Tytus Sosnowski

Kurs 004 (2008 / 2009)

METODOLOGIA BADAŃ PSYCHOLOGICZNYCH

Wykład obligatoryjny dla I roku studiów wieczorowych

Wydziału Psychologii UW

Część 4: POMIAR

ELEMENTY TEORII RELACJI

Uwaga: o elementach teorii relacji nie będzie mówił na wykładzie, bo jest ona przedmiotem wykładu z logiki i nie będzie ona przedmiotem egzaminu. Wykład właściwy zaczyna się od izomorfizmu relacji

x pozostaje w relacji (stosunku) R do y

co zapisujemy: x R y lub R(x,y),

Relacja zachodzi zawsze w jakimś zbiorze, co zaznaczamy zapisem:

∧ _{x, y ∈A} (x R y)

Dwa sposoby określania relacji (na przykładach):

- relacja „większości” w zbiorze licz naturalnych;

- relacja "jest większy od" w zbiorze liczb naturalnych.

Elementy między którymi zachodzi relacja nazywają się ARGUMENTAMI relacji. Ze względu na liczbę argumentów możemy podzielić relacje na dwu-, trój- i więcej argumentowe*.

Przykłady

Relacje dwuargumentowa:

"x jest większy od y",

"Jan kocha Marię".

Relacje trójargumentowa:

"x leży pomiędzy y i z".

* Wszystkie relacje omawiane w dalszej części rozdziału są
relacjami dwuargumentowymi.

Element x, pozostający w relacji R do y, nazywa się POPRZEDNIKIEM relacji, a zbiór wszystkich poprzedników relacji -- DZIEDZINĄ relacji.

Element y nazywa się NASTĘPNIKIEM relacji, a zbiór wszystkich następników -- PRZECIWDZIEDZINĄ relacji.

Zbiór wszystkich poprzedników i następników relacji to
POLE relacji.

WYBRANE CECHY RELACJI DWUARGUMENTOWYCH

Relację zachodzącą w danym zbiorze można scharakteryzować za pomocą różnych cech (można badać czy konkretna relacja posiada określone cechy).

ZWROTNOŚĆ

Relacja R zachodząca w zbiorze A jest ZWROTNA jeśli zachodzi między dowolnym elementem tego zbioru a nim samym.

∧ _{x ∈A} (x R x)

Przykład: relacja równości w zbiorze liczb naturalnych (każda liczba naturalna jest równa sobie samej).

Jeśli relacja nigdy nie zachodzi miedzy danym elementem a nim samym mówimy że jest ona PRZECIWZWROTNA.

∧ _{x ∈A} ~(x R x)

Przykład: relacja większości w zbiorze licz naturalnych (żadna liczba nie jest większa od niej samej).

SYMETRYCZNOŚĆ

Relacja jest SYMETRYCZNA wtedy gdy, jeśli zachodzi między dwoma dowolnymi elementami zbioru w jedną stronę to zachodzi też zawsze w drugą stronę (np. relacja „x jest krewnym y”).

∧ _{x,y ∈A} ((x R y) ⊃ (y R x))

Relacja jest NIESYMETRYCZNA (ASYMETRYCZNA) gdy zachodząc w jedną stronę nie zawsze zachodzi w drugą stronę (np. „x kocha y”)

∨ _{x,y ∈A} ~((xRy) ⊃ (yRx))

∨ _{x,y ∈A} ((xRy) ∧ ~ (yRx))

Relacja jest PRZECIWSYMETRYCZNA (ANTYSYMETRYCZNA) gdy zachodząc w jedną stronę nigdy nie zachodzi w drugą stronę (np. „x jest ojcem y”):

∧ _{x,y ∈A} ((xRy) ⊃ ~(yRx))

PRZECHODNIOŚĆ

∧ _{x,y,z ∈A} ((x R y) ∧ (y R z)) ⊃ (x R z)

Przykład: „jest większy” w zbiorze liczb.

SPÓJNOŚĆ

Relacja R jest spójna w zbiorze Z jeśli zachodzi w jedną lub drugą stronę między dwoma dowolnymi elementami tego zbioru:

∧ _{x,y ∈A} ((xRy) ∨ (yRx))

Relacje zwrotne, symetryczne i przechodnie nazywamy relacjami RÓWNOŚCIOWYMI.

Relacje antysymetryczne, przechodnie i spójne SILNIE PORZĄDKUJĄ zbiór.

Relacja która jest antysymetryczna i przechodnia ale nie jest spójna, natomiast spójna jest jej alternatywa z relacją równościową, CZĘŚCIOWO PORZĄDKUJE zbiór (porządkuje wszystkie elementy z wyjątkiem równych).

RELACJA JEDNOZNACZNA
(WIELO-JEDNOZNACZNA)

Dla każdego x istnieje tylko jeden y

∧ _{x,y,z ∈A} ((xRy ∧ xRz) ⊃ (y=z))

Przykład: funkcje (np. y =
)

RELACJA ODWROTNIE JEDNOZNACZNA
(JEDNO-WIELOZNACZNA)

Dla każdego y istnieje tylko jeden x

∧ _{x,y,z ∈A} ((xRy ∧ zRy) ⊃ (x=z))

Przykład: „X jest matką Y”

RELACJA WZAJEMNIE JEDNOZNACZNA
(JEDNO-JEDNOZNACZNA)

Dla każdego x istnieje tylko jeden y i dla każdego y istnieje tylko jeden x (relacja która jest zarazem jednoznaczna
i odwrotnie jednoznaczna).

Przykład: „X pozostaje w związku małżeńskim z Y” w zbiorze małżeństw monogamicznych.

IZOMORFIZM I HOMOMORFIZM RELACJI

Niech będą dane dwa zbiory: zbiór A złożony z elementów
a₁, a₂, ..., a_n, między którymi zachodzi relacja R i zbiór B złożony z elementów b₁, b₂, ..., b_n między którymi zachodzi relacja S. Niech będzie dana relacja T taka, że jej dziedziną są elementy zbioru A a przeciwdziedziną elementy zbioru B.

T R, A S, B

a1 b1 a2 b2 a3 b3 ... .... a3 bn

Relacja T odwzorowuje IZOMORFICZNIE relację R na relację S (R jest izomorficzna z S) zawsze wtedy i tylko wtedy gdy T jest relacją wzajemnie jednoznaczną, której dziedziną jest pole relacji R a przeciwdziedziną pole relacji S, przy czym jeśli relacja T przyporządkowuje elementowi
element

a elementowi
element
, to relacja R zachodzi między

i
zawsze wtedy i tylko wtedy, gdy relacja S zachodzi między
i
.

Gdy przyporządkowanie elementów obu zbiorów jest jednoznaczne (wielo-jednoznaczne) mówimy o odwzorowaniu HOMOMORFICZNYM.

Przykład odwzorowania izomorficznego

Mamy zbiór numerków do szatni (n₁, n₂, ... n_n)
i zachodzącą między nimi relacje "jest mniejszy od".

Mamy zbiór okryć oddawanych do szatni (o₁, o₂, .. o_n)
i zachodzącą między nimi relację "zostało oddane do szatni wcześniej niż".

Jeśli szatniarka przydziela numerki okryciom według kolejności oddawania ich do szatni to:

• każdy numerek jest przydzielony do jednego okrycia i każde okrycie ma przydzielony jeden numerek;

• jeśli numerek
  jest mniejszy od numerka
  to okrycie
  , któremu przydzielono numerek
  , zostało oddane do szatni wcześniej niż okrycie
  któremu przydzielono numerek
  .

Jeśli jednak szatniarka będzie wieszała kilka okryć razem (dając im ten sam numerek) to odwzorowanie relacji między numerkami na relację między okryciami będzie homomorficzne.

POMIAR

Pomiar jest to obserwacja ilościowa

Narzędziem pomiaru jest skala pomiarowa

SKALA POMIAROWA jest to system relacyjny, złożony z systemu matematycznego i systemu empirycznego, zbudowany w taki sposób, że określone relacje między liczbami odwzorowane są izomorficznie na określone relacje między cechami przedmiotów.

Funkcja przyporządkowująca liczby cechom nazywa się FUNKCJĄ POMIAROWĄ. Liczbę przyporządkowaną danej cesze przez funkcję pomiarową nazywamy MIARĄ LICZBOWĄ tej cechy.

POMIAR to przyporządkowanie liczb obiektom
(pod względem jakiejś cechy) w taki sposób aby (wybrane) relacje miedzy liczbami odzwierciedlały relacje między cechami (obiektami).

POMIAR (konkretnej cechy) CECHY to znalezienie jej miary liczbowej.

RODZAJE POMIARU

Jeśli istnieje funkcja która bezpośrednio przyporządkowuje liczby mierzonym wielkościom (np. przez porównanie obiektu z wzorcem mierzonej wielkości) to mówimy o pomiarze PODSTAWOWYM.

Jeśli mierzymy jakąś wielkość jako funkcję innej wielkości mówimy o pomiarze POŚREDNIM (POCHODNYM)
(np. pomiar temperatury za pomocą pomiaru wysokości słupka rtęci w termometrze.

Jeśli mierzymy cechę C za pomocą innej cechy W będącej wskaźnikiem cechy C, mówimy o pomiarze WSKAŹNIKOWYM.

Nie możemy mierzyć bezpośrednio cech psychologicznych, nie możemy też stosować pomiaru pośredniego (pochodnego).

Pomiar cech psychologicznych można traktować jako pomiar wskaźnikowy pod warunkiem, że pojęcie wskaźnika będziemy rozumieli odpowiednio szeroko, obejmując nim również wskaźniki inferencyjne).

POZIOMY POMIARU (SKALE POMIAROWE)

Skala pomiarowa odwzorowuje określone relacje między liczbami na relacje między cechami. Zależnie od tego jakie relacje między liczbami są odwzorowywane na relacjach między cechami możemy mówić o różnych poziomach pomiaru (rodzajach skal pomiarowych).

Podział skal w/g Stevensa

• skala nominalna (N),

• skala porządkowa ( P ) (inaczej: rangowa)

• skala interwałowa ( I ) (inaczej: przedziałowa)

• skala stosunkowa (S) (inaczej: ilorazowa, metryczna)

SKALA NOMINALNA

Przyporządkowuje cechom liczby w taki sposób, że stosunek równości / nierówności między liczbami zostaje odwzorowany na stosunek równości / nierówności między cechami. Pomiar za pomocą skali nominalnej jest klasyfikacją obiektów do rozłącznych klas.

Przykłady: klasyfikacja chorób (numery chorób)

klasyfikacja przestępstw (paragrafy kodeksu))

klasyfikacja podstawowych emocji (gniew,
strach, zadowolenie, itp.)

SKALA PORZĄDKOWA

Przyporządkowuje cechom liczby w taki sposób, że stosunki równości/nierówności oraz większości/mniejszości między liczbami zostają odwzorowane na stosunki równości/nierówności i większości/mniejszości między cechami.

Przykłady: kolejność zawodnika na mecie, stopnie (rangi) oficerskie

SKALA STOSUNKOWA i interwałowa

Skala STOSUNKOWA przyporządkowuje cechom liczby w taki sposób, że stosunki (w znaczeniu: ilorazy) między liczbami zostają odwzorowane na stosunki między cechami.

Dla zbudowania skali stosunkowej wystarczy wykazać, że funkcja pomiarowa odwzorowuje stosunek sumy miedzy cechami na stosunek sumy arytmetycznej miedzy liczbami.

W skali INTERWAŁOWEJ stosunki między cechami nie są odwzorowane na stosunki miedzy liczbami, natomiast stosunki między interwałami są odwzorowane na stosunki między liczbami (interwał = różnica między dwiema cechami)

Przyporządkowanie jakiejś cesze liczby 1 jest równoznaczne z ustaleniem JEDNOSTKI POMIARU. Jednostka pomiaru jest zawsze umowna. Wynik pomiaru nie zależy od wyboru jednostki. Jednostkę można zmienić mnożąc ją przez stałą.

W skali stosunkowej i interwałowej mamy do czynienia
z jednostką pomiaru (wzorcem danej wielkości) oraz jej miarą liczbową (np. 1 metr).

W skalach interwałowej i stosunkowej wystarczy jeden wzorzec. Dzięki operacjom dodawania i powielania (wyznaczania krotności danej wielkości) można tworzyć jednostki większe i mniejsze od jednostki podstawowej. Na przykład, mając wzorzec metra można tworzyć jednostki wielokrotne (np. kilometry) i pod-wielokrotne (np. milimetry).

Dodawanie odpowiada matematycznej funkcji dodawania,

powielanie - operacji mnożenia i dzielenia (pochodnych od operacji dodawania)

Przykłady operacji na obiektach empirycznych:

dodawanie mas - równoważenie ciężarów na wadze,

powielanie mas - za pomocą dźwigni.

W skalach nominalnej i porządkowej nie mamy jednego wzorca mierzonej cechy. Należy stworzyć tyle wzorców ile jest wartości na skali.

Skala STOSUNKOWA (w odróżnieniu od interwałowej) wymaga naturalnego zera (zero oznacza absolutny brak mierzonej wielkości).

Skala INTERWAŁOWA można potraktować jako pewną transformację skali metrycznej, polegająca na przesunięciu naturalnego punktu zerowego (albo inaczej - ustaleniu zera umownego). W skali tej różnice miedzy wielkościami tworzą metryczną skalę interwałów.

Przykłady skal

* skala stosunkowa: długość, masa, napięcie,
temperatura absolutna (skala Kelvina)

* skala interwałowa: czas kalendarzowy, temperatura w
skali Celsjusza lub Fahrenheita

Tabela. Relacje między wielkościami o których można
orzekać w poszczególnych typach skal

Skala	Relacje
Nominalna	a=b; a≠ b
Porządkowa	j/w oraz: a>b; a<b
Interwałowa	j/w oraz: (a-b) = (c-d); (a-b) ≠ (c-d) (a-b) > (c-d); (a-b) < (c-d)
Stosunkowa	j/w oraz:

Od czego zależy poziom skali

Aby skonstruować skalę pomiarową należy dysponować operacją pozwalającą wykazać, że między wielkościami istnieje relacja izomorficzna z jakąś relacją między liczbami.

Aby stworzyć skalę NOMINALNĄ należy dysponować operacją pozwalającą stwierdzić równość / nierówność między wielkościami (np. w diagnostyce, porównywanie objawów choroby z objawami wzorcowymi).

Aby stworzyć skale PORZĄDKOWĄ należy dysponować operacją pozwalającą stwierdzić zachodzenie stosunku większości / mniejszości (np. operacja zarysowywania w skali twardości minerałów)

W skali INTERWAŁOWEJ i STOSUNKOWEJ należy dysponować operacją pozwalającą na dodawanie mierzonych wielkości (tzn. operacją izomorficzną z dodawaniem liczb). np. ważenia na wadze szalkowej pozwala stwierdzić zachodzenie następujących relacji między ciężarami (przedmiotami):

- równości: (dwa przedmioty się równo-ważą) -- skala N

- większości: (a przeważa b) -- skala R

sumy fizycznej: (a + b równoważą się z c) -- skala S

Wielkości psychologiczne są zasadniczo nieaddytywne - interwałowy charakter skali pomiarowej wykazujemy więc pośrednio.

Pomiar cech psychologicznych

Nie możemy wykonywać operacji bezpośrednio na wielkościach psychologicznych (co najwyżej na ich wskaźnikach). Nie możemy też stosować pomiaru pochodnego.

Istnieją również wątpliwości czy skale do pomiaru cech psychologicznych spełniają wymagania skal interwałowych
(a tym bardziej stosunkowych). Można jednak wykazać,
że niektóre z nich mają pewne właściwości skal interwałowych (np. że odchylenie standardowe może być traktowane jako (równa) jednostka wyrażająca odległość wyniku od środka rozkładu) co daje podstawę (przy spełnieniu innych, dodatkowych założeń) do stosowania statystyk parametrycznych.

Wielkim osiągnięciem Alfreda Binet, twórcy pierwszego testu inteligencji, było pokazanie, że można wykonywać operacje na (wskaźnikach) inteligencji (a właściwie - wskaźnikach poziomu umysłowego) i na tej podstawie ustalać relacje między różnymi wartościami tej zmiennej. Dając dzieciom do wykonania standardowy zestaw zadań umysłowych Binet był w stanie ustalić czy poziom umysłowy dziecka jest równy przeciętnemu, wyższy od przeciętnego, czy też niższy od przeciętnego.

We współczesnych skalach inteligencji zmienną tę „mierzy się” w odchyleniach standardowych, które traktowane są jako (równe) „jednostki” a skonstruowane w ten sposób skale traktuje się jako skale interwałowe.

Dopuszczalne przekształcenia wielkości liczbowych

Niekiedy dokonujemy transformacji wielkości pomiarowych,

zamieniając np. metry na centymetry, centymetry na cale, wyniki surowe testu na steny, itp. Jakie warunki muszą spełniać takie transformacje?

Tabela. Transformacje wartości liczbowych dopuszczalne
w poszczególnych typach skal pomiarowych*

Skala	Dopuszczalne transformacje
Nominalna	Transformacje wzajemnie jednoznaczne. Jeśli np. przed transformacją zachodziło: x1 = x2 i x3 ≠ x4, to po transformacji (przejściu x w x') relacje te muszą być zachowane: x1' = x2' i x3' ≠ x4'
Porządkowa	Monotoniczne (stale rosnące) Po transformacji zachowane muszą być stosunki równości i mniejszości między liczbami, np.: x1 = x2 x1' = x2' x1 > x3 x1' > x3' x2 < x5 x2' < x5'
Interwałowa	x' = a + bx
Stosunkowa	x' = bx

* Transformacje dozwolone w danym typie skali są
też dozwolone w skalach od niej słabszych.

Zadania: Przekształcenia liczbowe dopuszczalne
w poszczególnych typach skal

(na przykładach 3-10 można sobie poćwiczyć)

Pierwotny zbiór danych:	3, 5, 7, 9, 3
Zbiory przekształcone (poniżej):		Transformacja dopuszczalna w skali?
zbiór 1	6, 10, 14, 18, 6	S
zbiór 2	4, 6, 8, 10, 4	I
zbiór 3	31, 51, 71, 91, 31
zbiór 4	5, 3, 2, 7, 5
zbiór 5	37.4, 41, 44.6, 48.2, 37.4
zbiór 6	9, 25, 49, 81, 9
zbiór 7	4, 8, 12, 16, 4
zbiór 8	16, 20, 24, 28, 16
zbiór 9	13, 11, 9, 7, 13
zbiór 10	23, 25, 27, 100, 23

Przykłady statystyk dozwolonych
w poszczególnych typach skal*

Rodzaj skali	Miary tendencji centralnej	Miary rozpro-szenia	Miary współ- zmienności	Testy istotności
Nominalna	Mo Modalna	-- brak --	phi (ϕ) V-Cramera	chi^2 (χ^2)
porządkowa	Me Mediana	Odchylenie ćwiartkowe	tau (τ ) Kendalla; ro (ρ) Spearmana;	U Manna-Witneya; Test Wilcoxona.
interwałowa i stosunkowa	Średnia arytme- tyczna	s, s^2, (σ, σ^2) Odchylenie standardowe; Wariancja	r ( r^2); R ( R^2); Stosunek korelacyjny eta (η)	t Studenta; ANOVA; MANOVA; Analiza regresji; inne

* Statystyki dozwolone w danym typie skali są też
dozwolone w skalach od niej mocniejszych.

Statystyki dopuszczalne tylko w skali stosunkowej

Średnia geometryczna: (pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n pomiarów)

Średnia harmoniczna: ; (odwrotność średniej odwrotności pomiarów)

Współczynnik zmienności:

mtd 4 (2008 / 2009) - 1

---