EKONIMETRIA II - wykłady

Zadanie 1

Oszacować liniowy model przychodów przedsiębiorstwa wyrażonych w mln zł. w zależności od średniego zatrudnienia i przeciętnej wydajności pracy mierzonej w tys. zł na zatrudnionego.

rok	dochód yt	zatrudnienie xt1	wydajność pracy xt2
1	1	2	1
2	2	4	2
3	2,5	3	3
4	2,5	4	3
5	3	4	4
6	3	4	5
Suma	14	21	18

WZÓR

WZÓR

WZÓR

(jeśli daszek jest nad
, to nad y nie ma)

(jeśli daszek jest nad y, to nie ma
)

Na 1 zatrudnionego przypada 0,67 mln zł. dochodu, jeśli początkowe zatrudnienie wyniesie 3,5 etatu i początkowa wydajność wyniesie 3 tys. zł.

Jeśli zatrudnienie wzrośnie o 1 osobę, to dochód wzrośnie średnio o 263 tys. zł. c.p.

Jeśli początkowe zatrudnienie wyniesie 3,5 etatu i początkowa wydajność wyniesie 3 tys. zł., to wzrost zatrudnienia o 1% spowoduje wzrost dochodu o 0,39% c.p.

Miary dopasowania:

rok	dochód yt	zatrudnienie xt1	wydajność pracy xt2
1	1	2	1	1,149	-0,149	0,0222	-1,33	1,7689
2	2	4	2	2,070	-0,070	0,0049	-0,33	0,1089
3	2,5	3	3	2,202	0,298	0,0888	0,17	0,0289
4	2,5	4	3	2,465	0,035	1,0012	0,17	0,0289
5	3	4	4	2,860	0,140	0,0196	0,67	0,4489
6	3	4	5	3,255	-0,255	0,0650	0,67	0,4489
Suma	14	21	18	14,001	0	0,2018	0,02~0	2,8334

Krańcowa stopa substytucji - to stosunek dwóch parametrów krańcowych policzonych względem różnych zmiennych. KSS określa jaki jest niezbędny spadek oddziaływania i-tej zmiennej kompensowany wzrostem oddziaływania j-tej zmiennej przy niezmienionym poziomie oddziaływania pozostałych zmiennych, tak aby wartość zmiennej endogenicznej nie zmieniła się.

Zapis ogólny:

Jeżeli zmniejszymy zatrudnienie o jednostkę, czyli o 1 osobę wówczas wydajność pracy powinna wzrosnąć o 1,5 tys. zł. na osobę, tak aby przychody nie zmieniły się.

Wariancja resztowa

Współczynnik zbieżności

Współczynnik determinacji

Współczynnik zmienności losowej

Obliczenia:

Wartości empiryczne przychodu różnią się średnio od swoich wartości teoretycznych o 0,0259422 mln zł., czyli o 259.422 zł.

W 7,1% zmienność przychodów zależy od innych przychodów, które nie zostały w modelu uwzględnione.

W 92,9% zmienność przychodu zależy od zmienności zatrudnienia i zmienności wydajności pracy.

Stanowi to 11,1% średniego przychodu i świadczy o dużej zmienności reszt.

- zmienność reszt dopuszczalna (im mniej tym lepiej)

i
- model dobrze dopasowany

Miary skorygowane

wariancja
skorygowany współczynnik zbieżności oznaczony

skorygowane o liczebność próby

Weryfikacja wyników

1/ sprawdzanie miar dopasowania

2/ weryfikacja parametrów strukturalnych

3/ weryfikacja struktury stochastycznej

Istotność łączna

Ponieważ wartość statystyki testowej jest większa od wartości krytycznej stosując 10% poziom istotności należy odrzucić
na rzecz
i stwierdzić, że zatrudnienie i wydajność pracy łącznie statystycznie istotnie oddziaływają na przychody.

Istotność indywidualna

Ponieważ wartość statystyki testowej co do modułu jest mniejsza od wartości krytycznej, dlatego stosując 10% - owy poziom istotności nie mamy podstaw do odrzucenia
. Oznacza to, że parametr
jest statystycznie nieistotny, a to oznacza, że zmienna przy tym parametrze występująca, czyli zatrudnienie nie wpływa istotnie na przychody.

Stosując 10% poziom istotności odrzucamy
na rzecz
i stwierdzamy, że wydajność istotnie oddziałuje na przychody.

Przedział ufności dla

Z 90% prawdopodobieństwem przedział o końcach <-0,179, 0,706> pokrywa nieznaną wartość parametru
.

Założenia struktury stochastycznej MNK:

element stochastyczny

Model ekonometryczny może być traktowany wyłącznie w kategoriach regresji opisowej tj. jako relacja matematyczna opisująca dany zbiór obserwacji zawartych w macierzy Y pod warunkiem występowania obserwacji w macierzy X. Model taki byłby tylko jednostkowym opisem Nie moglibyśmy wykorzystać go w prognozowaniu, niemożliwe byłoby weryfikowanie hipotez statystycznych. Dlatego konieczne jest przyjęcie pewnego zbioru założeń dotyczących losowego mechanizmu generowania zmiennych ekonometrycznych.

Założenie o losowym charakterze zmiennych ekonomicznych nie jest samo w sobie weryfikowalne. Co najwyżej można uznać je za rozsądne i korzystne lub odwrotnie, nierozsądne i utrudniające wykorzystanie modelu. Biorąc jednak pod uwagę dwa czynniki (niepewność, ryzyko) towarzyszące decyzjom ekonomicznym: niepewność wyboru oraz swobodę wyboru, pamiętając o fakcie, że procesy ekonomiczne są konsekwencją i sumą wielu powtarzalnych indywidualnych decyzji konsumentów, realizacjom zmiennych ekonomicznych można przypisać prawdopodobieństwa występowania a zatem uznać, że są zmienną losową.

I założeniem jest postulat o losowym charakterze zmiennych endogenicznych i składników zakłócających modelu (stąd powszechnie formułowane określenie - składnik losowy utożsamiany ze składnikiem zakłócającym).

Y i
- jest losowy

kowariancja
0

Dygresja

Przypominamy, dla jednowymiarowej zmiennej losowej wariancja definiowana jest następująco:

Zatem: wariancja zmiennej losowej X jest to wartość oczekiwana kwadratów różnic tej zmiennej losowej i jej wartości oczekiwanej lub inaczej, jest to różnica wartości oczekiwanej, kwadratu zmiennej losowej i kwadratu jej wartości oczekiwanej. Ey - średnia y.

Kowariancja, która jak pamiętamy nie ma bezpośredniej interpretacji definiowana jest następująco:

II założenie dotyczące zmiennych egzogenicznych i składników losowych. Zakłada się iż zmienne te są nieskorelowane, tj. zmienne egzogeniczne nie mają losowego charakteru, lecz są wartościami ustalonymi, kontrolowanymi przez badacza.

kowariancja = 0

III założenie o zerowaniu się wartości oczekiwanej składników losowych. Oznacza, że generowane zakłócenia są przypadkowe a nie systematyczne. Gdyby były systematyczne, zależałyby od zmiennej, która powinna zostać dołączona do modelu w roli objaśniającej. Natomiast, gdyby wartość oczekiwana była stała różna od zera, korekty wymagałby wyraz wolny modelu.

średnia składnika losowego = 0

Przykład:

reszty to odległości od prostej

IV założenie o stałości wariancji składników zakłócających. Wariancja składnika losowego jest stała w czasie i przestrzeni. Założenie to w istocie oznacza, że siła oddziaływania składników przypadkowych na zmienną endogeniczną jest stała.

średnia kwadratów reszt = wariancja reszt

zmienna w czasie stała wariancja w czasie

Jeżeli wariancja nie jest stała błąd rośnie.

V założenie o braku autokorelacji składników losowych. Założenie o zerowej kowariancji składników zakłócających z różnych okresów czasu, oznacza, że zakłócenia losowe z okresu t wpływają na zmienną endogeniczną tylko w tym okresie i nie są przenoszone na okres s (zerowanie się kowariancji interpretuje brak korelacji).

Zależność X od X z poprzednich okresów.

Składnik losowy nie może podlegać autokorelacji.

VI

Z założeń 3,4,5 oraz centralnego twierdzenia granicznego (przypominamy: rozkład sumy wielu niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach i skończonej wariancji jest zbieżny do rozkładu normalnego) wynika, że zmienna losowa
ma wielowymiarowy rozkład normalny o zerowej wartości oczekiwanej i stałej wariancji

macierz macierz jednostkowa

składników

losowych

Wracając do składnika losowego
pamiętamy o założeniu 3-5 struktury stochastycznej, można zapisać:

ponieważ

macierz diagonalna macierz jednostkowa

(na przekątnej wartości,

reszta zero)

Jeżeli składnik losowy spełnia warunek powyżej nazywamy go składnikiem sferycznym.

Składnik sferyczny jest wtedy, gdy:

1.rozkład jest normalny

2.średnia równa jest 0

3.ma stałą wariancję

4.kowariancja jest równa 0

TESTY ISTOTNOŚCI:

t=1...T

t-dowolne

1) oszacowanie modelu MNK

2)
i

3)

- składnik zakłócający (reszta)

4a)
,

4b)
dla modelu z punktu 3

4c)
~F(1, T-1)

(1, T-1) nie odrzucamy
- wariancja jest stała - homoskedastyczność

(model jest dobry)

F > F (1, T-1) odrzucamy
- wariancja zmienna - heteroskedastyczność

dla próby powyżej 25 obserwacji używa się zamiast testu Fischera test Waita

Testowanie normalności rozkładu

dokładnie symetryczny

współczynnik asymetrii

współczynnik wysmukłości

Test JB do badania rozkładu normalności

(hi - kwadrat o dwóch stopniach swobody)

nie odrzucamy

odrzucamy

Testowanie autokorelacji

stosuje się statystykę Durbina - Watsona - DW

warunek V spełniony gdy:

Problem sezonowości - zastosowanie zmiennych zerojedynkowych.

aproksymacja - dopasowanie prostej do punktów

sezonowość - miesięczna (12 zmiennych), kwartalnych (4 zmienne), półroczne (2 zmienne zerojedynkowe)

Sposoby wymodelowania sezonowości

1. zastosowanie zmiennych zerojedynkowych

2. analiza harmoniczna

3. gęstość spektralna

- zmienna objaśniająca

- uwzględnienie sezonowości

{1 dla i-tego kwartału oraz 0 dla pozostałych kwartałów

MNK - rząd x= k+1

k+1<T

dla 1 kwartału

kolejno kwartał I, II, III,IV, I, II...IV

S₁ S₂ S₃ S₄

żeby oszacować MNK trzeba usunąć przynajmniej jedną zmienną sezonową

S₁ S₂ S₃

Najczęściej wahania sezonowości niwelują się (99% przypadków)

I	1	0	0	0	1	0	0
II	0	1	0	0	0	1	0
III	0	0	1	0	0	0	1
IV	0	0	0	1	-1	-1	-1

Zad. 1

prognozy

= -28043,1 mln zł. - w pierwszych kwartałach badanego okresu PKB jest przeciętnie o 28043,1 mln zł. niższe od PKB notowanego w czwartych kwartałach

= - 21015,5 - w trzecich kwartałach badanego okresu PKB jest przeciętnie o 21015,5 mln zł. niższe od PKB notowanego w czwartych kwartałach

Efekty niwelują się do zera

= - 10680 mln zł. - w pierwszych kwartałach badanego okresu PKB jest średnio o 10680 mln zł. niższe od przeciętnego kwartalnego PKB notowanego w roku

= - 3652,3 mln zł. - w trzecich kwartałach badanego okresu PKB jest niższe przeciętnie o 3652,3 mln zł. od pierwszego kwartalnego PKB

przeciętnie w IV kwartałach badanego okresu PKB jest średnio wyższa o 17.363,2 od przeciętnego kwartału PKB

prognozy

MODELE DYNAMICZNE

Powody tworzenia modeli dynamicznych

1. tworzy się model dynamiczny, kiedy występuje autokorelacja (żeby zjawisko wyeliminować)

2. są zjawiska, które same w sobie zależą od siebie, występują zjawiska z przeszłych okresów

- model dynamiczny - autokorelacja AR

model z opóźnionymi rozłożeniami

zmienna endogeniczna,

która powoduj, że model rozłożenie dynamiczne

jest dynamiczny

okres t = 1 model przyjmuje postać:

dla t = 2

(postać statystyczna modelu)

dla t = 3

dla t = 4

część wspólna:

uogólniając:

- mnożnik opóźniony rzędu pierwszego (krótkoterminowy)

jeżeli T-2 - rzędu drugiego

Mnożnik krótkookresowy

opóźnienie	mnożnik	mnożnik skumulowany
0
1
2
3
4
…	…	…

Interpretacja dla rzędu II - mnożnik opóźniony

1/ Jeżeli 2 okresy temu wartość zmiennej x wzrosłaby o jednostkę, a następnie powróciłaby do poprzedniego poziomu, to w okresie bieżącym wartość y byłaby średnio o
jednostek wyższa c.p.

lub

2/ Jeżeli w okresie bieżącym wartość x wzrośnie o jednostkę, a następnie powróci do poziomu poprzedniego wówczas za 2 okresy wartość y wzrośnie średnio o
jednostek c.p.

Mnożniki skumulowane

mnożnik oznaczamy literką M

Interpretacja mnożnika skumulowanego rzędu II

Jeżeli w okresie bieżącym wartość x wzrośnie o jednostkę i trwale pozostanie na tym nowym, wyższym poziomie wówczas za 2 okresy wartość y będzie średnio o
jednostki wyższa c.p.

Postać długookresowa

1/ czas dąży do nieskończoności

2/ zmienne uśredniamy E

to

wiedząc, że:

ostateczny wzór przedstawia się następująco:

warunek
i musi być duża próba

- mnożnik długookresowy

Interpretacja:

Jeśli wartość x w okresie bieżącym wzrośnie o jednostkę, to przeciętna wartość y wzrośnie o
jednostki.

PRZYKŁAD:

- przeciętna, roczna stopa inflacji

- stopa wzrostu płac

policzyć mnożniki:

a/ krótkookresowe

b/ skumulowane

c/ długookresowe

opóźnienie	mnożnik krótkookresowy	mnożnik skumulowany
0	0,92	0,92
1	1,71	1,71+0,92=2,63
2	1,27	2,63+1,27=3,90
3	0,94	3,90+0,94=4,84
4	0,70	4,84+0,70=5,54

7,5 - wartość mnożnika długookresowego (wartość graniczna skumulowanego)

Interpretacje mnożnika dla rzędu III

1/ indywidualny - jeśli w okresie bieżącym stopa wzrostu płac wzrośnie o punkt procentowy, a następnie powróci do swego poprzedniego poziomu, to za 3 lata stopa inflacji wzrośnie średnio o 0,94 punktu procentowego c.p.

2/ skumulowany - jeżeli w bieżącym roku stopa wzrostu płac wzrośnie o punkt procentowy i pozostanie na tym nowym poziomie wówczas za 3 lata stopa inflacji wzrośnie średnio o 4,84 punktu procentowego c.p.

3/ długookresowy - jeżeli stopa wzrostu płac trwale zwiększy się o punkt procentowy, to w długim okresie czasu stopa inflacji wzrośnie średnio 0 7,5 punktu procentowego.

K O N I E C !!!

20

---