Przykład 1
Jednorodna belka o długości 2l i ciężarze G jest oparta dolnym końcem A o chropowatą poziomą płaszczyznę, a w punkcie C o gładki występ. W położeniu równowagi belka tworzy z płaszczyzną poziomą kąt , a odcinek AC = 1,5l. Znaleźć współczynnik tarcia ślizgowego statycznego  w punkcie A.




R o z w i ą z a n i e
W położeniu równowagi belki jej koniec A ma tendencję do przesuwania się w lewo. Siła tarcia T₁ jest skierowana przeciwnie do możliwego ruchu, a więc w prawo. Po przyjęciu prostokątnego układu współrzędnych otrzymuje się następujące równania równowagi belki

                 

W przypadku poszukiwania współczynnika tarcia ślizgowego  statycznego w położeniu granicznym równowagi belki (tarcie całkowicie rozwinięte) otrzymuje się

                 

Po rozwiązaniu powyższego układu równań współczynnik  tarcia  wynosi

                 



Przykład 2
Jednorodny pręt AB o ciężarze G opiera się końcem A o poziomą podłogę i końcem B o pionową ścianę. Dane są współczynniki tarcia o podłogę i ścianę, równe odpowiednio _ i _. Znaleźć reakcje w punktach A i B oraz graniczną wartość kąta  nachylenia pręta.




R o z w i ą z a n i e
Po przyjęciu prostokątnego układu współrzędnych Axy otrzymamy następujące równania równowagi

                 

W przypadku poszukiwania granicznej wartości kąta  nachylenia pręta, siły tarcia T₁ i T₂ osiągają swe graniczne wartości (są całkowicie rozwinięte), a wiec są równe

                 

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymany poszukiwane wartości reakcji R_A i R_B oraz kąta 





Przykład 3
Na dwóch równiach pochyłych, tworzących z poziomem kąty  i , ustawiono dwa ciała A i B o ciężarach G i Q połączone nieważkim cięgnem wiotkim przerzuconym przez krążek C. Współczynniki tarcia obu ciał o równie są równe  _ i ₂. Określić, w jakich granicach może się zmieniać wartość ciężaru Q ciała B ( przy założeniu, że ciężar G ciała A jest stały), aby układ ciał A i B pozostawał w równowadze.




R o z w i ą z a n i e
Zacznijmy od przypadku, gdy ciężar Q ciała B ma wartość maksymalną, przy której możliwa jest jeszcze równowaga. Po przekroczeniu tej wartości ciało B zacznie zjeżdżać z równi pochyłej o kącie , a ciało A zacznie się poruszać do góry po równi pochyłej o kącie . W rozważanym granicznym przypadku (rys. b) siły tarcia T₁ i T₂ osiągną maksymalne wartości i skierowane są przeciwnie do możliwego ruchu. Przyjmując prostokątne układy współrzędnych Oxy, związane z obydwoma ciałami, w których oś Oy jest prostopadła do równi, a oś  Ox równoległa do równi, otrzymujemy następujące równania równowagi dla:

ciała A
              

• ciała

B

                  

Ponadto na podstawie praw tarcia możemy napisać

                  

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań znajdujemy maksymalną wartość ciężaru ciała B

                 


Postępując podobnie jak poprzednio, przy założeniu, że wartość ciężaru Q będzie minimalna, tzn. układ będzie miał tendencję ruchu w przeciwną stronę  ciało A będzie miało tendencję do zjeżdżania z równi kącie , a ciało B zacznie poruszać się do góry po równi pochyłej o kącie . W tym granicznym przypadku (rys. c), siły tarcia T₁i T₂są skierowane przeciwnie do możliwego ruchu. Pisząc odpowiednie równania równowagi i zależności między siłami tarcia a siłami normalnymi (korzystając z praw tarcia), otrzymamy również układ równań. Po rozwiązaniu równań otrzymamy minimalną wartość ciężaru ciała B

                 

Na podstawie otrzymanych wyników możemy stwierdzić, że wartość ciężaru ciała B powinna pozostawać w następujących granicach

                 



Przykład 4
Ciało A o ciężarze G położono na płycie B o ciężarze Q i połączono je nieważkim cięgnem wiotkim przerzuconym przez krążek C. Obliczyć maksymalną wartość poziomej siły P przyłożonej do ciała A, przy której ciało A będzie pozostawać w spoczynku, jeżeli współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego) ciała A o płytę B wynosi _, a płyty B o podłoże ₂.Tarcie cięgna o krążek C należy pominąć. Ponadto wyznaczyć napięcia cięgna  S₁ i S₂, reakcje normalne N₁ i N₂ oraz siły tarcia T₁ i T₂.




R o z w i ą z a n i e.
Przedmiotem rozważań jest układ złożony z dwóch ciał A, B i krążka C. Na ciało A działa ciężar własny G, siła P, napięcie sznura S₁ oraz siły T₁ i N₁ oddziaływania płyty B. Na płytę B działa jej ciężar Q, napięcie sznura S₂, reakcja normalna podłoża N₂ i nacisk N₁ ciała A oraz siły tarcia T₁ i T₂. Na krążek C działają napięcia sznura S₁ i S₂.
W rozpatrywanym układzie występuje zatem siedem niewiadomych: P, S₁, S₂, N₁, N₂, T₁ i T₂musimy więc ułożyć siedem równań.
Równania równowagi ciała A

                 

Równania równowagi płyty B

                 

Równanie równowagi krążka C

                 

Dalsze dwa związki wynikają z faktu, że maksymalna wartość siły P, przy której ciało A będzie jeszcze pozostawać w spoczynku, odpowiada siłom tarcia całkowicie rozwiniętego.

                 

Po rozwiązaniu powyższych równań otrzymujemy

                 



Przykład 5
Ciało A zostało zawieszone na linie CF, która została przerzucona przez nieruchomy, chropowaty krążek. Na drugim końcu liny w punkcie F przywiązano ciało B o ciężarze G, leżące na poziomej płaszczyźnie. Współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego) ciała B o poziomą płaszczyznę wynosi _ i liny o powierzchnię krążka ₂. Wyznaczyć maksymalną wartość ciężaru ciała A w położeniu równowagi układu.




R o z w i ą z a n i e.
W rozpatrywanym przypadku, gdy ciężar ciała A ma wartość maksymalną, przy której możliwa jest jeszcze równowaga, siła S₂ w linie CD jest większa od siły S₁ w linie EF. Między tymi siłami istnieje zależność, zgodnie z którą

                 

Po przyjęciu układu współrzędnych Oxy, otrzymuje się równania równowagi:

• dla ciała

A
            

• dla ciała

B
             

Korzystając z praw tarcia, można napisać

                 

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań, znajduje się maksymalną wartość ciężaru ciała A.

                 



Przykład 6
Nieważki pręt AB o długości l opiera się w punkcie A na stałej podporze przegubowej. Na końcu pręta w punkcie B przymocowano cięgno, które przerzucono przez chropowaty krążek i na jego końcu E przywiązano ciało F o ciężarze G, leżące na równi pochyłej tworzącej z poziomem kąt  = 30º. Współczynnik tarcia ślizgowego ciała F o równię wynosi _, a cięgna o powierzchnię krążka ₂. Wyznaczyć, w jakich granicach musi się mieścić wartość pionowej siły P, przyłożonej w środku pręta AB, aby zachodziła równowaga?




R o z w i ą z a n i e.
Rozpatrzmy przypadek, gdy siła P ma wartość maksymalną, przy której jest jeszcze możliwa równowaga układu. Po przekroczeniu tej wartości ciało F zacznie poruszać się w górę równi pochyłej. W rozpatrywanym granicznym przypadku siła S₂ w linie BC jest większa od siły S₁ w linie DE i istnieje między nimi zależność

                 

Po przyjęciu odpowiednich układów współrzędnych otrzymujemy równania równowagi dla:

• ciała

F
              

• pręta

AB
             

Na podstawie praw tarcia

                 

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań znajdujemy maksymalną wartość siły P

                 


Rozpatrzmy drugi przypadek, gdy siła P osiąga wartość minimalną, przy której możliwa jest jeszcze równowaga układu. Ciało F ma wtedy tendencję do zsuwania się po równi pochyłej. Między siłami w cięgnie zachodzi teraz następująca zależność

                 

Po uwzględnieniu przeciwnego zwrotu siły tarcia otrzymujemy równania równowagi dla:

• ciała

F
              

• pręta

AB
             

Ponadto z praw tarcia mamy

                 

Rozwiązując ten układ równań, znajdujemy minimalną wartość siły P

                 

Wartość siły P powinna więc zawierać się w następujących granicach

                 



Przykład 7
Walec o promieniu r i ciężarze G spoczywa na równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem . Znaleźć maksymalną wartość kąta , przy której równowaga walca jest jeszcze możliwa. Współczynnik tarcia tocznego jest równy f.

                           


R o z w i ą z a n i e.
Układamy równania równowagi walca. Równania równowagi rzutów sił na osie x i y są następujące

                 

Stąd
                 

Jeżeli walec ma być w równowadze, to moment siły G względem punktu A musi być mniejszy lub równy momentowi tarcia tocznego

                 

Po podstawieniu poprzednio uzyskanej wartości siły normalnej N otrzymujemy

                 

czyli
                 

Kąt , spełniający tę zależność, powinien wynosić

                 

Natomiast maksymalny kąt 

                 

3

---