Wydział: Mech.Tech. |
Dzień: środa |
Kierunek: MiBM (dzienne) |
Godz.: 1600 |
Grupa dziek.: 5 |
|
Semestr: 2 |
|
Laboratorium mechaniki ogólnej.
Ćwiczenie: E
Ilustracja zasady zachowania pędu.
Sekcja nr I |
1. Aneta Skorupa |
2. Michał Urzynicok |
3. Dariusz Zwiorek |
4. Łukasz Sowa |
5. Krzysztof Widak |
6. Damian Umiastowski |
7. Mariusz Szymocha |
Cel ćwiczenia.
Celem pomiarów jest wyznaczenie prędkości pocisku za pomocą wahadła balistycznego skrętnego.
Wstęp teoretyczny.
Układ „wahadło-pocisk” można opisać za pomocą dwóch zasad:
zasady zachowania pędu
zasady zachowania energii mechanicznej.
Do wyznaczenia poszczególnych wielkości będzie potrzebna również znajomość prawa Hook'a (w szczególności dla odkształcenia polegającego na skręcaniu) jak i wiedza z zakresu dynamiki ruch obrotowego i wiadomości dotyczące ruchu drgającego.
Korzystając z tego, iż zderzenie wahadła (jego miseczki wypełnionej plasteliną) z pociskiem jest całkowicie niesprężyste, można napisać równanie zachowania momentu pędu:
gdzie: m - masa pocisku
v - prędkość pocisku
r - odległość wbitego pocisku od osi obrotu
ω - prędkość kątowa wahadła
I1 - moment bezwładności wahadła
Odkształcenie jakiemu podlega drut wahadła, ma charakter sprężysty, zatem zgodnie z prawem Hooke'a moment sił sprężystości M jest proporcjonalny do kąta skręcenia wahadła ϕ:
gdzie:
- sztywność skrętna drutu
l - długość drutu
d - średnica drutu
G - moduł sprężystości postaciowej
Z zasady zachowania energii mechanicznej wynika:
gdzie: ϕ - maksymalny kąt skręcenia wahadła.
Równanie ruchu wahadła balistycznego w tych warunkach można zapisać w następującej postaci:
gdzie: ϕ - kąt skręcenia od położenia równowagi
ϕ - przyspieszenie kątowe
kϕ - moment sił sprężystości.
Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać:
gdzie: ϕmax - amplituda drgań (największe skręcenie)
ω - prędkość kątowa
α - faza początkowa ruchu (przy odpowiednim doborze chwili pomiaru czasu α = 0).
Dalsze przekształcenia powyższych wzorów pozwolą nam na wyrugowanie z nich prędkości:
gdzie: v - szukana prędkość pocisku
ϕ - max kąt wychyleni wahadła po zderzeniu z pociskiem
M - masa ciężarka
m - masa pocisku
r - odległość osi obrotu od środka pocisku wbitego w plastelinę
R1 - odległość osi obrotu od środka ciężarka, gdy jest on najbliżej miseczek z plasteliną
R2 - odległość osi obrotu od środka ciężarka, gdy jest on najbliżej osi obrotu
T1 - okres drgań dla R1
T2 - okres drgań dla R2
Opis metody pomiarowej.
Przygotowanie układu do pomiaru:
wahadło balistyczne skrętne ustawić na stanowisku pomiarowym i za pomocą poziomicy wypoziomować przyrząd, uziemić przyrząd
sprawdzić, czy czujnik fotoelektryczny jest połączony z gniazdem wejściowym milisekundomierza
włączyć urządzenie do sieci, sprawdzić poprawność wskazań miernika
sprawdzić naciąg drutu rozpiętego między wspornikiem górnym i dolnym (ew. odpowiednio skorygować)
ustawić rysę znajdującą się na miseczce z plasteliną naprzeciw punktu 0 na skali (ew. skorygować za pomocą śruby znajdującej się na górnym wsporniku)
odchylić ręką wahadło o kąt 15o - 20 o i sprawdzić czy milisekundomierz rejestruje liczbę i czas drgań wahadła
przygotować wagę laboratoryjną do pomiarów
sprawdzić czy miseczki mają jednakową wagę po zdemontowaniu ich
w miseczce, która umieszczona będzie naprzeciw urządzenia strzelającego, doprowadzić plasteliną do stanu plastyczności
przykręcić obie miseczki i ponownie wyzerować wahadło
sprawdzić sprawność urządzenia spustowego
Pomiar:
maksymalnie zsunąć oba ciężarki i zakontrować je (R2=min)
wystrzelić pocisk z urządzenia strzelającego
odczytać na skali kątowej max kąt wychylenia wahadła ϕmax
po wyzerowaniu miernika czasu odchylić ręką wahadło na odczytany kąt ϕmax i zwolnić go
zmierzyć czas dziesięciu wahnięć
czynności (4) i (5) powtórzyć dwa razy, aby wyeliminować możliwość popełnienia błędu grubego (otrzymujemy T2)
max rozsunąć ciężarki (R1=max) i powtórzyć czynności wg punktów (4), (5) i (6) (otrzymujemy T1)
zmierzyć mas pocisku
zmierzyć odległości R1 i R2
zmierzyć r (odległość między środkiem wbitego pocisku a osią obrotu)
przeprowadzić co najmniej 10 wystrzałów
Wyniki pomiaru.
Lp. |
R2 = min |
R1 = max |
||||
|
ϕmax [o] |
10T2 |
T2 |
ϕmax [o] |
10T1 |
T1 |
1. |
30 |
34,750 |
3,475 |
37 |
60,113 |
6,0113 |
2. |
45 |
34,271 |
3,4271 |
42 |
57,992 |
5,7992 |
3. |
50 |
34,517 |
3,4517 |
38 |
57,954 |
5,7954 |
4. |
29 |
34,295 |
3,4295 |
39 |
58,377 |
5,8377 |
5. |
49 |
34,279 |
3,4279 |
42 |
58,141 |
5,8141 |
6. |
50 |
34,256 |
3,4256 |
39 |
58,828 |
5,8828 |
7. |
52 |
34,745 |
3,4745 |
43 |
58,856 |
5,8856 |
Lp. |
m [g] |
R2 [mm] |
R1 [mm] |
r [mm] |
M [g] |
1. |
2 |
30,90 |
91,70 |
130 |
120 |
Początek kąt pomiaru przyjęto kąt: 8 [o]
Dokładność urządzenia pomiarowego przy zliczaniu czasu: 0,001 [Hz]
Dokładność suwmiarki: 0,01 [mm]
Dokładność skali pomiaru kąta: 1[o]
Waga miseczek: 120 [g]
Rachunek Błędu.
Aby wyznaczyć błędy wielkości mierzonych bezpośrednio podczas przeprowadzania doświadczenia, czyli:
ϕmax [o]
R1 ; R2 [m]
m [kg]
r [m]
T1 ; T2 [Hz]
braliśmy pod uwagę dokładność przyrządów, którymi posługiwaliśmy się przy wykonywaniu ćwiczenia. Z powodu usterki technicznej kąt wychylenia wahadła po zderzeniu z pociskiem był mierzony od wartości 8 stopni. Zostały one ujęte w poniższej tabeli:
Lp. |
R2 = min |
R1 = max |
||||
|
ϕmax [o] |
10T2 |
T2 |
ϕmax [o] |
10T1 |
T1 |
1. |
22 ± 1 |
34,750 ± 0,001 |
3,475 ± 0,001 |
29 ± 1 |
60,113 ± 0,001 |
6,0113 ± 0,001 |
2. |
37 ± 1 |
34,271 ± 0,001 |
3,4271 ± 0,001 |
34 ± 1 |
57,992 ± 0,001 |
5,7992 ± 0,001 |
3. |
42 ± 1 |
34,517 ± 0,001 |
3,4517 ± 0,001 |
30 ± 1 |
57,954 ± 0,001 |
5,7954 ± 0,001 |
4. |
21 ± 1 |
34,295 ± 0,001 |
3,4295 ± 0,001 |
31 ± 1 |
58,377 ± 0,001 |
5,8377 ± 0,001 |
5. |
41 ± 1 |
34,279 ± 0,001 |
3,4279 ± 0,001 |
34 ± 1 |
58,141 ± 0,001 |
5,8141 ± 0,001 |
6. |
42 ± 1 |
34,256 ± 0,001 |
3,4256 ± 0,001 |
31 ± 1 |
58,828 ± 0,001 |
5,8828 ± 0,001 |
7. |
44 ± 1 |
34,745 ± 0,001 |
3,4745 ± 0,001 |
35 ± 1 |
58,856 ± 0,001 |
5,8856 ± 0,001 |
Lp. |
m [kg] |
R2 [m] |
R1 [m] |
r [m] |
M [kg] |
1. |
0,002 ± 0,001 |
0,0309 ± 0,01 |
0,0917 ± 0,01 |
0,13 ± 0,01 |
0,12 |
Opracowanie wyników pomiarowych.
Wykonując n pomiarów z różną miarą precyzji, można wykazać, że najbardziej prawdopodobna wartość mierzonej wielkości odpowiada warunkowi minimum sum kwadratów odchyleń. Jest to tzw. średnia ważona. A więc wartość średniej ważonej prędkości pocisku
obliczymy z następującego wzoru:
(1)
Wielkości wi nazywamy wagami pomiarów. Średnia ważona jest najlepszym przybliżeniem serii pomiarów wykonanych z różną dokładnością do wartości rzeczywistej mierzonej wielkości. Wagami pomiarów oblicza się wg wzoru:
(2)
gdzie: Δvi - błąd pomiaru vi
c - dowolna liczba (c≠0), tak dobrana, aby rachunki stały się najprostsze.
Błąd pomiaru Δvi obliczymy posługując się wzorami na maksymalne odchylenia pomiarów od wartości średniej:
(3)
Błąd średniej ważonej obliczamy zwykle wg wzoru:
(4)
Poszczególne liczone wartości zostały zestawione w poniższej tabelach.
Prędkość średnia pocisku Vśr [m/s] |
|
R2 |
R1 |
402,134 |
360,996 |
Do obliczeń przyjęto wartość c = 100000
Tabela zawierająca wartości liczone w przypadku, gdy odległość osi obrotu od środka ciężarka jest najmniejsza (R2).
Lp. |
vi [m/s] |
|vi - vśr| [m/s] |
wi |
wi * vi |
wi * Δvi |
1 |
237,632 |
164,502 |
3,695 |
878,139 |
607,895 |
2 |
423,859 |
21,724 |
211,887 |
89810,172 |
4603,119 |
3 |
485,553 |
83,419 |
14,370 |
6977,601 |
1198,767 |
4 |
237,483 |
164,652 |
3,689 |
875,991 |
607,343 |
5 |
467,310 |
65,176 |
23,541 |
11000,927 |
1534,306 |
6 |
467,014 |
64,879 |
23,757 |
11094,689 |
1541,320 |
7 |
496,089 |
93,955 |
11,328 |
5619,827 |
1064,343 |
|
|
|
|
|
|
Σ |
2814,940 |
|
292,267 |
126257,346 |
11157,093 |
Tabela zawierająca wartości liczone w przypadku, gdy odległość osi obrotu od środka ciężarka jest największa (R1).
Lp. |
vi [m/s] |
|vi - vśr| [m/s] |
wi |
wi * vi |
wi * Δvi |
1 |
313,243 |
47,753 |
43,853 |
13736,501 |
2094,101 |
2 |
389,492 |
28,496 |
123,149 |
47965,603 |
3509,262 |
3 |
346,824 |
14,172 |
497,901 |
172684,075 |
7056,213 |
4 |
350,570 |
10,426 |
919,921 |
322496,115 |
9591,249 |
5 |
387,526 |
26,530 |
142,079 |
55059,111 |
3769,332 |
6 |
344,701 |
16,295 |
376,604 |
129815,674 |
6136,808 |
7 |
394,616 |
33,620 |
88,469 |
34911,428 |
2974,379 |
|
|
|
|
|
|
Σ |
2526,970 |
|
2191,976 |
776668,507 |
35131,345 |
Po podstawieniu do odpowiednich wzorów (1) i (4) otrzymujemy średnią ważoną prędkości pocisku i jej błąd:
dla R2 v2 = (431,993 ± 38,174) [m/s]
dla R1 v1 = (354,323 ± 16,027) [m/s]
Po zaokrągleniu:
v2 = (432 ± 38) [m/s] ; v1 = (354 ± 16) [m/s]
Podsumowanie i Wnioski.
Przeprowadzamy ocenę wpływu na wynik końcowy przyjętych założeń. Warunkiem obliczenia prędkości były następujące wytyczne:
I>>mr2
t<<T
Pierwszy warunek ma postać:
Przy drugim kryterium czas [t] został oszacowany na podstawie związku:
gdzie: d - głębokość na jaką wbił się pocisk w plastelinę. (d = 2 ÷ 3 [mm])
- średnia prędkość ruch pocisku w plastelinie.
Obliczenia do powyższych wzorów zostały ujęte w poniższej tabeli:
d = 2 ÷ 3 [mm] = 0,0025 [mm] |
mr2 = 0,0000338 [kg*m2] |
||||||
T1 = 5,8609 [Hz] |
T2 = 3,4445 [Hz] |
||||||
vsr1= |
177,161 [m/s] |
t1= |
0,00001411 [s] |
vsr2= |
215,996 [m/s] |
t2= |
0,00001157 [s] |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω1= |
1,072 [rad/s] |
I1= |
0,085932 [kgm2] |
ω2= |
1,824 [rad/s] |
I2= |
0,061573 [kgm2] |
Jak można zauważyć z powyższych obliczeń, każde z przyjętych założeń było poprawne. A więc przyjęte warunki spowodowały, iż wzory końcowe miały prostszą postać, lecz jednocześnie jest to związane z mniejszą dokładnością obliczeń.