STATYSTYKA Z ELEMENTAMI DEMOGRAFII

KLASYFIKACJA I GRUPOWANIE DANYCH

1. SPORZĄDZENIE LISTY PIERWOTNEJ DANYCH

Przenosimy dane na tabelę z formularza, bez porządkowania. Przyjęło się że tabela ma 5 wierszy.

39	25	43	46	59	45	61	53	13	57
53	34	50	44	33	48	49	47	31	65
46	14	28	55	26	66	52	46	58	35
79	31	38	64	19	54	40	36	37	39
62	46	42	31	46	53	55	41	24	42

2. SPORZĄDZANIE TABELI PIERWOTNEJ DANYCH

Zachowując kształt tabeli porządkujemy dane

13	26	34	39	42	46	48	53	57	64
14	28	35	39	43	46	49	53	58	65
19	31	36	40	44	46	50	54	59	66
24	31	37	41	45	46	52	55	61	71
25	33	38	42	46	47	53	55	62	79

3. KONSTRUOWANIE TABELI STATYSTYCZNEJ

Na tym etapie, wprowadzamy podział na klasy(od... do...), o tej samej długości.

i - długość przedziału (co jaką wartość będzie się zmieniał podział) Ik - ilość przedziałów klasowych (ile będzie wierszy w tabeli), R - rozpiętość(czynników), Xmax - najwyższa wartość w tabeli, Xmin - najniższa wartość w tabeli, Xi - środek podziału klasowego, średnia arytmetyczna jego granic(zmiania się co „i”) f - liczebność przedziału klasowego, wszystkie czynniki mieszczące się w jego granicach, Ik = R/i R = Xmax - Xmin + 1 (i = 1,2, 3, 5, 10) ^ (10 ≤ Ik ≤ 20) i = 1,2, 3, 5, 10 - liczby chyba można wybrać dowolne, w zależności od tego jakie podziały chcemy tworzyć; przykładowe liczby są wygodne do tworzenia podziałów,

W przykładzie:

R = 67 bo 79 - 13 + 1 = 69

i = 5 bo 69/3 = 23 (23>20), 69/10 = 6,9 (6,9<10)

Ik = 67/5 = 13,4 ≈ 14 (14 mieści się w przedziale od 10 do 20, zaokrąglamy w górę)

granica wynikowa - granice wyznaczane przez „i”,

granica rzeczywista - granice nadające podziałowi ciągłość,

Granica wynikowa	Granica rzeczywista	Xi	f
75 - 79	74,5 - 79,5	77	1
70 - 74	69,5 - 74,5	72	1
65 - 69	64,5 - 69,5	67	2
60 - 64	59,5 - 64,5	62	3
55 - 59	54,5 - 59,4	57	5
50 - 54	49,5 - 54,5	52	6
45 - 49	44,5 - 49,5	47	9
40 - 44	39,5 - 44,5	42	6
35 - 39	34,5 - 39,5	37	6
30 - 34	29,5 - 34,5	32	4
25 - 29	24,5 - 29,5	27	3
20 - 24	19,5 - 24,5	22	1
15 - 19	14,5 - 19,5	17	1
10 - 14	9,5 - 14,5	12	2

Nie ma przedziału 1 - 10 ponieważ jest niepotrzebny, nie ma żadnego czynnika mieszczącego się w tym przedziale. Granice wynikowe tworzy się tak by się na siebie nie zachodziły.

4. GRAFICZNE PRZEDSTAWIANIE ROZDZIAŁU CZYNNIKÓW - WIELOBOK LICZEBNOŚCI

W ramach przykłady wielobok uzyskuje taki kształt:

Przy czym punkty powinny znajdować się na środku przedziałów, nie na ich granicach (tzn. Pierwszy punkt powinien znajdować się nie w punkcie „14,5” ale „12”) .

Nie trzeba zaczynać wykresu od najmniejszej z granic, tylko od „środka” pierwszego przedziału.

PIERWSZE ZADANIE POLEGAŁO NA WYKONANIU POWYŻSZYCH CZYNNOŚCI NA WŁASNYCH LICZBACH.

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA

Σ - suma, duża sigma - symbol średniej arytmetycznej, x¯ N - liczba czynników, f - liczebność w przedziale, Xi - środek przedziału = Σx/N - średnia arytmetyczna = Σfxi /N - obliczanie z tabeli statystycznej

na przykładzie:

Granica wynikowa	Granica rzeczywista	Xi	f	fxi
75 - 79	74,5 - 79,5	77	1	77
70 - 74	69,5 - 74,5	72	1	72
65 - 69	64,5 - 69,5	67	2	134
60 - 64	59,5 - 64,5	62	3	186
55 - 59	54,5 - 59,4	57	5	285
50 - 54	49,5 - 54,5	52	6	312
45 - 49	44,5 - 49,5	47	9	423
40 - 44	39,5 - 44,5	42	6	252
35 - 39	34,5 - 39,5	37	6	222
30 - 34	29,5 - 34,5	32	4	128
25 - 29	24,5 - 29,5	27	3	81
20 - 24	19,5 - 24,5	22	1	22
15 - 19	14,5 - 19,5	17	1	17
10 - 14	9,5 - 14,5	12	2	24

2235 - suma wszystkich fx_i

= 2235/50 = 44,7

50 - tyle jest wyników,

2235 - jest to suma wyników,

MEDIANA

jest to punkt na skali wyników, powyżej i poniżej którego leży dokładnie po 50% wyników

Interpolacja mediany

Wyznaczanie

Q2 - międzynarodowy znak mediany, l - wartość dolnej granicy rzeczywistej przedziału zawierającego medianę, u - wartość górnej granicy rzeczywistej przedziału zawierającego medianę. fQ2 - liczebność przedziału zawierającego medianę, Fa - liczebność wszystkich przedziałów powyżej przedziału zawierającego medianę, Fb - liczebność wszystkich przedziałów poniżej przedziału zawierającego medianę, A) Q2 = l + [(N/2 - Fb )/fQ2 ]i B)Q2 = l + [(N/2 - Fa )/fQ2 ]i

ALGORYTM
1. Znaleźć N/2 wyników 2. Ustalić przedział zawierający medianę 3. Ustalić liczebność przedziału zawierającego medianę
A. INTERPOLACJA MEDIANY OD DOŁU	B. INTERPOLACJA MEDIANY OD GÓRY
4. Od N/2 odjąć liczebność wszystkich przedziałów poniżej przedziału zawierającego medianę 5. Uzyskany wynik podzielić przez liczebność przedziału klasowego zawierającego Q2 i pomnożyć przez długość przedziału klasowego 6.Uzyskany wynik dodać do wartości dolnej granicy rzeczywistej przedziału zawierającego medianę	4. Od N/2 odjąć liczebność wszystkich przedziałów powyżej przedziału zawierającego medianę 5. Uzyskany wynik podzielić przez liczebność przedziału klasowego zawierającego Q2 i pomnożyć przez długość przedziału klasowego 6.Uzyskany wynik odjąć do wartości górnej granicy rzeczywistej przedziału zawierającego medianę

Na przykładzie:

N/2 = 25

l = 44,5

u = 49,5

f_Q2 = 9

F_a = 18

F_b = 23

Q₂ = 44,5 + (25 - 23)/9 · 5 = 44,5 + 2/9 · 5 = 44,5 + 10/9 = 44 9/18 + 20/18 = 45 11/18 = 45,61

A. Mediana danych niepogrupowanych

• wartość która się najczęściej powtarza = 46

B. Mediana danych pogrupowanych

• środek przedziału o największej liczebności = 47 (środek przedziału 44,5 - 49,5; 9 czynników)

wartości mogą być wielomodalne

DRUGIE ZADANIE - UZUPEŁNIĆ DO TEGO MOMENTU

MIARY DYSPENSJI

1. ROZSTĘP

R = X_max - X_min + 1 - to już wcześniej robiliśmy, nie trzeba dopisywać w zadaniu,

2. ODCHYLENIE PRZECIĘTNE

Odchylenie przeciętna jest to średnia arytmetyczna odchyleń wyników od jej średniej arytmetycznej

δ - mała delta

δ = Σ|x|/N

x - odchylenie,

x = X -

dla przykładu:

X	x	Liczymy średnią arytmetyczną = (1+2+3+8+11)/5 = 20/5 = 5 po kolei liczymy odchylenie x = X - : 1 - 5 = - 4; 2 - 5 = - 3; 3 - 5 = - 2; 8 - 5 = 3; 11 - 5 = 6 i odchylenie przeciętne δ = Σ|x|/N: δ = (| - 4| + | - 3| + | - 2| + 3 + 6)/5 = (4 + 3+ 2+ 3 + 6)/5 = 18/5 = 3,6 δ = 3,6
1	-4
2	-3
3	-2
8	3
11	6

Dla tego przykładu rozkład czynników odchyla się średnio od całego układu o 3,6

Obliczanie x z tabeli statystycznej:

δ = Σ|fx|/N

x = X_i -

na przykładzie z ćwiczeń:

fx nie mylić z fx_i

Granica wynikowa	Granica rzeczywista	Xi	f	fxi	x	fx
75 - 79	74,5 - 79,5	77	1	77	32,3	32,3
70 - 74	69,5 - 74,5	72	1	72	27,3	27,3
65 - 69	64,5 - 69,5	67	2	134	22,3	44,6
60 - 64	59,5 - 64,5	62	3	186	17,3	51,9
55 - 59	54,5 - 59,4	57	5	285	12,3	61,5
50 - 54	49,5 - 54,5	52	6	312	7,3	43,8
45 - 49	44,5 - 49,5	47	9	423	2,3	20,7
40 - 44	39,5 - 44,5	42	6	252	- 2,7	- 16,2
35 - 39	34,5 - 39,5	37	6	222	- 7,7	- 46,2
30 - 34	29,5 - 34,5	32	4	128	- 12,7	- 50,8
25 - 29	24,5 - 29,5	27	3	81	- 17,7	- 53,1
20 - 24	19,5 - 24,5	22	1	22	- 22,7	- 22,7
15 - 19	14,5 - 19,5	17	1	17	- 27,7	- 27,7
10 - 14	9,5 - 14,5	12	2	24	- 32,7	- 65,4

Σ|fx| = 564,2

δ = 564,2/50 = 11,284

3. ODCHYLENIE STANDARDOWE

• σ - symbol odchylenia standardowego, mała sigma

• σ = √Σx²/N

Jest to pierwiastek kwadratowy ze sredniej arytmetycznej kwadratów odchyleń wyników od ich średniej arytmetycznej

na przykładzie:

X	x	x^2	Liczymy x^2 Liczymy sumę x^2 Σx^2= 74 Σx^2/N = 74/5 =14,8 σ = √Σx^2/N = √14,8 = 3,85
1	-4	16
2	-3	9
3	-2	4
8	3	9
11	6	36

Obliczanie z tabeli statystycznej:

• σ = √Σ|fx²| /N

Na przykładzie z ćwiczeń:

Granica wynikowa	Granica rzeczywista	Xi	f	fxi	x	fx	fx^2
75 - 79	74,5 - 79,5	77	1	77	32,3	32,3	1043,29
70 - 74	69,5 - 74,5	72	1	72	27,3	27,3	745,29
65 - 69	64,5 - 69,5	67	2	134	22,3	44,6	994,58
60 - 64	59,5 - 64,5	62	3	186	17,3	51,9	897,87
55 - 59	54,5 - 59,4	57	5	285	12,3	61,5	756,45
50 - 54	49,5 - 54,5	52	6	312	7,3	43,8	319,74
45 - 49	44,5 - 49,5	47	9	423	2,3	20,7	47,61
40 - 44	39,5 - 44,5	42	6	252	- 2,7	- 16,2	43,74
35 - 39	34,5 - 39,5	37	6	222	- 7,7	- 46,2	355,74
30 - 34	29,5 - 34,5	32	4	128	- 12,7	- 50,8	645,16
25 - 29	24,5 - 29,5	27	3	81	- 17,7	- 53,1	939,87
20 - 24	19,5 - 24,5	22	1	22	- 22,7	- 22,7	515,29
15 - 19	14,5 - 19,5	17	1	17	- 27,7	- 27,7	767,29
10 - 14	9,5 - 14,5	12	2	24	- 32,7	- 65,4	2138,58

Od razu liczymy fx² a nie x², ponieważ znamy fx i x

• Σfx² = 10210,5

• σ = √Σ|fx²| /N = √10210,5/50 = √204,21 = 14,29

TRZECIE ZADANIE - UZUPEŁNIĆ DO TEGO MOMENTU

ODCHYLENIE PRZECIĘTNE I STANDARDOWE

WSPÓŁCZYNNIKI KORELACJI

Przybiera wartości od -1 do +1, gdzie -1 i +1 oznaczają bezdyskusyjną zależność

Zależności mogą mieć charakter zarówno jakościowy jak i ilościowy.

Przykłady:

Uczniowie uzyskali następujące wyniki z dwóch testów(X i Y):

I.

X: 1, 2, 3, 6, 9

Y: 2, 3, 4, 7, 10

Zależność jest widoczna: Y = X + 1

II.

X: 1, 2, 3, 6, 9

Y: 2, 4, 6, 12, 18

Zależność: Y = 2X

III.

X: 1, 2, 3, 6, 9

Y: 2, 6, 8, 13, 26

Tu także występuje zależność: Y>X

IV.

X: 1, 2, 3, 6, 9

Y: 2, 3, 2, 17, 29

Tu także występuje korelacja, ale ma inny charakter

Przykłady I, II, i III są zależnościami funkcyjnymi, przykład IV jest zależnością korelacyjną.

W naukach społecznych posługujemy się trzema podstawowymi skalami: nominalną, rangową i przedziałową. Każdej z nich odpowiada pewien rodzaj korelacji które poznamy.

Pierwszy odpowiada skali przedziałowej.

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI PEARSONA

r = Σxy/Nσ _xσ _y

r jest wynikiem dzielenia(ilorazem) sumy wartości xy i iloczynu(wyniku mnożenia): N(liczby czynników), σ _x(odchylenia standardowego dla x), σ _y(odchylenia standardowego dla y).

x = X - x¯, y = Y - y¯

• σ _x = √Σx²/N, σ _y = √Σy²/N

X¯, y¯ - średnie arytmetyczne - brakuje mi symbolu

Interpretacja wyników:

0 - 0,2 - korelacja mała, zależność nieistotna,

0,21 - 0,4 - korelacja niska, zależność niewielka,

0,41 - 0,6 - korelacja umiarkowana, zależność wyraźna,

0,61 - 0,8 - korelacja duża, zależność istotna,

0,81 - 0,9 - korelacja wysoka, zależność bardzo istotna,

0,91 - 1,0 - korelacja pewna, zależność pewna

wynik (-) - X>Y, wynik (+) X<Y

Na przykładzie z zajęć:

X	Y	x	x^2	y	y^2	xy
13	19	- 11,23*	126,11**	- 8,3***	68,89****	93,21*****
24	23	- 0,23	0,05	- 4,3	18,49	0,99
28	36	3,77	14,21	8,7	75,69	32,79
25	25	0,77	0,59	- 2,3	5,29	1,77
24	25	- 0,23	0,05	- 2,3	5,29	0,53
22	30	- 2,23	4,97	2,7	7,29	6,02
16	20	- 8,23	67,63	- 7,3	53,29	60,08
20	19	- 4,23	17,89	- 8,3	68,89	35,11
21	28	- 3,23	10, 43	0,7	0,49	2,26
31	33	6,77	45,83	5,7	32,49	38,59
29	34	4,77	22,75	6,7	44,89	31,96
35	36	10,77	115,99	8,7	75,69	93,7
27	27	2,77	7,67	- 0,3	0,09	0,83

x¯ = 24,23 σ x = 5,78 Σx^2= 434,27	y¯ = 27,3 σ y = 5,9 Σy^2= 456,77
Σxy = 397,85
r = Σxy/Nσ xσ y = 397,85/444,33 = 0,9
Korelacja wysoka, zależność bardzo istotna,

*

13 - 24,23 = - 11,23

**

(- 11,23)² = 126,11

***

19 - 27,3 = - 8,3

****

(- 8,3)² = 68,89

*****

(- 11,23)(- 8,3) = 93,21

ZADANIE - OBLICZYĆ KORELACJĘ NA WŁASNYCH 15(w przykładzie jest 13!!) LICZBACH

WSPÓŁCZYNNIK KORALCJI SPEARMANA

jest to korelacja rang, przeznaczona dla skal porządkowych

ρ - rho, symbol współczynnika korelacji Spearmana,

ρ = 1 - [6ΣD² / N(N^{2 -} 1)]

D = K_x - K_y

K - jest to miejsce danego czynnika w uporządkowanym ciągu czynników; pierwsze trzeba ustalić kryteria kolejności

Na przykładzie z zajęć - od najwyższej do najniższej wartości

Porządkujemy dane - dla wygody i ułatwienia w liczeniu:

X*	Y*	X** uporządkowane	Kx	Y** uporządkowane	Ky
13	19	35	1	36	1,5***
24	23	31	2	36	1,5***
28	36	29	3	34	3
25	25	28	4	33	4
24	25	27	5	30	5
22	30	25	6	28	6
16	20	24	7,5***	27	7
20	19	24	7,5***	25	8,5***
21	28	22	9	25	8,5***
31	33	21	10	23	10
29	34	20	11	20	11
35	36	16	12	19	12,5***
27	27	13	13	19	12,5***

* są to tabele z podanymi czynnikami,

** są to tabele z uporządkowanymi danymi, od najwyższej do najniższej - robimy to żeby nam łatwiej było przyporządkować miejsca w ciągu,

*** tam gdzie przy ustalaniu kolejności liczby się powtarzają, ustalamy średnia dwóch miejsc w kolejności którym odpowiada powtarzająca się liczba; np.

• w X powtarza się „24”; powinny one zająć miejsca „7” i „8”,

• dodajemy miejsca w kolejności: 8 + 7 = 15;

• dzielimy przez ilość, jaką się dana liczba powtarza; 15/2 = 7,5

• następnej liczbie w kolejności nie przyporządkowujemy żadnej z dodawanych pozycji; w X „22” będzie na „9”, a nie „8” pozycji;

Przepisujemy uzyskane NIEUPORZĄDKOWANE dane do nowej (właściwej)tabeli - zwrócić uwagę, by nie pogubić par czynników!!

X	Y	Kx	Ky	D	D^2
13	19	13	12,5	0,5	0,25
24	23	7,5	10	- 2,5	6,25
28	36	4	1,5	2,5	6,25
25	25	6	8,5	- 2,5	6,25
24	25	7,5	8,5	-1	1
22	30	9	5	4	16
16	20	12	11	1	1
20	19	11	12,5	-1,5	2,25
21	28	10	6	4	16
31	33	2	4	-2	4
29	34	3	3	0	0
35	36	1	1,5	- 0,5	0,25
27	27	5	7	-2	4

ρ = 1 - [6ΣD² / N(N^{2 -} 1)]

ΣD² = 63,5

N(N^{2 -} 1) = 13(13² - 1) = 13 x 168 = 2184

6ΣD² = 381

ρ = 1 - 381/2184 = 1 - 0,17 = 0,83

Jest to mniej dokładna korelacja niż Pearsona.

ZADANIE - OBLICZYĆ KORELACJĘ NA WŁASNYCH 15(w przykładzie jest 13!!) LICZBACH I PRZYNIEŚC WSZYSTKIE ZADANIA ROBIONE DO TEJ PORY

---