Optyka falowa - zjawiska dyfrakcji i interferencji światła (rozdz. 36.1-36.7, 37.1-37.2, 37.7-37.8)

Efektowne barwy baniek mydlanych, lub wycieków oleju w kałużach są wynikiem interferencji światła. Jak mówiliśmy, interferencja polega na selektywnym wzmacnianiu lub wygaszaniu nakładających się fal. Jeśli nakładające się fale mają zgodne fazy (
), następuje maksymalne wzmocnienie fali wypadkowej, natomiast interferencja fal o przeciwnych fazach (
) prowadzi do ich całkowitego wygaszenia. Zjawisko interferencji światła, a także zjawisko dyfrakcji, czyli ugięcia fal świetlnych, są najsilniejszymi dowodami na falową naturę światła. Aby zrozumieć i opisać te zjawiska musimy wyjść poza ograniczenia optyki geometrycznej.

Zasada Huygensa

Pierwszą stosunkowo prostą i użyteczną falową teorię światła zaproponował w XVII w. Christian Huygens. Teoria Huygensa pozwala w prosty sposób przewidywać rozchodzenie się dowolnego rodzaju fal, a więc także fal świetlnych, w przestrzeni trójwymiarowej. Opiera się ona na zasadzie Hugensa, która mówi, że wszystkie punkty czoła fali zachowują się jak punktowe źródła elementarnych kulistych fal wtórnych. Po upływie czasu t położenie czoła fali jest wyznaczone przez powierzchnię styczną do powierzchni fal wtórnych.

Rys. 1 Rozchodzenie się fali płaskiej w ośrodku jednorodnym. Na rysunku zaznaczono 3 punktowe źródła elementarnych fal kulistych wtórnych na czole fali płaskiej w chwili początkowej t₀ oraz położenia powierzchni fal wtórnych po upływie pewnego czasu t. Styczna do powierzchni fal wtórnych wyznacza czoło fali w chwili t₀+t. Czoło to jest linia prostą, co jest charakterystyczne dla fali płaskiej.

Korzystając z zasady Huygensa można wyprowadzić empiryczne prawo załamania (zad.+spr.1), a także wniosek, że długość fali świetlnej
w ośrodku materialnym zależy od współczynnika załamania n tego ośrodka

(1)

gdzie  jest długością fali świetlnej w próżni. Natomiast częstość światła w ośrodku materialnym jest taka sama jak w próżni

(2)

a więc kiedy fala świetlna wchodzi do innego ośrodka jej barwa nie ulega zmianie.

Z równania (1) wynika ważny wniosek: różnica faz pomiędzy dwiema falami może ulec zmianie, jeśli fale te rozchodzą się w dwóch ośrodkach o różnych współczynnikach załamania. Taka zmiana różnicy faz może być odpowiedzialna za efekty interferencji w określonym punkcie ośrodka (rys. 2)

Rys.2 Dwie fale rozchodzące się w ośrodku o współczynniku załamania n₁ mają początkowo zgodne fazy. Fala 2 przechodzi przez warstwę ośrodka o współczynniku załamania n₂>n₁. Długość fali w warstwie ulega skróceniu. Na skutek tego po wyjściu z warstwy fazy fal są przeciwne.

Przykład (zad. 1)

Żółte światło lampy sodowej ma w powietrzu długość fali 589 nm. a) Ile wynosi jego częstość b) Ile wynosi długość fali tego światła w szkle o współczynniku załamania 1,5? c) Oblicz prędkość rozchodzenia się tego światła w szkle

Zakładamy, że współczynnik załamania powietrza wynosi 1 (w rzeczywistości 1.00029), a prędkość rozchodzenia się światła w powietrzu wynosi c=3e8 m/s

a) cT=c/f f=c/=5.09e14 Hz

b) Korzystamy ze wzoru (1) _n=/n=392.6 nm

c) Korzystamy np. z definicji współczynnika załamania n=c/v v=c/n=2e8 m/s

Pojęcie dyfrakcji

Istota zjawiska dyfrakcji polega na tym, że fala napotykająca na swojej drodze przeszkodę np. przesłonę, w której znajduje się szczelina, albo ostrą krawędź, ulega ugięciu (dyfrakcji) w całym obszarze za przeszkodą. Rozprzestrzenianie się fal za przeszkodą można analizować w oparciu o zasadę Huygensa (rys.). Dyfrakcji ulegają fale wszystkich rodzajów, a jej efekty są wyraźne, gdy rozmiary szczeliny są rzędu długości fali. Im węższa jest szczelina, tym silniejsze ugięcie fali, dlatego też nie można uzyskać promienia światła przepuszczając światło przez wąską szczelinę.

Doświadczenie interferencyjne Younga

W 1801 r. Thomas Young wykonał doświadczenie stanowiące dowód na to, że światło ma charakter falowy, co było sprzeczne z poglądami większości ówczesnych uczonych.

Schemat doświadczenia Younga jest następujący: światło monochromatyczne, przepuszczone zostaje przez szczelinę S₀ ulegając dyfrakcji, następnie kierowane jest na przesłonę z dwiema szczelinami S₁ i S₂. W wyniku ugięcia światła na tych szczelinach powstają dwie fale koliste, które interferują ze sobą. Na umieszczonym dalej ekranie obserwujemy obraz złożony z jasnych i ciemnych prążków interferencyjnych.

Jasne prążki powstają na skutek wzmocnienia interferencyjnego (środki jasnych prążków odpowiadają maksimom interferencji), natomiast ciemne prążki są wynikiem interferencji destruktywnej, czyli wygaszania (środki ciemnych prążków odpowiadają minimom interferencji).

W chwili przechodzenia przez szczeliny obie fale świetlne maja tę samą fazę, gdyż są one częściami tej samej fali padającej. Jednak po przejściu przez szczeliny każda z fal składowych przebywa inną drogę, aby osiągnąć dowolny punkt P na ekranie. Powoduje to, że fale składowe docierające do punktu P mogą mieć różne fazy.

Różnica dróg L przebytych przez fale składowe powoduje różnicę ich faz w punkcie P. Różnica faz fal składowych decyduje o natężeniu światła w punkcie P.

Jeśli różnica dróg jest równa całkowitej wielokrotności długości fali

(3a)

wówczas w takim punkcie fazy fal składowych są zgodne i występuje maksimum interferencyjne, a więc natężenie światła jest maksymalne. Jeśli natomiast różnica dróg spełnia warunek

(3b)

wówczas w takim punkcie fazy fal składowych są przeciwne i natężenie światła jest minimalne.

Położenie jasnych i ciemnych prążków na ekranie możemy jednoznacznie określić za pomocą kąta  względem osi układu. Obliczymy, jakie wartości kąta  odpowiadają maksimom i minimom interferencyjnym. Obliczenia znacznie upraszczają się, gdy założymy, że odległość ekranu od szczelin jest znacznie większa od odległości pomiędzy obiema szczelinami (l>>d). Wówczas możemy w przybliżeniu traktować promienie r₁ i r₂ jako wzajemnie równoległe, tworzące kąt  z osią układu (rys). Przy takich założeniach otrzymujemy związek

(4)

Porównując równanie (4) z warunkami (3a) i (3b) otrzymujemy położenie prążków na ekranie. Położenie środka jasnego prążka m-tego rzędu określa równanie

, gdzie
1, 2 ... (5a)

np. dla m=0 jasny prążek znajduje się pod kątem =0, a więc na osi (maksimum centralne)

Położenie środków ciemnych prążków określa warunek

, gdzie
1, 2 ... (5b)

Przykład (zad.13)

Doświadczenie Younga wykonywane jest z użyciem światła zielonego o długości fali 550 nm. Odległość między szczelinami jest równa 1,2 mm, a ekran na którym powstaje obraz, jest odległy od szczelin o 5,4 m. Oblicz odległość pomiędzy jasnymi prążkami.

Korzystając ze wzoru (5a) obliczamy położenia środków kolejnych prążków:

Prążek centralny (m=0) =0 y=0

Prążki I rzędu (m=1) sin=/d=0.000458 tg=0.000458 y=ltg=0.00247m=2.47 mm

Prążki II rzędu (m=2) sin=2/d=0.000917 tg=0.000917 y=ltg=0.00495m=4.95 mm

y=2.47mm

Spójność światła

Warunkiem dostrzegalnej interferencji dwóch fal świetlnych spotykających się w jednym punkcie jest ich spójność (koherencja), co oznacza, że różnice faz fal składowych muszą być stałe w czasie. Źródłami światła spójnego są lasery. W doświadczeniu Younga można stosować źródło światła częściowo spójnego, w którym fale świetlne mają stałą różnicę faz w punktach, leżących blisko siebie (np. światło słoneczne), ale należy przepuścić je najpierw przez pojedynczą szczelinę. Światło wychodzące z wąskiej szczeliny S₀ jest spójne, a ponadto, na skutek ugięcia, może oświetlić obie szczeliny S₁ i S₂. Jeśli zamiast układu dwóch szczelin użylibyśmy dwóch źródeł światła monochromatycznego o podobnej wielkości prążki interferencyjne nie pojawią się i ekran oświetlony będzie równomiernie.

Interferencja światła w cienkich warstwach

Rozważmy światło monochromatyczne o długości  padające pod katem  na cienką przezroczystą warstwę o grubości L i współczynniku załamania n₂ > n₁ (rys.). Na granicy ośrodków w punkcie A światło ulega zarówno odbiciu, jak i załamaniu. Promień odbity oznaczony symbolem r₁ biegnie do obserwatora. Promień załamany ulega odbiciu od dolnej powierzchni warstwy w punkcie B, a następnie odbiciu i załamaniu na górnej powierzchni warstwy w punkcie C. Promień załamany wychodzący z warstwy, oznaczony symbolem r₂, dociera do obserwatora. Przeprowadzimy uproszczona analizę zagadnienia dla przypadku małych kątów padania (
)

Jeśli fale świetlne, reprezentowane przez promienie i r₂, interferujące ze sobą w oku obserwatora mają zgodne fazy, wówczas obszar AC na powierzchni warstwy ma dla obserwatora maksymalną jasność. Jeśli natomiast ich fazy są przeciwne, wówczas obszar AC z punktu widzenia obserwatora będzie ciemny, pomimo że jest on jasno oświetlony! Jeśli różnica faz obu fal ma wartość pośrednią, wtedy jasność obszaru AC również jest pośrednia.

Różnica faz fal reprezentowanych przez promienie r₁ i r₂, wynika z 3 przyczyn:

1. Odbicie

2. Różnica dróg przebytych przez obie fale

3. Przechodzenie fal przez ośrodki o różnych współczynnikach załamania

Ad. 1. Odbicie od ośrodka o większym współczynniku załamania powoduje zmianę fazy fali świetlnej na przeciwną, co odpowiada ½ długości fali, odbicie od ośrodka o mniejszym współczynniku załamania nie zmienia fazy fali świetlnej. Fala reprezentowana przez promień r₁ odbijając się w punkcie A zmienia fazę na przeciwną, natomiast odbicie od dolnej powierzchni warstwy w punkcie B nie zmienia fazy fali związanej z promieniem r₂.

Ad. 2. Droga promienia r₂ jest dłuższa ze względu na dwukrotne przejście przez warstwę. Dla małych kątów padania
różnica dróg przebytych przez obie fale wynosi w przybliżeniu 2L

Ad. 3. Zgodnie z równaniem (1) długość fali związanej z promieniem r₂ wewnątrz warstwy wynosi /n₂.

Podsumowując:

Minimum interferencyjne (ciemny obszar AC) odpowiada sytuacji gdy

, gdzie
1, 2 ... (6a)

Natomiast maksimum interferencyjne (jasny obszar AC) określa warunek

, gdzie
1, 2 ... (6b)

A więc skutek interferencji będzie zależał od cech warstwy (jej grubości oraz współczynnika załamania) oraz od długości fali padającego światła.

Z całkiem wyjątkową sytuacja mamy do czynienia wtedy, gdy
. W takim przypadku różnica faz miedzy falami r₁ i r₂, wywołana jest jedynie przez odbicie, zatem niezależnie od długości fali padającego światła następuje interferencja destruktywna i warstwa pozostaje ciemna.

Jeśli natomiast wiązka padającego światła zawiera różne długości fali (np., gdy jest to światło białe) następuje selektywne wygaszanie i wzmacnianie niektórych długości fali, wówczas odcień powierzchni warstwy zmienia się wraz z kierunkiem jej oglądania (opalizuje). Tego rodzaju efekt możemy zauważyć obserwując skrzydła motyla, bańki mydlane lub rozlane plamy oleju.

Siatka dyfrakcyjna

Siatka dyfrakcyjna jest układem bardzo wielu N jednakowych, równoodległych szczelin (siatka transmisyjna) lub rys na zwierciadle metalicznym (siatka odbiciowa). Odległość d środków sąsiednich szczelin (lub rys) nazywamy stałą siatki. Typowa siatka dyfrakcyjna dla promieniowania z zakresu nadfioletu ma ok. 1000 szczelin/mm (d=0.001mm), zaś dla podczerwieni do 300 szczelin/mm (d=0.0033 mm). Oświetlając siatkę dyfrakcyjną światłem monochromatycznym otrzymujemy na ekranie bardzo wąskie jasne linie rozdzielone stosunkowo szerokimi ciemnymi obszarami.

Rysunek przedstawia uproszczona siatkę dyfrakcyjną, złożoną z N=5 równoodległych szczelin. Do wyznaczenia położeń jasnych linii na ekranie wykorzystamy tę samą procedurę co w przypadku doświadczenia Younga. Zakładamy więc, że ekran znajduje się dostatecznie daleko od siatki (d>>l), tak że promienie wychodzące ze szczelin można traktować jako równolegle. Dla każdej pary promieni wychodzących z sąsiednich szczelin obserwujemy wzmocnienie, gdy różnica ich dróg jest równa całkowitej wielokrotności długości fali, a więc

, gdzie
1, 2 ... (7)

Czyli położenie linii określa warunek

, gdzie
1, 2 ... (7a)

Każda liczba m odpowiada innej linii, dlatego też może być używana do numerowania linii - liczby m nazywamy rzędem linii, mówimy na przykład linia zerowego rzędu (m=0 - linia centralna, linia pierwszego rzędu (m=1) itd.

W przypadku siatki dyfrakcyjnej linie są bardzo wąskie, ze względu na to, że powstają w wyniku konstruktywnej interferencji bardzo dużej liczby fal składowych. Ze względu na małą wartość stałych siatki odległości kątowe pomiędzy poszczególnymi liniami są znacznie większe niż w doświadczeniu Younga z 2 szczelinami.

Ze wzoru (7) wynika, ze dla danej siatki położenie kątowe każdej linii zależy od długości fali światła padającego. Dlatego też, jeśli na siatkę pada światło o nieznanej długości fali, to pomiar kątów  dla linii wyższych rzędów powala wyznaczyć długość fali tego światła. Jeśli światło padające zawiera kilka różnych długości fali, linie odpowiadające różnym długościom fali mogą być na tyle dobrze rozseparowane, że można je rozróżnić i zidentyfikować. Z tego powodu siatki dyfrakcyjne są wykorzystywane (podobnie jak pryzmaty) do budowy spektroskopów optycznych, wykorzystywanych w analizie widmowej.

Zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej, czyli jej zdolność do rozdzielania linii o różnych długościach fali zależy od szerokości linii. Obliczymy teraz szerokość linii centralnej. W tym celu poszukamy położenia pierwszego minimum, w którym N promieni wychodzących ze szczelin wygasza się całkowicie. Pierwsze minimum powstaje w miejscu, gdzie różnica dróg między skrajnymi jest równa  (wtedy skrajny dolny promień oraz promień środkowy wygaszają się, podobnie wygaszają się kolejne pary wyższych promieni). Jak widać na rysunku, dla siatki składającej się z N szczelin odległych od siebie o d pierwsze minimum powstaje w miejscu, gdzie spełniony jest warunek

(8)

A więc szerokość połówkowa linii centralnej wynosi

(9)

(Zastosowaliśmy przy tym przybliżenie
ponieważ
jest bardzo małe). Oczywiście całkowita szerokość linii jest równa
.

Można też udowodnić, że szerokość połówkowa linii wyższego rzędu zależy od jej położenia kątowego i wynosi

(10)

Jak widać, dla danej długości fali l i zadanej stałej siatki d szerokość linii maleje wraz ze wzrostem liczby szczelin N. Zatem siatka o większej liczbie szczelin, wytwarzająca węższe (a więc słabiej nakładające się) linie będzie lepiej rozdzielała linie różniące się długością fali, zatem będzie miała większą zdolność rozdzielczą.

Regularnie uszeregowane atomy w krysztale stanowią trójwymiarową siatkę dyfrakcyjną dla promieniowania elektromagnetycznego o małych długościach fali (np. promieniowanie rentgenowskie). Dzięki temu dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego jest jednym z podstawowych narzędzi do badania rozmieszczenia atomów w strukturach krystalicznych.

Przykład

W żółtym świetle lampy sodowej występują dwie linie (zwane dubletem sodowym) o niewiele różniących się długościach fali _589 nm i _589,59 nm. Siatkę dyfrakcyjną mającą 12500 równoodległych szczelin na odcinku 2,5 cm oświetlono lampą sodową. Oblicz położenie kątowe oraz położenie na ekranie maksimum pierwszego i drugiego rzędu dla obu długości fali. Czy linie te dadzą się rozróżnić? Ekran znajduje się w odległości 2m od siatki.

Obliczamy stałą siatki d= 0.025m/12500=2*10^-6m

Dla widma I rzędu

sin₁=₁/d=0.2945 ₁=17,1276^o tg₁=0.3082 y₁=l tg₁=0.6163 m=61,63 cm

sin₂=₂/d=0.294795 ₂=17,1452^o tg₂=0.3085 y₂=l tg₂=0.6170 m=61,70 cm

rad = 0.0014^o

y=0.7 mm

Dla widma II rzędu

sin₁=2₁/d=0.589 ₁=36,0861^o tg₁=0.7288 y₁=l tg₁=1,4577 m=145,77 cm

sin₂=2₂/d=0.58959 ₂=36,1279^o tg₂=0.7300 y₂=l tg₁=1,4599 m=145,99 cm

y=2,2 mm

rad = 0.0017^o

Linie dubletu sodowego powinny się dać rozróżnić za pomocą tej siatki.

Jak widać odległości między liniami wzrastają dla wyższych rzędów (Jednocześnie jednak linie wyższych rzędów stają się słabsze i szersze)

2

1

---