Badanie wypukłości i wklęsłości funkcji ; wyznaczanie punktów przegięcia wykresu funkcji

Jeżeli funkcja jest co najmniej dwukrotnie różniczkowalna i w punkt
jest punktem przegięcia wykresu , to
( warunek konieczny istnienia punktu przegięcia ) .

Jeżeli funkcja jest co najmniej dwukrotnie różniczkowalna ,
i w sąsiedztwie punktu
druga pochodna zmienia znak , to punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji
.

Przedział , w którym
funkcja jest wypukła ; przedział w którym
- funkcja jest wklęsła .

Zad . Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkt przegięcia wykresu funkcji :

1)
;

.

Wyznaczamy drugą pochodną , by wyznaczyć jej miejsca zerowe , bo w nich wykres może ( choć nie musi ) mieć punkt przegięcia .

,
;

- jest równanie sprzeczne , nie ma rozwiązań . Na podstawie warunku koniecznego , wnioskujemy , że wykres nie ma punktów przegięcia .

Zauważmy , że dla każdego
, wyrażenie
, co oznacza , że
dla
. Stąd wynika dalej , że funkcja jest wypukła w każdym z przedziałów
i
.

2)
.
.

Analogicznie :
,

.

Zauważamy , że
, co oznacza , że funkcja jest wypukła w przedziale
.

3)
.
=
.

,
.

- brak punktów przegięcia . Ponadto , dla

, co oznacza, że funkcja jest wypukła w przedziale
.

4)
.
.

,
,

,
.

Ponadto , łatwo sprawdzić , że w sąsiedztwie tych punktów druga pochodna zmienia znak , co oznacza , że wyznaczone punkty są punktami przegięcia wykresu .

Druga pochodna jest dodatnia w przedziałach
i
i tam jest wypukła ; w przedziale
druga pochodna jest ujemna i , tym samym funkcja jest wklęsła .

5)
.
.

,
.

. Druga pochodna jest funkcją liniową o współczynniku kierunkowym dodatnim , zatem
dla
i w tym przedziale funkcja jest wklęsła oraz
dla
i w tym przedziale funkcja jest wypukła Ponieważ , jak widać , druga pochodna zmienia znak , więc punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji
.

1

---