Wydział: Mech.Tech.	Dzień: środa
Kierunek: MiBM (dzienne)	Godz.: 16^00
Grupa dziek.: 5
Semestr: 2

Laboratorium mechaniki ogólnej.

Ćwiczenie: E

Ilustracja zasady zachowania pędu.

Sekcja nr I

1. Aneta Skorupa

2. Michał Urzynicok

3. Dariusz Zwiorek

4. Łukasz Sowa

5. Krzysztof Widak

6. Damian Umiastowski

7. Mariusz Szymocha

1. Cel ćwiczenia.

Celem pomiarów jest wyznaczenie prędkości pocisku za pomocą wahadła balistycznego skrętnego.

2. Wstęp teoretyczny.

Układ „wahadło-pocisk” można opisać za pomocą dwóch zasad:

• zasady zachowania pędu

• zasady zachowania energii mechanicznej.

Do wyznaczenia poszczególnych wielkości będzie potrzebna również znajomość prawa Hook'a (w szczególności dla odkształcenia polegającego na skręcaniu) jak i wiedza z zakresu dynamiki ruch obrotowego i wiadomości dotyczące ruchu drgającego.

Korzystając z tego, iż zderzenie wahadła (jego miseczki wypełnionej plasteliną) z pociskiem jest całkowicie niesprężyste, można napisać równanie zachowania momentu pędu:

gdzie: m - masa pocisku

v - prędkość pocisku

r - odległość wbitego pocisku od osi obrotu

ω - prędkość kątowa wahadła

I₁ - moment bezwładności wahadła

Odkształcenie jakiemu podlega drut wahadła, ma charakter sprężysty, zatem zgodnie z prawem Hooke'a moment sił sprężystości M jest proporcjonalny do kąta skręcenia wahadła ϕ:

gdzie:
- sztywność skrętna drutu

l - długość drutu

d - średnica drutu

G - moduł sprężystości postaciowej

Z zasady zachowania energii mechanicznej wynika:

gdzie: ϕ - maksymalny kąt skręcenia wahadła.

Równanie ruchu wahadła balistycznego w tych warunkach można zapisać w następującej postaci:

gdzie: ϕ - kąt skręcenia od położenia równowagi

ϕ - przyspieszenie kątowe

kϕ - moment sił sprężystości.

Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać:

gdzie: ϕ_max - amplituda drgań (największe skręcenie)

ω - prędkość kątowa

α - faza początkowa ruchu (przy odpowiednim doborze chwili pomiaru czasu α = 0).

Dalsze przekształcenia powyższych wzorów pozwolą nam na wyrugowanie z nich prędkości:

gdzie: v - szukana prędkość pocisku

ϕ - max kąt wychyleni wahadła po zderzeniu z pociskiem

M - masa ciężarka

m - masa pocisku

r - odległość osi obrotu od środka pocisku wbitego w plastelinę

R₁ - odległość osi obrotu od środka ciężarka, gdy jest on najbliżej miseczek z plasteliną

R₂ - odległość osi obrotu od środka ciężarka, gdy jest on najbliżej osi obrotu

T₁ - okres drgań dla R₁

T₂ - okres drgań dla R₂

3. Opis metody pomiarowej.

Przygotowanie układu do pomiaru:

• wahadło balistyczne skrętne ustawić na stanowisku pomiarowym i za pomocą poziomicy wypoziomować przyrząd, uziemić przyrząd

• sprawdzić, czy czujnik fotoelektryczny jest połączony z gniazdem wejściowym milisekundomierza

• włączyć urządzenie do sieci, sprawdzić poprawność wskazań miernika

• sprawdzić naciąg drutu rozpiętego między wspornikiem górnym i dolnym (ew. odpowiednio skorygować)

• ustawić rysę znajdującą się na miseczce z plasteliną naprzeciw punktu 0 na skali (ew. skorygować za pomocą śruby znajdującej się na górnym wsporniku)

• odchylić ręką wahadło o kąt 15^o - 20 ^o i sprawdzić czy milisekundomierz rejestruje liczbę i czas drgań wahadła

• przygotować wagę laboratoryjną do pomiarów

• sprawdzić czy miseczki mają jednakową wagę po zdemontowaniu ich

• w miseczce, która umieszczona będzie naprzeciw urządzenia strzelającego, doprowadzić plasteliną do stanu plastyczności

• przykręcić obie miseczki i ponownie wyzerować wahadło

• sprawdzić sprawność urządzenia spustowego

Pomiar:

1. maksymalnie zsunąć oba ciężarki i zakontrować je (R₂=min)

2. wystrzelić pocisk z urządzenia strzelającego

3. odczytać na skali kątowej max kąt wychylenia wahadła ϕ_max

4. po wyzerowaniu miernika czasu odchylić ręką wahadło na odczytany kąt ϕ_max i zwolnić go

5. zmierzyć czas dziesięciu wahnięć

6. czynności (4) i (5) powtórzyć dwa razy, aby wyeliminować możliwość popełnienia błędu grubego (otrzymujemy T₂)

7. max rozsunąć ciężarki (R₁=max) i powtórzyć czynności wg punktów (4), (5) i (6) (otrzymujemy T₁)

8. zmierzyć mas pocisku

9. zmierzyć odległości R₁ i R₂

10. zmierzyć r (odległość między środkiem wbitego pocisku a osią obrotu)

11. przeprowadzić co najmniej 10 wystrzałów

4. Wyniki pomiaru.

Lp.	R2 = min			R1 = max
		ϕmax [^o]	10T2	T2	ϕmax [^o]	10T1	T1
1.	30	34,750	3,475	37	60,113	6,0113
2.	45	34,271	3,4271	42	57,992	5,7992
3.	50	34,517	3,4517	38	57,954	5,7954
4.	29	34,295	3,4295	39	58,377	5,8377
5.	49	34,279	3,4279	42	58,141	5,8141
6.	50	34,256	3,4256	39	58,828	5,8828
7.	52	34,745	3,4745	43	58,856	5,8856

Lp.	m [g]	R2 [mm]	R1 [mm]	r [mm]	M [g]
1.	2	30,90	91,70	130	120

Początek kąt pomiaru przyjęto kąt: 8 [^o]

Dokładność urządzenia pomiarowego przy zliczaniu czasu: 0,001 [Hz]

Dokładność suwmiarki: 0,01 [mm]

Dokładność skali pomiaru kąta: 1[^o]

Waga miseczek: 120 [g]

5. Rachunek Błędu.

Aby wyznaczyć błędy wielkości mierzonych bezpośrednio podczas przeprowadzania doświadczenia, czyli:

• ϕ_max [^o]

• R₁ ; R2 [m]

• m [kg]

• r [m]

• T₁ ; T₂ [Hz]

braliśmy pod uwagę dokładność przyrządów, którymi posługiwaliśmy się przy wykonywaniu ćwiczenia. Z powodu usterki technicznej kąt wychylenia wahadła po zderzeniu z pociskiem był mierzony od wartości 8 stopni. Zostały one ujęte w poniższej tabeli:

Lp.	R2 = min			R1 = max
		ϕmax [^o]	10T2	T2	ϕmax [^o]	10T1	T1
1.	22 ± 1	34,750 ± 0,001	3,475 ± 0,001	29 ± 1	60,113 ± 0,001	6,0113 ± 0,001
2.	37 ± 1	34,271 ± 0,001	3,4271 ± 0,001	34 ± 1	57,992 ± 0,001	5,7992 ± 0,001
3.	42 ± 1	34,517 ± 0,001	3,4517 ± 0,001	30 ± 1	57,954 ± 0,001	5,7954 ± 0,001
4.	21 ± 1	34,295 ± 0,001	3,4295 ± 0,001	31 ± 1	58,377 ± 0,001	5,8377 ± 0,001
5.	41 ± 1	34,279 ± 0,001	3,4279 ± 0,001	34 ± 1	58,141 ± 0,001	5,8141 ± 0,001
6.	42 ± 1	34,256 ± 0,001	3,4256 ± 0,001	31 ± 1	58,828 ± 0,001	5,8828 ± 0,001
7.	44 ± 1	34,745 ± 0,001	3,4745 ± 0,001	35 ± 1	58,856 ± 0,001	5,8856 ± 0,001

Lp.	m [kg]	R2 [m]	R1 [m]	r [m]	M [kg]
1.	0,002 ± 0,001	0,0309 ± 0,01	0,0917 ± 0,01	0,13 ± 0,01	0,12

6. Opracowanie wyników pomiarowych.

Wykonując n pomiarów z różną miarą precyzji, można wykazać, że najbardziej prawdopodobna wartość mierzonej wielkości odpowiada warunkowi minimum sum kwadratów odchyleń. Jest to tzw. średnia ważona. A więc wartość średniej ważonej prędkości pocisku
obliczymy z następującego wzoru:

(1)

Wielkości w_i nazywamy wagami pomiarów. Średnia ważona jest najlepszym przybliżeniem serii pomiarów wykonanych z różną dokładnością do wartości rzeczywistej mierzonej wielkości. Wagami pomiarów oblicza się wg wzoru:

(2)

gdzie: Δv_i - błąd pomiaru v_i

c - dowolna liczba (c≠0), tak dobrana, aby rachunki stały się najprostsze.

Błąd pomiaru Δv_i obliczymy posługując się wzorami na maksymalne odchylenia pomiarów od wartości średniej:

(3)

Błąd średniej ważonej obliczamy zwykle wg wzoru:

(4)

Poszczególne liczone wartości zostały zestawione w poniższej tabelach.

Prędkość średnia pocisku Vśr [m/s]
R2	R1
402,134	360,996

Do obliczeń przyjęto wartość c = 100000

Tabela zawierająca wartości liczone w przypadku, gdy odległość osi obrotu od środka ciężarka jest najmniejsza (R₂).

Lp.	vi [m/s]	|vi - vśr| [m/s]	wi	wi * vi	wi * Δvi
1	237,632	164,502	3,695	878,139	607,895
2	423,859	21,724	211,887	89810,172	4603,119
3	485,553	83,419	14,370	6977,601	1198,767
4	237,483	164,652	3,689	875,991	607,343
5	467,310	65,176	23,541	11000,927	1534,306
6	467,014	64,879	23,757	11094,689	1541,320
7	496,089	93,955	11,328	5619,827	1064,343
Σ	2814,940		292,267	126257,346	11157,093

Tabela zawierająca wartości liczone w przypadku, gdy odległość osi obrotu od środka ciężarka jest największa (R₁).

Lp.	vi [m/s]	|vi - vśr| [m/s]	wi	wi * vi	wi * Δvi
1	313,243	47,753	43,853	13736,501	2094,101
2	389,492	28,496	123,149	47965,603	3509,262
3	346,824	14,172	497,901	172684,075	7056,213
4	350,570	10,426	919,921	322496,115	9591,249
5	387,526	26,530	142,079	55059,111	3769,332
6	344,701	16,295	376,604	129815,674	6136,808
7	394,616	33,620	88,469	34911,428	2974,379
Σ	2526,970		2191,976	776668,507	35131,345

Po podstawieniu do odpowiednich wzorów (1) i (4) otrzymujemy średnią ważoną prędkości pocisku i jej błąd:

dla R₂ v₂ = (431,993 ± 38,174) [m/s]

dla R₁ v₁ = (354,323 ± 16,027) [m/s]

Po zaokrągleniu:

v₂ = (432 ± 38) [m/s] ; v₁ = (354 ± 16) [m/s]

7. Podsumowanie i Wnioski.

Przeprowadzamy ocenę wpływu na wynik końcowy przyjętych założeń. Warunkiem obliczenia prędkości były następujące wytyczne:

• I>>mr²

• t<<T

Pierwszy warunek ma postać:

Przy drugim kryterium czas [t] został oszacowany na podstawie związku:

gdzie: d - głębokość na jaką wbił się pocisk w plastelinę. (d = 2 ÷ 3 [mm])

- średnia prędkość ruch pocisku w plastelinie.

Obliczenia do powyższych wzorów zostały ujęte w poniższej tabeli:

d = 2 ÷ 3 [mm] = 0,0025 [mm]				mr^2 = 0,0000338 [kg*m^2]
T1 = 5,8609 [Hz]				T2 = 3,4445 [Hz]
vsr1=	177,161 [m/s]	t1=	0,00001411 [s]	vsr2=	215,996 [m/s]	t2=	0,00001157 [s]
ω1=	1,072 [rad/s]	I1=	0,085932 [kgm^2]	ω2=	1,824 [rad/s]	I2=	0,061573 [kgm^2]

Jak można zauważyć z powyższych obliczeń, każde z przyjętych założeń było poprawne. A więc przyjęte warunki spowodowały, iż wzory końcowe miały prostszą postać, lecz jednocześnie jest to związane z mniejszą dokładnością obliczeń.

---