Wydział: MT data: 23.03 2001

Kierunek: MiBM godz. 8³⁰

Grupa: 6

Ćwiczenie: C

LABORATORIUM MECHANIKI OGÓLNEJ

Temat: Macierzowa analiza sił

w prętach kratownicy płaskiej

Michał Stach

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zastosowaniem rachunku macierzowego do określania sił w prętach kratownicy statycznie wyznaczalnej.

Wstęp teoretyczny

Kratownicę statycznie wyznaczalną będziemy nazywali kratownicę, w której liczba niewiadomych sił w prętach oraz reakcji podporowych jest równa liczbie równań równowagi. Rozważania ograniczymy do kratownic płaskich, spełniające założenia technicznej teorii kratownic, tzn. odpowiednio podpartych ( statycznie zewnętrznie wyznaczalnych ), geometrycznie nie zmiennych zbudowanych z prętów przegubowych i obciążonych w węzłach. W takim przypadku siły w prętach tworzą w każdym z węzłów kratownicy zbieżny układ sił. Dla kratownicy posiadającej m węzłów oraz n prętów możemy napisać 2m równań równowagi odpowiadających rzutom sił na osie układu współrzędnych:

i = 1..,m, j = 1..,n

S - siła wewnętrzna w pręcie

a - współczynnik w równaniu równowagi dla węzła zrzutowanym odpowiednio na osie x i y układu współrzędnych stojące przy sile wewnętrznej

P - rzuty sił zewnętrznych na osie układu współrzędnych przyłożonych w węźle

Współczynniki a mogą być równe zero lub być różne od zera w zależności od tego , czy dany pręt występuje w rozpatrywanym węźle, czy też nie występuje . Układ równań równowagi można zapisać zatem w postaci macierzowej :

P = -A * S

gdzie: P - macierz kolumnowa składowych sił zewnętrznych przyłożonych w węzłach zawierająca niewiadome podporowe ,

A - macierz współczynników równań równowagi węzłów,

S - macierz kolumnowa sił wewnętrznych .

Budowa macierzy połączeń

Macierz połączeń zawiera konfiguracje kratownicy , tzn . zapisana jest w niej informacja o połączeniach prętów w poszczególnych węzłach . Obliczenia rozpoczynamy od ponumerowania w dowolnej kolejności węzłów i prętów kratownicy. Przyjmujemy że początkiem węzła jest węzeł o niższym numerze. Następnie budujemy macierz połączeń węzłów

K = [k_ij]; i = 1,2...m; j = 1,2...n.

gdzie : m - liczba węzłów ,

n - liczba prętów ,

i - numer węzła ,

j - numer pręta.

Budowa macierzy współrzędnych węzłów

Obieramy dowolny prostokątny układ współrzędnych . Macierz współrzędnych węzłów ma następującą postać:

X = [x_ij]; i = 1,2...n; j = 1,2.

Budowa macierzy cosinusów kierunkowych

W macierz tej zapisane są cosinusy kierunkowe poszczególnych prętów kratownicy , a co za tym idzie, poszczególnych sił wewnętrznych . Zbudowanie tej macierzy wymaga określenia składowych długości prętów w przyjętym układzie współrzędnych oraz wyznaczenia ich całkowitej długości. Na tej podstawie możemy dopiero określić cosinusy nachylenia poszczególnych prętów kratownicy do osi układu współrzędnych.

Macierz składowych długości prętów:

D = [d_ij]; i = 1,2...n; j = 1,2

obliczmy z równania

D = - K^T X

Długości prętów są równe

a ich cosinusy kierunkowe

i = 1,2...n; j = 1,2.

Macierz cosinusów kierunkowych C ma następującą postać:

C = [c_ij]

Budowa macierzy sił zewnętrznych

Zakładamy że w węzłach kratownicy są przyłożone siły zewnętrzne, których składowe są elementami macierzy P.

Między macierzami sił zewnętrznych P i wewnętrznych S zachodzi związek wynikający z równowagi węzłów

P = - A*S

Budowa macierzy współczynników równań równowagi węzłów.

Macierz A powstaje z macierzy K przez podstawienie w miejscu elementów:

„1” - odpowiednich wierszy macierzy cosinusów kierunkowych z macierzy C, odpowiadających poszczególnym prętom kratownicy,

„-1”-jw.,ale ze znakiem przeciwnym,

„0” -dwuelementowego wektora zerowego .

Wyznaczenie sił wewnętrznych wymaga wyeliminowania z macierzy A wierszy, a z macierzy kolumnowej P elementów odpowiadającym warunkom podparcia. Po rozwiązaniu takiego uproszczonego układu równań wyznaczymy siły wewnętrzne w prętach kratownicy . Wartość dodatnia sił oznacza , że pręt jest rozciągany , a ujemna , że ściskany.

Znając wartość tych sił i korzystając z odrzuconych równań zawierających składowe reakcji możemy wyznaczyć reakcję w podporach .

Kratownica przedstawiona na poniższym rys. , jest statycznie wyznaczalna (spełniony jest warunek p = 2w - 3), jest geometrycznie niezmienna, zbudowana z prętów przegubowych i obciążona w węzłach. Można w takim wypadku obliczyć siły działające w prętach oraz reakcje na podporach .

Dane :

- kratownica jest zbudowana na module

kwadratowym o boku 1m

- obciążenie F₁ = 100N

- obciążenie F₂ = 200N

Dla tak ponumerowanej kratownicy można zbudować macierz

Dla tak ponumerowanej kratownicy można zbudować macierz

Następnie macierz współrzędnych węzłów

Po podstawieniu danych do programu komputerowego otrzyma się następujące wyniki :

• siły występujące w prętach [N]:

s1= -66,67 [N]

s2= 0 [N]

s3= 0 [N]

s4= 133,3 [N]

s5= -188,6 [N]

s6= -33,33 [N]

s7= -47,14 [N]

s8= -13,33 [N]

s9= 33,33 [N]

s10= 0 [N]

s11= -47,14 [N]

s12= -166,7 [N]

s13= 33,33 [N]

• podpora stała :

R_Ax = 200 [N]

R_Ay = 133,3 [N]

R_A = 240 [N]

• podpora ruchoma :

R_B = -333,3 [N]

Minus przed wartością naprężenia oznacza, że pręt jest ściskany.

Wnioski i spostrzerzenia

Za pomocą macierzowej analizy kratownic można łatwo i skutecznie rozwiązać każdą kratownicę statycznie wyznaczalną. Program używany podczas ćwiczenia stanowi doskonałą pomoc przy rozwiązywaniu tego typu zagadnień.

Z analizy powyższych wyników widać ,że w obliczonej kratownicy zbędne są pręty 2, 3, 10 - w tych prętach wartość naprężeń jest równa zero. Dlatego kratownica ta mogłaby funkcjonować bez tych prętów .Obliczenia te były wykonane na komputerze , dlatego można wykluczyć błąd w rachunkach obliczeniowych.

1

7

---