A. PRZYKŁADY OBLICZEŃ

A.1. PRZYKŁAD 1

 Wyznaczyć nośność obliczeniową na wciskanie pala Franki o średnicy 508 mm i długości 13 m w warunkach geotechnicznych zgodnych z rysunkiem

 warstwy:

(1) - NN (P_d) o I_D = 0,1

(2) - N_m o I_L = 0,8

są nieskonsolidowane i nienośne, gdyż dla (1) I_D = 0,1 < 0,2, a dla (2) I_L = 0,8 > 0,75,

 w warstwach (1) i (2) może wystąpić tarcie negatywne.

A.1.1. OBLICZENIOWY POZIOM TERENU

 ponieważ 2 wierzchnie warstwy wywołują tarcie negatywne gruntu to wartości q i t interpoluje się liniowo od obliczeniowego poziomu terenu leżącego w poziomie warstwy zastępczej

 miąższość warstwy zastępczej h_z, leżącej powyżej warstwy nośnej, określa się ze wzoru

w którym: γ ` - wartość charakterystyczna ciężaru objętościowego gruntu nośnego (z uwzględnieniem wyporu wody),

γ `_i - wartości charakterystyczne ciężarów objętościowych gruntów z uwzględnieniem wyporu wody w warstwach zalegających powyżej stropu gruntu nośnego,

h_i - miąższość poszczególnych warstw gruntów zalegających powyżej stropu gruntu nośnego,

 h_z w tym przypadku jest równe

i określa obliczeniowy poziom terenu.

A.1.2. TARCIE NEGATYWNE

 tarcie negatywne warstw (1) i (2) oblicza się ze wzoru

w którym: S_si, t_i^(r) - współczynniki technologiczne i obliczeniowe wytrzymałości gruntu wzdłuż pobocznicy pala w obrębie warstwy i (wg Tablicy 4 i 5 s.9),

 wartości t_i^(r) i S_si

- dla gruntu (1):

- dla gruntu (2):

A_si - pole pobocznicy odcinka pala zagłębionego w gruncie i

- dla gruntu (1):

- dla gruntu (2):

 tarcie negatywne jest równe

A.1.3. OBLICZENIOWA NOŚNOŚĆ PALA

 obliczeniową nośność pala w grupie oblicza się ze wzoru

w którym: m₂, m₁ - współczynniki redukcyjne (uwzględniające pracę pala w grupie)

 dla pojedynczego pala Franki: m₂ = m₁ = 1,0

A_p - pole przekroju poprzecznego podstawy pala

 dla pojedynczego pala Franki (dla podstawy formowanej w gruncie niespoistym - warstwie (3), P_d o I_D = 0,55) wynosi

q^(r) - jednostkowa obliczeniowa wytrzymałość gruntu pod postawą pala

 dla pala Franki w P_d o I_D = 0,55 wartość q (z Tablicy 1 s.6) wynosi

 ponieważ średnica pala D_i = 0,508 m > 0,40 m to rozkład wartości q^(r) definiują zależności

­ dla zagłębienia h_c = 10 m > h* = 7,0 m < h_ci = 11,3 m wartość q_i oblicza się z interpolacji liniowej

 wartość q^(r) określa się z poniższej relacji (przy współczynniku γ_m=0,9)

t_i ^(r) - jednostkowa obliczeniowa wytrzymałość gruntu wzdłuż pobocznicy pala

 ponieważ warstwa (3) (P_d o I_D = 0,55) zalega na głębokość > i < 5 m to oblicza się dwie wartości t (jedną - interpolując między wartościami z Tablicy 2 s.7: dolną i zerową, przyjmowaną dla poziomu terenu, oraz drugą - stałą dla głębokości ≥ 5 m)

 wartość t z Tablicy 2 s.7 (z interpolacji dla P_d o I_D = 0,55) wynosi

 wartości t_i na głębokości h_i precyzuje relacja

dając dla

h₃ = 0 m :

h₃ = 5 - 3 = 2 m :

natomiast dla fragmentu pala:

1) 0 m < h₃ < 2 m 

2) 2 m < h₃ < 4 m 

 wartość t_i^(r) określa się z poniższej relacji (przy współczynniku γ_m=0,9)

co daje dla fragmentów pala:

1) 0 m < h₃ < 2 m 

2) 2 m < h₃ < 4 m 

S_p , S_s - współczynniki technologiczne wg Tablicy 4 s.9

 dla pali Franki w P_d o I_D = 0,55 wyznacza się z interpolacji liniowej, uzyskując wartości

S_p =………= 1,65,

S_s =………= 1,45,

A_si - pole pobocznicy odcinka i pala zagłębionego w gruncie

 pole A_si jest równe odpowiednio dla fragmentów pala:

1) h_i = 2 m 

2) h_i = 2 m 

 ostatecznie, nośność obliczeniowa pala na wciskanie w gruncie nośnym jest równa

natomiast całkowita nośność pojedynczego pala na wciskanie (z uwzględnieniem tarcia ujemnego) wynosi

A.2. PRZYKŁAD 2

 Wyznaczyć nośność obliczeniową na wciskanie pala Franki o średnicy 508 mm i długości 13 m w warunkach geotechnicznych zgodnych z rysunkiem

 we wszystkich warstwach występują grunty skonsolidowane, ponieważ w warstwie:

(1) P_d ma stopień zagęszczenia I_D = 0,33 > 0,2,

(2) N_m ma stopień plastyczności I_L = 0,5 < 0,75,

(3) P_d ma stopień zagęszczenia I_D = 0,55 > 0,2,

 warstwy (1) i (3) są nośne, natomiast dla N_m z warstwy (2) wartość jednostkowego granicznego oporu gruntu wzdłuż pobocznicy pala t = 0 (zgodnie z Tablicą 2 s.7).

A.2.1. OBLICZENIOWY POZIOM TERENU

 wartości q i t interpoluje się liniowo od obliczeniowego poziomu terenu równoważnego rzeczywistemu poziomowi terenu.

A.2.2. OBLICZENIOWA NOŚNOŚĆ PALA

 obliczeniową nośność pala w grupie oblicza się ze wzoru

w którym: m₂ = m₁ = 1,0 - współczynniki redukcyjne,

A_p - pole przekroju poprzecznego podstawy pala

q^(r) - jednostkowa obliczeniowa wytrzymałość gruntu pod postawą pala

 dla pala Franki w P_d o I_D = 0,55 wartość q (z Tablicy 1 s.6) wynosi

,

 ponieważ średnica pala D_i = 0,508 m > 0,40 m to rozkład wartości q^(r) definiują zależności

,

 dla zagłębienia 13 m > h_ci = 11,3 m wartość q _i = q = 2330 kPa, natomiast q^(r) wynosi (przy współczynniku γ_m=0,9)

,

t_i ^(r) - jednostkowa obliczeniowa wytrzymałość gruntu wzdłuż pobocznicy pala

 zgodnie z p.2.2.4 s.8 z PN w przypadku przewarstwienia N_m o miąższości 5,0 m > 0,5 m (warstwa (2)) - we wzorze na nośność N_t uwzględnia się wartości t_i^(r) dla warstw zalegających poniżej warstwy (2),

 wartość t z Tablicy 2 s.7 (z interpolacji dla P_d o I_D = 0,55) wynosi

,

 wartości t_i na głębokości h_i > 5 m wynosi t = t_i = 51 kPa, natomiast t_i ^(r) (dla i = 3) jest równa



S_p , S_s - współczynniki technologiczne wg Tablicy 4 s.9,

 dla pali Franki w P_d o I_D = 0,55 przyjmują wartości S_p = 1,65 i S_s = 1,45 (wyznaczone z interpolacji liniowej),

A_si - pole pobocznicy odcinka pala zagłębionego w gruncie (tj. w gruncie warstwy (3) o miąższości h₃ = 4 m)



 całkowita nośność obliczeniowa pojedynczego pala na wciskanie wynosi

A.3. PRZYKŁAD 3

 Obliczyć osiadanie fundamentu palowego z oczepem sztywnym, obciążonego symetrycznie silą Q_G⁽ⁿ⁾ i momentem zginającym M⁽ⁿ⁾ dla warunków geotechnicznych zgodnych z rysunkiem z przykładu A.1. Obciążenie pali pojedynczych tarciem negatywnym gruntu jest równe T_n⁽ⁿ⁾ = 106 kN. Żelbetowe pale typu Franki o średnicy D = 508 mm wykonane są z betonu klasy B15 o module ściśliwości E_t = 23 · 10⁶ kPa i rozmieszczone zgodnie z poniższym rysunkiem

 całkowite osiadania fundamentu palowego s'_G z oczepem sztywnym oblicza się jako sumę osiadań grupy pali s_G i wywołanego tarciem negatywnym s_i (zgodnie z punktami wykładu 1.3.3.6, 1.3.3.5, 1.3.3.4, 1.3.3.2 i z rozdziałami PN 4.5.2, 4.5.3, 4.6),

 siły w palach określone przy założeniu, że oczep jest sztywny (z uwzględnieniem obciążeń od negatywnego tarcia gruntu) - wynoszą odpowiednio

Q_n1^T = Q_n4^T = Q_n1 + T_n⁽ⁿ⁾ = 425 + 106 = 531 kN

Q_n2^T = Q_n5^T = Q_n2 + T_n⁽ⁿ⁾ = 243 + 106 = 349 kN

Q_n3^T = Q_n6^T = Q_n3 + T_n⁽ⁿ⁾ = 61 + 106 = 167 kN

 osiadanie fundamentu z oczepem sztywnym (potraktowanego jak średnie osiadanie grupy pali s_G z uwzględnieniem schematu obciążenia tarciem negatywnym) ustala się z zależności (1.20)

w której: Q_ns - średnie obciążenie pala w grupie równe Q_nG/n_o,

n_o - liczba pali w fundamencie palowym (= 6),

R_s - współczynnik osiadania pali ze sztywnym oczepem,

s_i - osiadanie pojedynczego pala i określone ze wzoru (1.17) dla jednostkowego obciążenia (Q_n = 1,0),

 obciążenie działające na całą grupę palową Q_nG jest równe

natomiast średnie obciążenie pala w grupie Q_ns

A.3.1. OSIADANIE POJEDYNCZEGO PALA

 osiadanie pojedynczego pala pod wpływem jednostkowego obciążenia Q_n = 1,0 oblicza się ze wzoru (1.17)

w którym: Q_n - jednostkowe obciążenie pala (= 1,0),

h - zagłębienie pala w gruncie (=4,0 m  dla warstwy 3),

E₀ - moduł odkształcenia gruntu

 odczytana z normy PN-81//B03020 wartość modułu odkształcenia E₀' dla P_d o I_D = 0,55 wynosi E₀' = 50 000 kPa, natomiast E₀

E₀ = S_s E₀' = 1,45 · 50 000 = 72 500 kPa,

a modułu odkształcenia poniżej podstawy pala E_b

E_b = S_p E_b' = S_p E₀' = 1,65 · 50 000 = 82 500 kPa

(dla współczynników technologicznych S_s, S_p z przykładu A.1),

I_w - współczynnik wpływu osiadania

 wartość I_w wobec występowania w postawie pala warstwy mniej ściśliwej (E_b > E₀) określa się ze wzoru (19) (z PN s.14)

I_w = I_ok R_b

 przy stosunku h/D

oraz współczynniku K_A (dla R_A = 1,0 dla pali pełnych)

i stosunku modułów E_b / E₀

współczynnik wpływu warstwy mniej ściśliwej w podstawie pala R_b (zgodnie z rys.12 s.16 z PN)

R_b = 1,0

natomiast współczynnik wpływu osiadania I_ok (stosownie do rys.10 s.15 z PN - dla h/D ≈ 10)

I_ok = 1,5

 wartość I_w jest równa

I_w = 1,5 · 1,0 = 1,5

 osiadanie pojedynczego pala od obciążenia jednostkowego wynosi

A.3.2. OSIADANIE GRUPY PALI

 współczynnik R_s osiadania pali fundamentu ze sztywnym oczepem (dla 6 pali osadzonych w podłożu jednorodnym) wyznacza się z interpolacji liniowej dla wartości z tablicy 9 (s.19 PN) i pomocniczych relacji

 dla 4 pali pod oczepem

 dla 9 pali pod oczepem

 stąd dla 6 pali pod oczepem

 osiadanie fundamentu z oczepem sztywnym (traktowanego jako osiadanie grupy pali s_G) jest równe

A.3.3. OSIADANIE PALI OD TARCIA NEGATYWNEGO

 osiadanie średnie grupy pali obciążonych tarciem negatywnym (traktowane jako osiadanie fundamentu z oczepem sztywnym) oblicza się ze wzoru (1.18) dla pala pojedynczego (przy średnim obciążeniu pala w grupie Q_h = Q_ns = 349 kN i współczynniku M_R = 1)

gdzie: A_t - powierzchnia przekroju poprzecznego pala (= 0,2027 m²)

E_t - moduł ściśliwości trzonu pala (= 23 · 10⁶ kPa)

h_T - długość odcinka pala w gruncie obciążonego tarciem negatywnym (= 13 - 4 = 9,0 m)

 osiadanie s_i jest równe

A.3.4. CAŁKOWITE OSIADANIA GRUPY PALI

 całkowite osiadania fundamentu palowego s'_G z oczepem sztywnym oblicza się z zależności (1.24), jako sumę osiadań grupy pali s_G i wywołanego tarciem negatywnym s_i

A.4. PRZYKŁAD 4

 Obliczyć osiadania fundamentu palowego, obciążonego symetrycznie silą Q_G⁽ⁿ⁾ i momentem zginającym M⁽ⁿ⁾ dla warunków geotechnicznych zgodnych z rysunkiem z przykładu 1. Obciążenie pali pojedynczych tarciem negatywnym gruntu jest równe T_n⁽ⁿ⁾ = 106 kN. Żelbetowe pale typu Franki o średnicy D = 508 mm wykonane są z betonu klasy B15 o module ściśliwości E_t = 23 · 10⁶ kPa i rozmieszczone zgodnie z poniższym rysunkiem

 siły w palach określone przy założeniu, że oczep jest sztywny (z uwzględnieniem obciążeń od negatywnego tarcia gruntu) - wynoszą odpowiednio

Q_n1 = Q_n4 = 425 + 106 = 531 kN

Q_n2 = Q_n5 = 243 + 106 = 349 kN

Q_n3 = Q_n6 = 61 + 106 = 167 kN

 osiadania pali określa się ze wzoru (1.20) przy założeniu, że oczep fundamentu nie ma sztywności własnej

gdzie: s₁ - osiadanie pala pojedynczego pod wpływem jednostkowego obciążenia,

Q_nj ,Q_ni - obciążenie odpowiednio pala j oraz i,

_ij⁰ - współczynnik oddziaływania między palami i oraz j.

A.4.1. OSIADANIE POJEDYNCZEGO PALA

 osiadanie pojedynczego pala pod wpływem jednostkowego obciążenia Q_n = 1,0 oblicza się ze wzoru (1.15)

w którym: Q_n - jednostkowe obciążenie pala (= 1,0),

h - zagłębienie pala w gruncie (=4,0 m  dla warstwy 3),

E_p - moduł odkształcenia gruntu

 odczytana z normy PN-81//B03020 wartość modułu odkształcenia E₀' dla P_d o I_D = 0,55 wynosi E₀' = 50 000 kPa, natomiast E₀

E₀ = S_s E₀' = 1,45 · 50 000 = 72 500 kN,

a modułu odkształcenia poniżej podstawy pala E_b

E_b = S_p E_b' = S_p E₀' = 1,65 · 50 000 = 82 500 kN

(dla współczynników technologicznych S_s, S_p z przykładu 1),

I_w - współczynnik wpływu osiadania

 wartość I_w wobec występowania w postawie pala warstwy mniej ściśliwej (E_b > E₀) określa się ze wzoru (1.18)

I_w = I_ok R_b

 przy stosunku h/D

oraz współczynniku K_A (dla R_A = 1,0 dla pali pełnych)

i stosunku modułów E_b / E₀

współczynnik wpływu warstwy mniej ściśliwej w podstawie pala R_b (zgodnie z rys.12 s.16 z PN)

R_b = 1,0

natomiast współczynnik wpływu osiadania I_ok (stosownie do rys.10 s.15 z PN - dla h/D ≈ 10)

I_ok = 1,5

 wartość I_w jest równa

I_w = 1,5 · 1,0 = 1,5

 osiadanie pojedynczego pala od obciążenia jednostkowego jest równe

A.4.2. OSIADANIA PALI

 współczynnik _ij⁰ wpływu osiadania pala j na osiadanie pala i wyznacza się z rys.14 s.16 PN dla h/D = 10, K_A = 300 oraz odległości r_ij pali j od pala i (zgodnie z poniższą tabelą, ograniczone ze względu na symetrię do trzech pierwszych pali)

Dla pala 1			Dla pala 2			Dla pala 3
r1j [m]	r1j /D	1j^0	r2j [m]	r2j /D	2j^0	r3j [m]	r3j /D	3j^0
2,0	3,94	0,35	2,0	3,94	0,35	4,0	7,87	0,20
4,0	7,87	0,20	2,0	3,94	0,35	2,0	3,94	0,35
2,0	3,94	0,35	2,83	5,57	0,26	4,47	8,80	0,15
2,83	5,57	0,26	2,0	3,94	0,35	2,83	5,57	0,26
4,47	8,80	0,15	2,83	5,57	0,26	2,0	3,94	0,35

 ze względu na jednakowe warunki geotechniczne pod fundamentem osiadanie pojedynczego pala spowodowane silą jednostkową jest dla wszystkich pali jednakowe

s_1i = s_1j = s₁

co pozwala przedstawić wzór na osiadanie (1.20) w postaci

 osiadanie pala 1 wynosi

s_i=1 = s₁ [ Q_n2 ₁₂⁰ + Q_n3 ₁₃⁰ + Q_n4 ₁₄⁰ + Q_n5 ₁₅⁰ + Q_n6 ₁₆⁰ + Q_n1 ] =

5,1724 · 10^-6 · [349 · 0,35 + 167 · 0,20 + 531· 0,35 + 349 · 0,26 + 167 · 0,15 + 531] = 5,1 · 10^-3 m ,

natomiast pala 2

s_i=2 = s₁ [ Q_n1 ₂₁⁰ + Q_n3 ₂₃⁰ + Q_n4 ₂₄⁰ + Q_n5 ₂₅⁰ + Q_n6 ₂₆⁰ + Q_n2 ] =

5,1724 · 10^-6 · [531 · 0,35 + 167 · 0,35 + 531· 0,26 + 349 · 0,26 + 167 · 0,26 + 349] = 4,6 · 10^-3 m ,

a pala 3

s_i=3 = s₁ [ Q_n1 ₃₁⁰ + Q_n2 ₃₂⁰ + Q_n4 ₃₄⁰ + Q_n5 ₃₅⁰ + Q_n6 ₃₆⁰ + Q_n3 ] =

5,1724 · 10^-6 · [531 · 0,2 + 349 · 0,35 + 531· 0,15 + 349 · 0,26 + 167 · 0,35 + 167] = 3,2 · 10^-3 m .

A.3.3. OSIADANIA PALI OD TARCIA NEGATYWNEGO

 osiadania pali obciążonych tarciem negatywnym oblicza się ze wzoru (1.19), (1.31)

gdzie: A_t - powierzchnia przekroju poprzecznego pala (= 0,2027 m²)

E_t - moduł ściśliwości trzonu pala (= 23 · 10⁶ kPa)

h_T - długość odcinka pala w gruncie obciążonego tarciem negatywnym (= 13 - 4 = 9,0 m)

 osiadania pali 1, 2, 3 wynoszą odpowiednio

A.4.4. CAŁKOWITE OSIADANIA PALI

 całkowite osiadania oblicza się ze wzoru (przy założeniu, że oczep fundamentowy nie ma sztywności własnej)

s_i' = s_i +  s_i

 łączne osiadania pali 1, 2, 3 oraz symetrycznych są równe

s_i=1' = s_i=4' = s_i=1 +  s_i=1 = 5,1 · 10^-3 + 1,0 · 10^-3 = 6,1 · 10^-3 m ,

s_i=2' = s_i=5' = s_i=2 +  s_i=2 = 4,6 · 10^-3 + 0,7 · 10^-3 = 5,3 · 10^-3 m ,

s_i=3' = s_i=6' = s_i=3 +  s_i=3 = 3,2 · 10^-3 + 0,3 · 10^-3 = 3,5 · 10^-3 m .

---