	4882,4	0,0 (brak zmiany)	- (brak infor.)	0,0	-	1	-
	1999	4872,8	-9,7	-9,7	-0,002	-0,002 (-9,7:4882,4)	0,998	0,998
	2002	4863,3	-19,1	-9,4	-0,004	-0,002 (-9,4:4872,8)	0,996	0,998
	2001	4855,3	-27,1	-0,8	-0,006	-0,002 (-0,8:4863,3)	0,994	0,998
	2002	4848,2	-34,3	+ -7,2	-0,007	-0,001 (-7,2:4855,3)	0,993	0,999

jak dodamy

te wart.to wyjdzie

1/ Wyznacz przyrosty absolutne o podstawie stałej z r.98.

2/ Wyznacz przyrosty absolutne łańcuchowe.

3/ Wyznacz przyrosty względne o podstawie stałej z r.98.

4/ Wyznacz przyrosty względne łańcuchowe.

Porównujemy : rok 2001 do 98 (wartość -27,1 i wartość -0,006)

W roku 2001 w porównaniu z 98 zaobserwowano odpływ ludności z woj. Śląskiego na poziomie 27,1 tys. osób, co stanowiło 0,6% liczby ludności z 98 r.

Porównujemy : rok 2002 do 2001 (wartość -7,2 i wartość -0,001)

W roku 2002 w porównaniu z rokiem poprzednim nastąpił dalszy spadek ludności

o 7,2 tys. osób, co stanowiło 0,1 liczby ludności z rokiem 2001.

5/ Wyznacz indeksy o podstawie stałej z r.98.

6/ Wyznacz indeksy o podstawie łańcuchowej.

Stopa zwrotu z inwestycji musi być ilorazem - wtedy jest to przyrost względnie łańcuchowy.

Średnie tempo zmian informuje jak średnio zmienia się badana cecha statystyczna z okresu na okres.

n-1

i = i _2/1 ^. i_3/2 ^. _…….i _n/n-1

Średni indeks - średnia geometryczna z ciągu indeksów łańcuchowych

n-1

i = y_{2 .} y_{3 .} y_{4 .} y _{n skracamy}

y₁ y₂ y_{3 .........} y_n-1

wartość z okresu poprzedniego

Wynik interpretujemy jak indeks (zamieniamy na % i określamy czy jest poniżej czy powyżej 100%).

n-1

i = i _n/n-1

n-1

i = y _n

y₁

Jak wyliczyć średnie temp zmian jeżeli punktem wyjścia są względne przyrosty o podstawie stałej?

Po pierwsze dodaj 1 - otrzymamy indeksy o podst. stałej.

Po drugie zamień indeksy o podst.stałej na indeksy łańcuchowe.

Przykład :

Wskaźniki cen towarów i usług konsumpcyjnych w Polsce w latach 93-96 wg tabeli:

Rok	1993	1994	1995	1996
Wskaźniki cen towarów i usług konsump. (rok poprzedni = 100)	135,2	132,3	128,0	119,9

w domyśle są to %

Wyznaczyć indeksy o podst.stałej przyjmując za podstawę roki :

a/ 1992

b/ 1995

Wyznaczyć średnie tempo zmian

4

i _g= y_{96 .} y_{95 .} y_{94 .} y₉₃

y₉₅ y₉₄ y₉₃ y₉₂

_{średnia geometryczna}

4

i _g= 1,199 ^. 1,28 ^. 1,323 ^. 1,352 =1,287 = 28,7%

czemu tyle wyszło ???

Odp. Ceny towarów i usług konsump. w latach 92-96 przeciętnie z roku na rok rosły

o ok.28,7 %.

dot. a/ Indeksy o podst. stałej - r.92

y₉₃ y₉₃ y₉₃

y₉₂ ⁼ y₉₂ y₉₂ ^{= 1,352}

y₉₄ y_{93 .} y₉₄ y₉₄

y₉₂ ⁼ y₉₂ y₉₃ y₉₂ ^{= 1,352 . 1,323 = 1,789}

y₉₅ y_{93 .} y_{94 .} y₉₅ y₉₅

y₉₂ ⁼ y₉₂ y₉₃ y₉₄ y₉₂ ^{= 1,352 . 1,323 . 1,28 = 2,29}

y₉₆ y_{93 .} y_{94 .} y_{95 .} y₉₆ y₉₆

y₉₂ ⁼ y₉₂ y₉₃ y₉₄ y₉₅ y₉₂ ^{= 1,352 . 1,323 . 1,28 . 1,199 = 2,745}

bo zaczynamy od 100% jako podstawa

Odp. Ceny towarów i usług konsump. w latach 96 w stosunku do 92 wzrosły o 174,5%.

dot. b/ Indeksy o podst. stałej - r.95

Wybieramy jeden punkt ze środka (nie wiem o co chodzi z tym punktem!)

y₉₂ 1 y₉₂ 1

y₉₅ ⁼ y_{93 .} y_{94 .} y₉₅ y₉₅ ^{= 1,352 . 1,323 . 1,28 = 0,437}

y₉₂ y₉₃ y₉₄ Ceny towarów i usług konsump.w 92 r. były o 56,3% niższe

w porównaniu do 95r. (bo 100-43,7 = 56,3)

y₉₃ 1 y₉₃ 1

y₉₅ ⁼ y_{94 .} y₉₅ y₉₅ ^{= 1,323 . 1,28 = 0,591 ile brakuje do 100%?}

y₉₃ y_{94 Odp. 40,9%}

y₉₄ 1 y₉₄ 1

y₉₅ ⁼ y₉₅ y₉₅ ^{= 1,28 = 0,781 ile brakuje do 100%?}

y_{94 Odp. 21,9% - wynik} dla 94 r.

y₉₅ y₉₅

y₉₅ ⁼ 1
y₉₅ ⁼ 1

y₉₆ y₉₆ y₉₆

y₉₅ ⁼ y₉₅
y₉₅ ⁼ 1,119

W powyższym przykładzie przekształcone zostały indeksy łańcuchowe na indeksy

o podstawie stałej.

Celem przekształcenia indeksów o podstawie stałej na indeksy łańcuchowe należy dany indeks o podstawie stałej podzielić przez poprzedni indeks o podstawie stałej.

Zad. 2/ Wyznaczyć indeksy o podstawie stałej z dn. 19.02. dysponując danymi :

Indeksy o podst.stałej z dn.19.02.200X

Data	Dni tyg.	AMICA	yk/y1	yk/yk-1
200X-02-19	Pn	25,9	1,000=25,90:25,90	-
200X-02-20	Wt	25,5	0,985=25,50:25,90	0,985=0,985:1,000
200X-02-21	Śr	24,6	0,950=24,60:25,90	0,965=0,950:0,985
200X-02-22	Czw	23,7	0,915=23,70:25,90	0,963=0,915:0,950
200X-02-23	Pt	24,00	0,927=24,00:25,90	1,013=0,927:0,915

Przekształcić indeksy o podstawie stałej z dn. 19.02 na indeksy łańcuchowe

(ind.łańuchowe są potrzebne do średniej geometrycznej)

---