Wydział: MT

Kierunek: MIBM

Sekcja: 10

Temat:

ANALIZA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO.

Sekcja10:

1. Sebastian Konarski.

2. Marek Kozłowski.

1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest zastosowanie tzw. wahadła krzyżowego Oberbecka do badania ruchu obrotowego bryły sztywnej.

2. WSTĘP TEORETYCZNY

Schemat wahadła Oberbecka

Dynamiczne równanie ruchu obrotowego można zapisać w postaci:

gdzie:

M - moment siły powodującej obrót

M_T - całkowity moment sił tarcia

ε - przyspieszenie kątowe bryły

I - moment bezwładności względem osi obrotu

Moment siły powodującej obrót można określić jako:

M = Nr

gdzie:

N - siła naciągu nici, na której przez nieruchomy blok zawieszony jest ciężarek o masie m

r- promień krążka, na który nić jest nawinięta

Dynamiczne równanie ruchu opadającego ciężarka ma postać:

ma = mg - N

gdzie:

m - masa ciężarka zawieszonego na nici

a - przyspieszenie liniowe opadającego ciężarka

Przyspieszenie kątowe obracającej się bryły ε określone poprzez przyspieszenie liniowe przedstawia się następująco:

Po przekształceniach:

M = m(g -a)r

Iε = m(g -a)r - M_T

stąd:

Przyjmując założenie, że dla przyjętych cech geometrycznych w warunkach eksperymentu:

równanie przyjmuje postać:

Przyspieszenie liniowe a opadającego ciężarka można wyznaczyć eksperymentalnie. Jeżeli ciężarek opadając przebędzie drogę h w czasie t, to:

przy czym drogę h i czas t możemy mierzyć.

Ostatecznie otrzymujemy:

Moment bezwładności wahadła Oberbecka I można wyrazić:

I = I₀ + 4m_wR²

gdzie:

m_w - masa każdego z 4 walców nałożonych na pręty wahadła

R - odległość środków tych walców od osi obrotu

I₀ - moment bezwładności przyrządu bez walców

3. ANALITYCZNE OBLICZENIA MOMENTU BEZWŁADNOŚCI PRZYRZĄDU BEZ WALCÓW

Wahadło Oberbecka zbudowane jest z:

a) 4 prętów ø35x290

2. walca o wymiarach ø35x12

3. tarczy większej ø90x5

4. tarczy mniejszej ø40x5

Masowe momenty bezwładności dla tych brył wynoszą odpowiednio:

1. I₁ = 2(1/12ml²) = 0,0025kgm²

2. I₂ = 1/2mr² = 0,000015kgm²

3. I₃ = 1/2mr² = 0,000242kgm²

4. I₄ = 1/2mr² = 0,0000096kgm²

Masowy moment bezwładności dla wahadła wynosi więc:

I₀ = I₁+I₂+I₃+I₄ = 0,00531kgm²

4. DOŚWIADCZALNE WYZNACZENIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI PRZYRZĄDU BEZ WALCÓW

Przy wyznaczaniu w/w zależności korzystam ze wzorów:

M = mgr I₀ = M/ε

m [kg]	h [m]	t [s]	r [m]	I0 [kgm^2]
0,053	0,48	6,993	0,02	0,0052
0,096	0,48	3,846	0,02	0,0049
0,14	0,48	3,106	0,02	0,0051

5. SPRAWDZENIE ZALEŻNOŚCI PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO ε = 1/I (mgr -M_T)

1. Wyznaczam doświadczalnie przyspieszenie kątowe (I=const)

1. Masowy moment bezwładności wahadła Oberbecka

I = I₀ + 4m_w R² = 0,00594kgm²

2. Dla krążka ø40:

Korzystam ze wzorów:

M = mgr ε = 2h/t²r

[kg] m	M [Nm]	I [kgm^2]	ε [rad/s^2]	Iε [Nm]
0,184	0,036	0,059	0,3631	0,0218
0,14	0,027	0,059	0,271	0,0147
0,096	0,018	0,059	0,153	0,0092

3. Dla krążka ø90:

Korzystam ze wzorów:

M = mgr ε = 2h/t²r

[kg] m	M [Nm]	I [kgm^2]	ε [rad/s^2]	Iε [Nm]
0,184	0,079	0,059	0,923	0,0542
0,14	0,062	0,059	0,681	0,0423
0,096	0,515	0,059	0,518	0,0328

2. Wyznaczam całkowity moment sił tarcia

1. Dla krążka ø40:

Punkt przecięcia prostej z osią x daje całkowity moment siły tarcia M_T

4. 
   

4. Dla krążka ø90:

Punkt przecięcia prostej z osią x daje całkowity moment siły tarcia M_T = 0,01099 Nm

Lp	M = mgr	ε	M^2	Mε
1	0,036	0,363	0,00131	0,0131
2	0,027	0,272	0,00073	0,0072
3	0,018	0,154	0,00035	0,0027
Σ	0,081	0,791	0,00234	0,0233

a₀ = 0,791*0,00234-0,081*0,0233 / 3*0,00234-0,081²=0,114

a₁ = 3*0,0233-0,081*0,0233 / 3*0,00234-0,081²= 11,82

ε = 0,114+11,82=11,934mgr

Lp	M = mgr	ε	M^2	Mε
1	0,0789	0,912	0,0064	0,0713
2	0,0623	0,672	0,0039	0,0423
3	0,0425	0,513	0,0019	0,0223
Σ	0,1923	2,052	0,0121	0,1324

a₀ = 2,052*0,0121-0,1923*0,1324 / 3*0,0121 - 0,1923² = 0,1142

a₁ = 3*0,1324-0,1923*2,052 / 3*0,0121 - 0,1923² = 10,421

ε = 0,1142+10,421=10,535mgr

3. Sprawdzam analitycznie przyspieszenia kątowe

dla krążka ø40		dla krążka ø90
m [kg]	ε [rad/s^2]	m [kg]	ε [rad/s^2]
0,18	0,421	0,18	0,921
0,14	0,296	0,14	0,721
0,0096	0,152	0,0096	0,522

6. SPRAWDZENIE ZALEŻNOŚCI I₁ε₁=I₂ε₂=...=I_nε_n=(mgr-M_T)

M=const (moment siły powodującej obrót)

1. dla R=0,08m

I₁=I₀+4m_wR²=0,052+4*0,2*0,08²=0,057 [kgm²

ε₁=0,3631 [rad/s²] t=1,749 [s]

I_1* ε₁=mgr-M_T

0,058*0,3631=0,036-0,00982

0,0206 [Nm] ≈ 0,0247

2. dla R=0,12 [m]

I₂=I₀+4m_wR²=0,052+4*0,2*0,12²=0,063 kgm²

ε₂=0,321 ]rad/s²] t=2,19 [s]

I_2* ε₂=mgr-M_T

0,063*0,321=0,036-0,00982

0,0202 [Nm] ≈ 0,0247

3. dla R=0,22 [m]

I₃=I₀+4m_wR²=0,052+4*0,2*0,22²=0,0907 [kgm²]

ε₃=0,254 [rad/s²] t=2,19 [s]

I_3* ε₃=mgr-M_T

0,0907*0,254=0,036-0,00982

0,0231 [Nm] ≈ 0,0247

7. WNIOSKI

1. Wyniki obliczeń otrzymane w wyniku pomiarów są zbliżone do analitycznych.

2. Wahadło Oberbecka jest w miarę dokładnym przyrządem pomiarowym.

3. Stosując metodę doświadczalną okazuje się, że im dłuższy jest pomiar, tym mniej dokładne są wyniki pomiaru przyspieszenia ε.

1

8





































---