POLITECHNIKA WROCŁAWSKA

INSTYTUT FIZYKI

Sprawozdanie z ćwiczenia nr 25

Temat ćwiczenia: Wyznaczanie współczynnika rozszerzalności

liniowej metodą elektryczną.

Powszechnie znany jest efekt rozszerzalności cieplnej ciał. Polega on na zmianie rozmiarów ciała wywołanej wzrostem temperatury. Aby wytłumaczyć to zjawisko należy odwołać się do mikroskopowej budowy substancji. Okazuje się, że wraz ze wzrostem temperatury ciała zwiększają się średnie odległości pomiędzy atomami. Wywołane jest to istnieniem pomiędzy atomami dwojakiego rodzaju sił: siły przyciągania i siły odpychania. W normalnych warunkach siły te równoważą się dla pewnej odległości r_o pomiędzy atomami. Jeżeli zwiększymy temperaturę wówczas wzrośnie amplituda drgań poszczególnych atomów. Wykres wypadkowej sił pomiędzy atomami nie jest liniowy, stąd wynika asymetria krzywej przedstawiającej zależność energii potencjalnej od wzajemnej odległości oddziałujących atomów . Zatem maksymalne wychylenia atomów z położenia równowagi nie są symetryczne względem r_o (są większe dla odległości większych od r_o). Prowadzi to do zwiększenia się średnich odległości pomiędzy atomami, a w ujęciu makroskopowym do zwiększenia rozmiarów ciała.

W celu ilościowego ujęcia zjawiska rozszerzalności cieplnej ciał stałych wprowadzono pojęcie współczynnika rozszerzalności liniowej , który można zdefiniować wzorem:

gdzie: r_o - odległość między atomami odpowiadająca stanowi równowag T - temperatura bezwzględna

- różnica między średnią odległością od sąsiednich atomów w temperaturze T a odległością r_o

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika rozszerzalności liniowej dla badanej próbki, którą stanowi metalowy drut. Przebieg doświadczenia polega na ogrzewaniu badanego materiału za pomocą przepływającego przez drut prądu elektrycznego oraz na pomiarze zmian długości próbki w zależności od temperatury. Pomiarów temperatury dokonam za pomocą termopary miedź-konstantan, której jedno spojenie jest przymocowane do badanego drutu, a drugie umieszczone w naczyniu Dewara zawierającym mieszaninę wody i lodu. Wynik podany w stopniach Celsjusza odczytam z cyfrowego miernika temperatury (CMT 12). Natomiast wydłużenie drutu można zmierzyć za pomocą czujnika mikrometrycznego, w którym zastosowano odpowiednią przekładnie mechaniczną. Na podstawie dokonanych pomiarów sporządzę wykres zależności względnego wydłużenia od przyrostu temperatury.

Znając wzór na względne wydłużenie: gdzie:

l -różnica między długością drutu w temperaturze T a długością w temperaturze początkowej T_o

l_o - długość drutu w temperaturze T_o  - współczynnik rozszerzalności liniowej T = T - T_o

oraz dysponując wykresem: , wyznaczę współczynnik rozszerzalności liniowej , który jest równy tangensowi kąta nachylenia krzywej na wykresie.

Pierwszą czynnością, jaką należy wykonać jeszcze przed rozpoczęciem właściwych pomiarów, jest określenie błędu pomiaru przyrostu długości drutu wynikającego z niemożności prawidłowego ustawienia wskazówki na tle skali lustrzanej. W tym celu przy pokojowej temperaturze dokonaliśmy pięciokrotnego ustawienia wskazówki w położeniu zerowym skali lustrzanej i każdorazowo odczytaliśmy wskazanie czujnika mikrometrycznego. Wyniki poszczególnych wskazań zostały podane w tabelce:

Nr pomiaru	Wskazanie
1	+0.01
2	0.00
3	-0.01
4	0.01
5	0.00
Wart. średnia	0.002

Wyniki kolejnych pomiarów zostały zebrane w tabeli poniżej:

Numer	Odczytane wydłużenie		Rzeczywiste wydłużenie		Względne wydłużenie		Zmierzona temperatura		Różnica temperatur
pomiaru	l' [mm]	 (l') [mm]	l [mm]	 (l) [mm]	l / lo x[10^-4]	(l / lo) x[10^-4]	T' [^oC]	T' [^oC]	T [^oC]	 () [^oC]
1	0.53	0.01	0.265	0.005	2.39	0.06	29.6	0.1	9.1	0.2
2	1.20	0.01	0.600	0.005	5.41	0.07	40.9	0.1	20.4	0.2
3	1.85	0.01	0.925	0.005	8.33	0.08	52.2	0.1	31.7	0.2
4	2.54	0.01	1.270	0.005	11.44	0.09	64.2	0.1	43.7	0.2
5	2.90	0.01	1.450	0.005	13.06	0.10	70.3	0.1	49.8	0.2
6	3.60	0.01	1.800	0.005	16.22	0.11	82.5	0.1	62.0	0.2
7	4.10	0.01	2.050	0.005	18.47	0.12	91.0	0.1	70.5	0.2
8	4.82	0.01	2.410	0.005	21.71	0.13	103.5	0.1	83.0	0.2
9	5.43	0.01	2.715	0.005	24.46	0.14	114.2	0.1	93.7	0.2
10	5.89	0.01	2.945	0.005	26.53	0.15	122.6	0.1	102.1	0.2
11	6.49	0.01	3.245	0.005	29.23	0.16	133.5	0.1	113.0	0.2
12	7.22	0.01	3.610	0.005	32.52	0.17	146.6	0.1	126.0	0.2

Początkowa temperatura T_o = (20,50,1)^oC

Początkowa długość drutu l_o = (1,1100.004)m

W pomiarach wydłużenia przy użyciu czujnika mikrometrycznego otrzymuje się wartości dwa razy większe od rzeczywistych. Aby otrzymać poprawne wydłużenie należy dokonać następujących przeliczeń: l =l'/2 l - rzeczywiste wydłużenie l' - zmierzone wydłużenie

Przykładowo dla l'=0,53mm l=0,53/2=0,265[mm]

Zmianie ulega również błąd wydłużenia.

Dla: (l')=0,01mm (l) = (l')/2 = 0,01/2 =0,005[mm]

Znając początkową długość drutu oraz wartości bezwzględnego wydłużenia mogę wyznaczyć względne wydłużenia dla poszczególnych temperatur:

Na przykład dla: l = (0,2650,005)mm l_o = (1,1100.004)m

Błąd wyznaczonej wielkości obliczam metodą różniczki logarytmicznej:

(jedynka na ostatnim miejscu zmierzonej wartości).

Wiedząc jaka była temperatura początkowa następująco obliczam poszczególne przyrosty temperatury: T = T' - T_o T' - zmierzona temperatura T_o - początkowa temperatura

Dla: T_o = (20,50,1)^oC T' = (29,60,1)^oC T = 29,6 - 20,5 = 9,1[^oC]

Błąd wyznaczonej wielkości obliczam ze wzoru:

 (T) = T' + T_o = 0,1 + 0,1= 0,2[^oC]

Mając dane zawarte w powyższej tabeli mogę sporządzę wykres zależności względnego wydłużenia drutu od przyrostu temperatury . Współczynnik kierunkowy a tego wykresu jest poszukiwaną wartością  współczynnika rozszerzalności liniowej badanego materiału. Obliczę go stosując metodę regresji liniowej. Ze względu na dużą ilość skomplikowanych operacji matematycznych występujących w tej metodzie, wszystkie obliczenia wykonam za pomocą programowalnego kalkulatora inżynierskiego CITIZEN SRP-75 (posiada on wbudowaną regresję liniową).W efekcie otrzymuję następujące wartości:

Wartość współczynnika b praktycznie nie jest mi do niczego przydatna , warto jednak zwrócić uwagę , że wyszła ona niezerowa - spowodowane jest to niedokładnościami pomiarów.

Współczynnik a jest równy współczynnikowi rozszerzalności liniowej  zatem:

[1/^oC] [1/^oC]

Współczynnik rozszerzalności liniowej dla badanej próbki
[1/^oC]	[1/^oC]	[%]
		0,2

Podsumowując można stwierdzić, że ćwiczenie to pozwala na całkiem dokładne wyznaczenie współczynnika rozszerzalności liniowej badanego materiału. Otrzymana wartość jest zbliżona do wartości tablicowych współczynników rozszerzalności liniowej metali(trudno jest jednak z dobrze ocenić dokładność wyniku nie wiedząc tak naprawdę z jakiego materiału był wykonany badany drut).

Błędy wnoszone do pomiarów, zarówno przez miernik temperatury jak i przez czujnik mikrometryczny, są do przyjęcia. Oczywiście można próbować je zmniejszyć (np. poprzez zmianę przekładni czujnika mikrometrycznego) jednak w praktyce prawdopodobnie byłoby to trudne do zrealizowania.

3

Otrzymana średnia wartość jest mniejsza od wartości jednej

działki czujnika mikrometrycznego. Zatem musimy uważać,

że pomiary wydłużenia są dokonywane z dokładnością do

jednej działki czyli do 0.01mm.

---