Całki

Zad.1. a)

.

b)

c)
= ( jeżeli stopień licznika jest większy lub równy stopniu mianownika , to licznik należy podzielić przez mianownik :
) =
=

( podaje potrzebne wzory :
,
,

stałą wyłączamy przed całkę , ponadto
i
) =

=

( należy zauważyć , że
) .

d ) Wzór na całkowanie przez części , który stosujemy do całkowania niektórych iloczynów dwóch funkcji :

.

Jeżeli całkujemy iloczyn wielomianu przez funkcje wykładniczą , to przyjmujemy za
wielomian , a za pochodną
przyjmujemy funkcję wykładniczą .

[
] =
= [ jeszcze raz całkujemy przez części ] [
] =

=
.

e)
= [ Całkę tę obliczamy metodą podstawiania , która polega na wprowadzeniu nowej zmiennej i jej pochodnej . Po podstawieniu pod całką nie mogą występować dwie zmienne . Podstawienie musi doprowadzić do całki znajdującej się w tablicy całek , która jest w każdym podręczniku do analizy matematycznej . Niektóre z tych całek podaję . ] =
.

f)
[ ponieważ stopień licznika jest większy od stopnia mianownika , to należy podzielić licznik przez mianownik :
] i wtedy mamy : =
=

=
=
[ całkę , którą otrzymaliśmy należy obliczyć przez podstawienie i potem wykorzystać wzór z tablicy :
] =

=
.

g)
= [ podstawiamy nową zmiennej i korzystamy ze wzoru :
] =

=

,
.

h)

[ W tablicy mamy wzór :
więc nie może występować
,

dlatego podstawiamy , by argument był pojedynczy ] =
=
=

=
.

i)
[ Należy sprowadzić wyrażenie podcałkowe do takiej postaci , by całkę odczytać z tablicy całek podstawowych . Trzeba zauważyć , że pochodną
, ale odwrotnie , pochodną funkcji
nie jest
. Dlatego też podstawiamy następująco : ]
=

=
.

j)
[ Należy zauważyć , że
i że pochodna
.

Dokonujemy więc podstawienie : ] =
=
=
=

=
.

Zad.2

Uwaga . Całka nieoznaczona jest rodziną funkcji ( funkcji pierwotnych ) : tzn.

.

Całka oznaczona jest liczbą .

Związek między całka oznaczoną i nieoznaczoną podaje następujący wzór :

.

a)
= ( Obliczamy najpierw całkę nieoznaczoną )

=
=
=
=

3

---