Przesunięcie widma sygnałów - podstawy modulacji ciągłych (analogowych).

Piotr Zaniewski

Prowadzący: dr inż. Wojciech Krzysztofik

Plan wykładu:

1.Pojęcie modulacji.

2.Tworzenie sygnału modulującego.

3. Rodzaje modulacji ciągłych (analogowych)

1. modulacja amplitudy AM (Amplitude Modulation),

2. modulacja kąta ΦM

- modulacja fazy PM (Phase Modulation),

- modulacja częstotliwości FM (Freqency Modulation),

4.Podsumowanie.

1.Pojęcie modulacji.

Przesyłanie wszelkich wiadomości (informacji) może odbywać się tylko w określonym środowisku przy wykorzystaniu różnych zjawisk fizycznych. Mogą to być np. fale akustyczne, świetlne lub przebiegi elektryczne.

Dla zwiększenia skuteczności przesyłania sygnałów (elektrycznych) stosuje się operację zwaną modulacją. Wymaga to zastosowania pomocniczego przebiegu elektrycznego, zwanego przebiegiem nośnym (falą nośną) lub w radiokomunikacji po prostu nośną.

Pojęciem modulacji określa się uzależnienie jednego lub więcej parametrów przebiegu nośnego od sygnału stanowiącego wiadomość, który nazywamy przebiegiem modulującym. Natomiast sygnał powstający w wyniku opisanej operacji nazywamy sygnałem zmodulowanym. Proces modulacyjny można przedstawić schematycznie (rys.0)

Sygnał informacyjny Sygnał modulowany

m[f(t)] s(t)

Fala nośna c(t)

Przebieg nośny może przyjmować różną postać, która stanowi jedno z kryteriów klasyfikacji modulacji. Innym kryterium są własności sygnału modulującego lub pewne parametry sygnału zmodulowanego.

Zwiększenie skuteczności przesyłania sygnałów elektrycznych uzyskiwane na skutek modulacji wynika z faktu, że widmo sygnału modulującego zostaje podczas modulacji przeniesione do innego, na ogół znacznie wyższego zakresu częstotliwości. Stwarza to możliwość wydajnego przekazywania sygnału do toru telekomunikacyjnego (inaczej drogi przesyłowej). Na przykład w przypadku sygnału radiowego jest wiadome, że wymiary anteny o dużej sprawności powinny być rzędu długości fali. Przy większych częstotliwościach wykonanie anteny o dużej sprawności jest prostsze technicznie i bardziej ekonomiczne niż np. przy częstotliwościach pasma akustycznego.

Technika telekomunikacji zajmuje się przesyłaniem sygnałów między odległymi miejscami. Spotykamy się z tym problemem w radiofonii, telewizji, telekomunikacji, w systemach zdalnego sterowania, w telemetrii itd. Rysunek 1 ilustruje fakt, że przekazywanie informacji metodami elektrycznymi wymaga zachowania kolejności następujących procesów:

1. W urządzeniu nadawczym są generowane elektryczne sygnały informacyjne lub sygnały pierwotne (np. dźwięk, obraz) są przetwarzane na sygnały elektryczne.

2. Sygnał elektryczny jest przetwarzany (modulowany) na postać odpowiednią do przesłania na wybranej częstotliwości.

3. Przetworzony sygnał (zmodulowany) przesyłany jest drogą przewodową lub radiową.

4. Po stronie odbiorczej sygnał jest powtórnie przetwarzany (demodulowany) dla odtworzenia sygnału pierwotnego.

Sygnały nadaje się z jednego miejsca do drugiego przez kanał, który może mieć postać linii transmisyjnej (jak np. kanał telefoniczny) lub też wolnej przestrzeni, do której są wypromieniowywane sygnały z pożądaną informacją (jak np. radiofonia i telewizja, telekomunikacja satelitarna itd.). Proces nadawania i odbioru sygnałów informacyjnych przedstawia rys. 2. Każdy wysyłany sygnał ma zwykle ograniczone pasmo częstotliwości, małe w stosunku do pasma samego kanału. Nieuzasadnione jest zatem przesyłanie jednego tylko sygnału w danym czasie przez ten kanał. Kanał taki jest wykorzystany znacznie poniżej swoich możliwości przenoszenia informacji. Nie możemy jednak bezpośrednio przesyłać więcej niż jeden sygnał jednocześnie, gdyż powodowałoby to interferencję między sygnałami i byłoby niemożliwe odebranie poszczególnych sygnałów w punkcie odbiorczym. Oznacza to, że w takim wypadku niemożliwa jest bezpośrednia metoda przesyłania więcej niż jednej rozmowy na linii telefonicznej lub transmisja więcej niż jednej stacji radiowej lub telewizyjnej jednocześnie. Jednak dzięki metodzie zwielokrotnienia częstotliwościowego lub zwielokrotnienia czasowego jest możliwe jednoczesne przesyłanie kilku sygnałów za pomocą jednego kanału. Możemy poprzesuwać widma częstotliwości różnych sygnałów tak, aby zajmowały one różne zakresy częstotliwości bez nakładania na siebie. Wynika stąd możliwość przesyłania dużej liczby sygnałów w tym samym czasie przez jeden kanał przy wykorzystaniu techniki modulacji.

Gdy za pomocą pewnego sygnału chcemy przesłać jakąś informację, to można na niego oddziaływać na różne sposoby. Każdy przebieg zasadniczo charakteryzuje się wartością amplitudy i czasu. Aby móc zdefiniować różne rodzaje modulacji (rys.3) trzeba rozróżniać między sygnałem ciągłym (analogowym) a dyskretnym i to zarówno w dziedzinie czasu jak i amplitudy.

2.Tworzenie sygnału modulującego

Najstarszy znany rodzaj modulacji, tzw. modulacja amplitudowa, przebiega analogowo zarówno w funkcji amplitudy jak i w funkcji czasu. Do tej samej grupy należy modulacja częstotliwościowa wykorzystywana w zakresie UKF. Pewną ich odmianę stanowi modulacja fazowa.

Tworzenie sygnałów zmodulowanych przebiega różnie w różnych rodzajach modulacji, zawsze jednak sygnał zmodulowany może być traktowany jako iloczyn dwóch funkcji czasu

s(t)=c(t)m[f(t)], (2.1)

Przy czym c(t) jest funkcją nośną a m[f(t)] jest funkcjonałem modulacji, przedstawiającym określoną operację na sygnale modulującym f(t).

Zaletą powyższego zapisu jest formalne rozdzielenie procesu tworzenia funkcji nośnej od procesu tworzenia funkcji nośnej od procesu charakteryzującego określony rodzaj modulacji. Zadaniem funkcji nośnej w tym wyrażeniu jest przesunięcie widma wiadomości z pasma naturalnego do innego zakresu częstotliwości, dogodniejszego do transmisji. Biorąc pod uwagę, że pomnożenie dwóch funkcji w dziedzinie czasu jest równoważne splotowi ich widm w dziedzinie częstotliwości możemy wyrażenie (2.1.) zapisać w postaci

s(ϖ)=
. (2.2)

Jeżeli funkcja nośna jest falą harmoniczną A₀cosϖ₀t, to wyrażenie (2.1.) przyjmuje postać :

s(ϖ)=

(2.3)

Nastąpiło więc przesuniecie widma funkcji modulującej o
₀ .

W przypadku gdy funkcja nośna nie jest przebiegiem monochromatycznym, lecz zajmuje pewien skończony przedział na osi częstotliwości, a więc stanowi sygnał wąskopasmowy o pulsacji środkowej ϖ₀ , wówczas następuje rozszerzenie szerokości pasma sygnału oraz jego przesunięcie w otoczenie pulsacji ϖ₀ .

Jeżeli funkcję nośną przedstawimy za pomocą sygnału analitycznego, którego widmo jest różne od zera tylko przy częstotliwościach dodatnich, to przesunięcie widma funkcji modulującej następuje tylko w kierunku dodatnich częstotliwości.

Spośród wszystkich możliwych funkcjonałów modulacji znaczenie praktyczne mają tylko te, które wytwarzają sygnał zmodulowany, dający się następnie skutecznie zdemodulować. Tak więc funkcjonał modulacji musi powodować pojawienie się sygnału modulującego w amplitudzie, fazie, częstotliwości bądź obwiedni sygnału zmodulowanego.

Funkcjonały liniowe odpowiadają modulacji amplitudy. Funkcjonały eksponencjalne natomiast generują nie tylko sygnały zmodulowane kątowo, ale także sygnały o jednakowej modulacji amplitudy i kata, które są nazwane sygnałami o modulacji obwiedni.

3. Rodzaje modulacji ciągłych (analogowych)

1. modulacja amplitudy AM (ang. Amplitude Modulation)

Najstarszym rodzajem modulacji stosowanym w telekomunikacji jest modulacja dwuwstęgowa z dużym poziomem fali nośnej. Funkcja nośna ma postać fali harmonicznej A₀cosϖ₀t natomiast liniowy funkcjonał modulacji wyraża się następująco:

m(t)=1+kf(t) (3.1)

przy czym k- stała

Wyrażenie sygnału zmodulowanego przyjmuje postać:

s(t)=A₀[1+kf(t)]cosϖ₀t=A₀cosϖ₀t+kA₀f(t)cosϖ₀t (3.2)

Jeżeli jest spełniony warunek

kf(t)
-1 (3.3)

to mamy do czynienia z liniową modulacją amplitudy. Bezwzględna wartość
określa jednocześnie ważny parametr omawianego sposobu modulacji

-głębokość modulacji.

Biorąc pod uwagę, że

M(ϖ)=kF(ϖ)+2πδ(ϖ), (3.4)

Przy czym δ(ϖ)- dystrybucja delta Diraca możemy znaleźć widmo sygnału zmodulowanego

S(ϖ)=
(3.5)

Jak widać, w wyniku modulacji widmo sygnału modulującego zostaje przesunięte o
wzdłuż osi częstotliwości; kształt widma nie ulega przy tym zmianie. W widmie sygnału zmodulowanego znajdują się dwa impulsy jednakowo świadczące o obecności fali nośnej w tym sygnale.

Na rys. 4 przedstawione zostały widma dwustronne: funkcji modulującej (a), fali nośnej (b) oraz sygnału zmodulowanego (c),dla uproszczenia w formie prostokątów. Jak widać z rysunku, widmo sygnału zmodulowanego skupia się wokół widma nośnej, lecz nie stanowi wiernego powtórzenia widma sygnału modulującego. Część widma sygnału zmodulowanego ześrodkowana w otoczeniu ϖ₀ , składa się z dwóch części symetrycznych względem ϖ₀ . Fragment położony powyżej ϖ₀ stanowi (wspólnie ze swym „zwierciadlanym odbiciem” w dziedzinie ujemnych częstotliwości) górną wstęgę boczną, fragment zaś położony poniżej ϖ₀ - dolną wstęgę boczną. Widma górnej i dolnej wstęgi bocznej są identyczne (rys.5,6). Każda ze wstęg bocznych niesie pełną informację zawartą w sygnale modulującym. Moc użytecznych prążków bocznych stanowi 50% mocy fali nośnej. Biorąc pod uwagę, że średnia głębokość modulacji przeciętnej audycji radiowej wynosi około 30%, otrzymuje się średnią moc prążków bocznych będącą jedynie 4,5% mocy fali nośnej. Wynika z tego, że modulacja amplitudy jest nieekonomiczna pod względem energetycznym: przy danej mocy sygnału moc prążków niosących informację użyteczną jest niewielka.

Z przeprowadzonych rozważań energetycznych wynika, że efektywność modulacji amplitudy mogłaby być znacznie lepsza, gdyby z przebiegu zmodulowanego usunąć falę nośną, pozostawiając tylko wstęgi boczne, zawierające użyteczną informację. Przypadek taki jest nazywany modulacją amplitudy bez fali nośnej. Jest oczywiste, że wtedy obwiednia przebiegu zmodulowanego nie ma kształtu sygnału modulującego, co komplikuje czynność demodulacji. Przebieg bez fali nośnej przedstawia rys. 11. W praktyce w sygnale zmodulowanym przesyłany jest prążek fali nośnej o niewielkiej amplitudzie, potrzebny do demodulacji. Mówi się wtedy o modulacji amplitudy z przytłumioną falą nośną (suppressed carier AM).

Przebieg AM bez fali nośnej można jeszcze bardziej uprościć opierając się na spostrzeżeniu, że obie wstęgi boczne niosą identyczną informację. Można więc przesłać tylko jedną wstęgę boczną Przypadek taki jest nazywany jednowstęgową modulacją amplitudy (SSB - single side band). Sygnał SSB zajmuje dwukrotnie węższe pasmo niż sygnał AM, można więc w danym przedziale częstotliwości przesłać dwukrotnie więcej informacji. Ma on kształt przebiegu sinusoidalnego o amplitudzie proporcjonalnej do amplitudy sygnału modulującego i o częstotliwości przesuniętej względem stłumionej fali nośnej o częstotliwość sygnału modulującego.

2. modulacja kąta ΦM

Na rys. 7 przedstawione są schematy blokowe poszczególnych modulackji.

Sygnał modulujący może oddziaływać na kąt fazowy fali nośnej. Mówimy wówczas o modulacji kąta. Funkcjonał modulacji m(t) jest funkcją zespoloną daną zależnością:

m(t)=
, (3.6)

Faza funkcji modulującej jest uzależniona od sygnału modulującego ϕ(t)=ϕ[f(t)].

Przyjmując harmoniczną falę nośną
zapiszemy równanie zespolonego sygnału zmodulowanego w postaci

s(t)=
. (3.7)

Jako reprezentację sygnału fizycznego przyjmujemy część rzeczywistą powyższego wyrażenia

s(t)=Re{
}=A₀cos[ϖ₀t+ϕ(t)]=A₀cosφ(t), (3.8)

przy czym

φ(t)= ϖ₀t+ϕ(t). (3.9)

Z zależności (3.8) wynika, że w procesie modulacji następuje uzależnienie fazy chwilowej φ(t) sinusoidalnej fali nośnej od sygnału modulującego. Amplituda sygnału zmodulowanego pozostaje natomiast stała.

Ze względu na związek między chwilową fazą i chwilową pulsacją sygnału

ϖ(t)=
(3.10)

przy modulacji kąta następuje zawsze uzależnienie chwilowej częstotliwości sygnału zmodulowanego od sygnału modulującego. Możliwe jest dwojakie uzależnienie fazy funkcjonału modulacji od sygnału modulującego:

- modulacja fazy PM (Phase Modulation),

ϕ[f(t)]=kf(t). (3.11)

W tym przypadku chwilowa faza sygnału zmodulowanego zmienia się proporcjonalnie do chwilowej wartości sygnału modulującego, stąd nazwa omawianego rodzaju modulacji (rys.8). Częstotliwość chwilowa sygnału zmodulowanego przy modulacji fazy (PM) zmienia się proporcjonalnie do pochodnej sygnału modulującego:

}

Niech sygnał modulujący ma postać

f(t)=Asinϖt. (3.13)

Chwilową fazę i częstotliwość sygnału PM otrzymujemy podstawiając wyrażenie

(3.13) do wzorów (3.12)

}

przy czym Δφ=kA- dewiacja fazy;

Δf=
Δϖ=
ϖ Δφ - dewiacja częstotliwości.

Dewiacja fazy i dewiacja częstotliwości mają sens maksymalnych odchyłek tych wielkości - wywołanych sygnałem modulującym - od fazy i częstotliwości niemodulowanej fali nośnej.

Sygnał zmodulowany w rozpatrywanym przypadku wyraża się wzorem:

s_PM(t)=A₀ cosφ_PM(t)=A₀ cos(ϖ₀t+Δφ sinϖt). (3.15)

- modulacja częstotliwości FM (Freqency Modulation),

ϕ[f(t)]=k
.

W tym przypadku chwilowa faza sygnału zmodulowanego zmienia się proporcjonalnie do całki z sygnału modulującego, chwilowa częstotliwość natomiast - proporcjonalnie do sygnału modulującego, stąd nazwa rodzaju modulacji (rys. 9,10)

ϕ_FM(t)=ϖ₀t+k

ϖ_FM(t)=ϖ₀+kf(t).

Modulację częstotliwościową wykorzystuje się w nadajnikach UKF. W tym rodzaju modulacji amplituda nadawanego sygnału pozostaje stała, natomiast pod wpływem częstotliwości akustycznej zmienia się jego częstotliwość wokół pewnej wartości średniej. Częstotliwość sygnału modulującego jest reprezentowana przez szybkość zmiany częstotliwości przebiegu zmodulowanego. W modulacji częstotliwościowej obowiązują więc następujące zależności:

1. Im większa głośność tonu akustycznego, tzn. jego dynamika, tym większa zmiana częstotliwości, czyli dewiacja.

2. Częstotliwość sygnału modulującego jest reprezentowana przez szybkość zmian częstotliwości. Przy częstotliwościach tonu 800Hz częstotliwość drgań w.cz. zmienia się 800 razy na sekundę.

3. Amplituda przebiegu emitowanego przez nadajnik pozostaje stała.

4. Podsumowanie

Wobec częstotliwości nośnej F₀ , sygnały FM stosuje się wyłącznie w zakresie częstotliwości UHF i VHF, przekraczających 68MHz.

Spośród dwóch rodzajów modulacji kątowej w praktyce jest używana wyłącznie modulacja częstotliwości (FM). Zapewnia ona dewiację ΔF niezależną od f, a więc również pasmo mało zależy od f. Minimalny współczynnik dewiacji, występuje dla maksymalnej częstotliwości modulującej i zgodnie z podanymi wartościami, przy maksymalnym sygnale. Dla małych częstotliwości modulujących wskaźnik dewiacji jest większy i wynosi np. dla 50Hz 1500.Biorąc pod uwagę, że wskaźnik dewiacji jest odpowiednikiem współczynnika modulacji w modulacji amplitudy o wartości ograniczonej do jedności, otrzymuje się możliwość przekazania za pośrednictwem FM znacznie większej dynamiki sygnału modulującego. Modulacja częstotliwości jest również odporniejsza na zakłócenia.

Podsumowując, modulacja częstotliwości w porównaniu z modulacją amplitudy zapewnia przeniesienie szerszego pasma sygnału, większą dynamikę i mniejsze zakłócenia. Używana jest więc dla fonicznych przekazów o wysokiej jakości.

Literatura:

Bem D.J. „Systemy telekomunikacyjne” część I.

Knoch L. Ekiert T. „Modulacja i detekcja”

Lathi B.P. „Systemy telekomunikacyjne”

Gregg W.D. „Podstawy telekomunikacji analogowej i cyfrowej”

Limann O. Pelka H. „Radiotechnika - poradnik”

Modulator

(3.14)

φ_PM(t)=ϖ₀t+kf(t)

ϖ_PM(t)=ϖ₀+k

φ_PM(t)=ϖ₀t+Δφ sinϖt

ϖ_PM(t)=ϖ₀+Δϖ cosϖt

(3.12)

---