Instrukcja do zajęć laboratoryjnych nr 2. Katedra Podstaw Konstrukcji Maszyn

Metody Numeryczne

Temat: Interpolacja (2) - przybliżanie funkcji zadanej analitycznie

(wzór Czebyszewa, interpolacja geometryczna )

1. Zadanie do wykonania

a) Wielomiany Czebyszewa

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wielomianu interpolacyjnego dla zadanego zbioru wartości x_i i = 0,1, ... , n, argumentów funkcji interpolowanej, które mieszczą w przedziale x_i ∈ [-1, 1. Bazę Czebyszewa T₀(x), T₁(x), ... T_n(x) stanowi zbiór wielomianów określonych wzorem rekurencyjnym:

T_k+1(x) = 2xT_k(x), ... T_k-1(x), T_o (x) = 1, T₁(x) = x. (1)

Współczynniki wzoru interpolacyjnego Czebyszewa wynikają z układu równań:

(2)

Przykładowy wielomian interpolacyjny Czebyszewa stopnia drugiego:

W(x) = a₀T₀(x) + a₁T₁(x) + a₂T₂(x) (3)

czyli

W(x) = a₀ + a₁x + a₂(2x² - 1) (4)

b) interpolacja trygonometryczna

Jako bazę interpolacji przyjmiemy w tej metodzie zbiór funkcji trygonometrycznych:

(5)

Wielomianem interpolacyjnym będzie suma w postaci:

(6)

zawierająca 2n + 1 nieznanych parametrów. Najbardziej istotny w praktyce jest przypadek interpolacji funkcji określonej na zbiorze równoodległych węzłów x_i∈[0,2π] dobranych następująco:

, i = 0, 1, ..., 2n (7)

2. Założenia

Przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania prowadzący zajęcia zobowiązany jest przedstawić każdej sekcji zbiór danych wejściowych. Dane te należy zapisać w postaci macierzowej.

Podczas wykonywania zadania nie można korzystać z funkcji wewnętrznych programu MATLAB związanych z działaniami na macierzach. Wyjątek stanowi funkcja „zeros ()” , „size ()”, „length()” oraz „plot ()”.

3. Zadania do wykonania

Aby otrzymać wielomian interpolacyjny Czebyszewa, należy:

• zdefiniować funkcję argumentową Czebyszew (X,Y), której argumentami będą podane przez prowadzącego dane wejściowe (patrz p.2), w funkcji należy m.in.:

• zbudować tabele wielomianów składowych,

• wyznaczyć wielomian interpolacyjny stopnia 2,

• stosując funkcję plot przedstawić na jednym wykresie węzły interpolacji oraz graficzną reprezentacje otrzymanego wielomianu,

• w celu przedstawienia powyższych danych na jednym wykresie zastosować flagę hold z parametrem on,

Aby otrzymać wielomian interpolacyjny wg interpolacji trygonometrycznej, należy:

• należy zdefiniować funkcję argumentową trygonom (X,Y), której argumentami będą podane przez prowadzącego dane wejściowe,

• ustalić stopień wielomianu interpolacyjnego na 4,

• zbudować macierz X zawierającą wartości funkcji trygonometrycznych wg wzoru (5),

• transponować macierz X ,

• zbudować macierz X^-1=2/(2n+1)*X^T,

• zbudować macierz będącą iloczynem X*Y (lub X*Y^T - w zależności od postaci utworzonej macierzy Y wartości funkcji f(X)),

• obliczyć wartości współczynników wzoru interpolacyjnego,

• stosując funkcję plot przedstawić na jednym wykresie węzły interpolacji oraz graficzną reprezentacje otrzymanego wielomianu,

• w celu przedstawienia powyższych danych na jednym wykresie zastosować flagę hold z parametrem on,

4. Literatura

[1] Majchrzak E., Mochnacki B., „Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne, aspekty praktycne i algorytmy", wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1994 (i dalsze).

[2] Cegieła R., Zalewski A., „Matlab - obliczenia numeryczne i ich zastosowania”, Wydawnictwo Nakom, Poznań 1996.

[3] Sedgewick R., „Algorithms”, Addison-Wesley, USA 1983.

Opracował: Marek WYLEŻOŁ 99-02-24

---