OBLICZENIA STATYCZNE WIĘŹBY DACHOWEJ

Dane do projektowania:

• konstrukcja dachu jętkowa

• rozstaw krokwi 0,8m

• nachylenie połaci dachowej α = 30°

• pokrycie dachu - dachówka ceramiczna Frankfurter na łatach o rozstawie 0,32m

• lokalizacja budynku - Katowice

• obciążenie śniegiem - strefa II

• obciążenie wiatrem - strefa I

Rys. 1. Geometria projektowanego wiązara jętkowego

Dla drewna sosnowego wartość charakterystyczna ciężaru objętościowego wynosi

ρ_sosna = 5,5 kN/m³. Więźba będzie wykonana z drewna odpowiadającego klasie sortowniczej KG, co odpowiada klasie wytrzymałościowej C18 (dla tarcicy grubości < 38mm) i C22 (dla tarcicy grubości ≥ 38mm).

1.Obliczenie łaty

Przyjęto do obliczeń łaty z drewna sosnowego o grubości 45mm i szerokości 63mm.

Pole przekroju poprzecznego wynosi A = 0,002835m².

1. Schemat statyczny elementu konstrukcyjnego

Rys. 2. Schemat statyczny łaty

Łata jest elementem wykonanym z drewna krótkiego, dlatego do obliczeń przyjmuje się schemat statyczny w postaci belki dwuprzęsłowej, swobodnie podpartej.

2. Zestawienie obciążeń

Obciążenia stałe g:

Obciążenie	Wartość charakterystyczna [kN/m]	Współczynnik obciążenia γF [-]	Wartość obliczeniowa [kN/m]
Ciężar własny łaty 0,002835 · 5,5	0,016	1,1	0,018
Ciężar pokrycia - waga jednej dachówki 4,3kg, liczba - 11szt./m^2 0,043·11·0,32	0,151	1,2	0,181
Razem	0,167		0,199

Tabela 1. Zestawienie obciążeń stałych

Obciążenia zmienne:

Wartość obciążenia charakterystycznego śniegiem w strefie II

S_k = Q_k · C

Q_k = 0,9kN/m²

Współczynniki kształtu dachu:

C₁ = 0,8

C₂ = 1,2

Do obliczeń pojedynczych elementów przyjmuje się, że C₂ = C₁ = C

S_k = 0,9kN/ m² · 0,8 = 0,72kN/m²

Wartość obliczeniowa obciążenia śniegiem

S = S_k · γ_f = 0,72 · 1,5 = 1,08kN/m²

Wartość obciążenia charakterystycznego wiatrem

p_k = q_k · C_e · C · β

q_k = 0,25kN/m²

Przyjęto, że budynek ma wysokość mniejszą niż 10m i jest zlokalizowany na terenie B, dla którego

C_e = 0,8

C = C_z = 0,015 · α - 0,2 = 0,015 · 30 - 0,2 = 0,25 (połać nawietrzna)

C = C_z = -0,045 · (40 - α) = -0,045 · (40 - 30) = -0,45 (połać zawietrzna)

Przyjęto parcie, dla którego C = 0,25

β = 1,8

p_k = 0,45 · 0,8 · 0,45 · 1,8 = 0,292kN/m²

Wartość obliczeniowa obciążenia wiatrem

p = p_k · γ_f = 0,292 · 1,3 = 0,380kN/m²

Wartość obciążenia charakterystycznego skupionego (człowiek z narzędziami)

P_k = 1,0kN

Wartość obliczeniowa obciążenia charakterystycznego skupionego

P = P_k · γ_f = 1,0 · 1,2 = 1,2kN

Przyjęto długość przęseł równą średniemu rozstawowi krokwi l_eff = 0,8m.

Składowe obciążeń:

g_┴ = g · cos α

g_║ = g · sin α

S_┴ = S · cos²α

S_║ = S · sin α · cos α

p_┴ = p · ψ_o = p · 0,9 (uwzględniono współczynnik jednoczesności obciążeń ψ_o)

p_║ = 0

P_┴ = P · cos α

P_║ = P · sin α

sin α = 0,5

cos α = 0,866

Obciążenie	Wartość charakt. [kN/m]	Wsp. obciążenia γf [-]	Wartość obliczeniowa [kN/m]	Wartości składowe prostopadłe obciążenia		Wartości składowe równoległe obciążenia
								charakt. [kN/m]	obliczeniowe [kN/m]	charakt. [kN/m]	obliczeniowe [kN/m]
g - ciężar własny i pokrycia S - śnieg 0,72 · 0,32 p - wiatr 0,292 · 0,32 · 0,9	0,167 0,230 0,084	1,5 1,3	0,199 0,345 0,109	0,145 0,172 0,084	0,172 0,258 0,109	0,084 0,100 0,000	0,100 0,150 0,000
Razem	0,481		0,653	0,401	0,539	0,184	0,250
P - obciążenie skupione [kN]	1,00	1,2	1,20	0,866	1,039	0,500	0,6

Tabela 2. Zestawienie obciążeń na łatę

3. Rozwiązanie statyczne

Przyjęto dwa warianty obciążeń:

Wariant I - obciążenie ciężarem własnym i pokryciem oraz siłą skupioną

Rys. 3. Schemat statyczny do obliczenia łaty - wariant I

Wykresy momentów zginających

Rys. 4. Wykres momentów zginających od prostopadłych składowych obciążenia

Rys. 5. Wykres momentów zginających od równoległych składowych obciążenia

Wariant II - obciążenie ciężarem własnym i pokryciem oraz śniegiem i wiatrem

Rys. 6. Schemat statyczny do obliczenia łaty - wariant II

Wykresy momentów zginających

Rys. 7. Wykres momentów zginających od prostopadłych składowych obciążenia

Rys. 8. Wykres momentów zginających od równoległych składowych obciążenia

4. Rozwiązanie wytrzymałościowe

Wariant I

Sprawdzenie stanu granicznego nośności

Obliczenie wskaźników wytrzymałościowych łaty o wymiarach 45×63mm:

Naprężenia obliczeniowe od zginania w stosunku do osi głównych:

Wytrzymałość obliczeniowa na zginanie:

k_mod = 1,1

f_m,y,k = 22,0MPa

γ_M = 1,3

Obliczany element ma mniejsze wymiary niż 150mm, zwiększono więc jego wytrzymałość:

f `_m,y,d = f_m,y,d · k_h

k_h = 1,19

f `_m,y,d = 18,62 · 1,19 = 22,16MPa

Sprawdzenie warunku stanu granicznego:

k_m = 0,7

Warunek stanu granicznego nośności dla łaty został spełniony.

Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności

Graniczna wartość ugięcia:

Rys. 9. Wykres ugięcia od prostopadłej składowej obciążenia siłą skupioną

Rys. 10. Wykres ugięcia od prostopadłej składowej obciążenia ciężarem własnym

Rys. 11. Wykres ugięcia od równoległej składowej obciążenia siłą skupioną

Rys. 12. Wykres ugięcia od równoległej składowej obciążenia ciężarem własnym

Obciążenie	kdef	Składowe prostopadłe [mm]		Składowe równoległe [mm]
				uinst,y	ufin,y	uinst,z	ufin,z
Ciężar własny (klasa trwania obciążenia = stałe)	0,8	0,1	0,18	0	0
Siła skupiona (klasa trwania obciążenia = obciążenie krótkotrwałe)	0	1,4	1,4	0,4	0,4
Ugięcie sumaryczne		1,58		0,4
Ugięcie całkowite		1,63

Tabela 3. Wartości ugięcia od poszczególnych składowych obciążenia

u_fin = 1,63mm < u_net,fin = 5,33mm

Warunek stanu granicznego użytkowalności dla łaty został spełniony.

Wariant II

Maksymalne momenty zginające w wariancie II są znacznie mniejsze niż w wariancie I. Ponadto występuje inna klasa trwania obciążenia decydującego. Z tego względu nie ma potrzeby sprawdzania stanu granicznego nośności i stanu granicznego użytkowalności dla wariantu II.

Ostatecznie przyjęto łatę o wymiarach przekroju poprzecznego 45×63mm.

2.Obliczenie krokwi

Przyjęto do obliczeń krokwie o wymiarach 75×175mm, jętki 75x175mm, ocieplenie połaci dachowych wełną mineralną grubości 150mm.

Ponadto przyjęto, że na jętkach zostanie wykonany strop ocieplony, a przestrzeń nad jętką będzie dostępna przez wyłaz rewizyjny. Obciążenie zmienne technologicznie należy przyjąć o wartości 0,5 kN/m².

2.1. Schemat statyczny elementu konstrukcyjnego

Rys. 13. Schemat statyczny wiązara jętkowego

2.2. Zestawienie obciążeń

Obciążenie	Wartość charakt. [kN/m]	Wsp. obciążenia γf [-]	Wartość obliczeniowa [kN/m]
A1.Ciężar własny dachu z uwzględnieniem ciężaru krokwi(nad jętką) g: ciężar własny łaty 0,016 · (100/32) · 0,80 ciężar własny krokwi 0,075 · 0,175 · 5,5 ciężar własny dachówki 0,042 · 11 · 0,8	0,040 0,072 0,370	1,1 1,1 1,2	0,044 0,079 0,444
Razem	0,482		0,567
A2.Ciężar własny dachy z uwzględnieniem ciężaru krokwi (pod jętką) ciężar łaty 0,016 ·(100/32) ·0,80 Ciężar własny dachówki 0,042 ·11 ·0,80 Ciężar ocieplenia(150mm wełny mineralnej) 0,15 ·1,0 ·0,80 Ciężar własny krokwi 0,075 ·0,175 ·5,5 Ciężar płyt g-k na ruszcie 0,012·12·0,8	0,040 0,370 0,120 0,072 0,115	1,1 1,2 1,2 1,1 1,2	0,044 0,444 0,144 0,079 0,138
Razem	0,717		0,849
B. Śnieg: połać lewa Sk(C2)=Qk· C2 0,9 · 1,2 · 0,8·0,866 połać prawa Sk(C1)=Qk· C1 0,9 · 0,8 · 0,8·0,866 C. Wiatr: połać nawietrzna pk1=qk·Ce·C·β 0,25·0,8·0,25·1,8·0,8·0,9 połać zawietrzna 0,25·0,8·(-0,45)·1,8·0,8·0,9	0,748 0,500 0,065* -0,117*	1,5 1,5 1,3 1,3	1,122 0,750 0,085 -0,152
A3. Ciężar własny stropu ocieplonego g1: Ciężar jętki 0,075·0,175·5,5 Ciężar desek nad jętką(50%powierzchni) (0,025·0,5) ·5,5·0,8 Ciężar ocieplenia (150mm wełna mineralna) 0,15·1,0·0,8 Ciężar płyt g-k na ruszcie 0,012·12,0·0,80	0,072 0,055 0,120 0,115	1,1 1,2 1,2 1,2	0,079 0,066 0,144 0,138
Razem	0,362		0,427
D. Obciążenie użytkowe na jętce [kN] g2=0,5·0,8	0,400	1,4	0,560
*Uwzględniono współczynnik jednoczesności obciążeń ψ0=0,9

Tabela 4. Zestawienie obciążeń połaci dachowych wiązara jętkowego.

Wyznaczenie sił wewnętrznych

Obliczenia statyczne wykonano za pomocą programu obliczeniowego RM-WIN.

1. Rozwiązanie statyczne

Rys. Schemat obciążeń wiązara jętkowego.

OBCIĄŻENIA: ([kN],[kNm],[kN/m])

------------------------------------------------------------------

Pręt: Rodzaj: Kąt: P1(Tg): P2(Td): a[m]: b[m]:

------------------------------------------------------------------

Grupa: A "Ciężar własny łaty” Zmienne γf= 1,10

1 Liniowe 0,0 0,0400 0,0400 0,00 2,75

2 Liniowe 0,0 0,0400 0,0400 0,00 2,75

3 Liniowe 0,0 0,0400 0,0400 0,00 3,14

4 Liniowe 0,0 0,0400 0,0400 0,00 3,14

Grupa: B "Ciężar własny krokwi" Zmienne γf= 1,10

1 Liniowe 0,0 0,0720 0,0720 0,00 2,75

2 Liniowe 0,0 0,0720 0,0720 0,00 2,75

3 Liniowe 0,0 0,0720 0,0720 0,00 3,14

4 Liniowe 0,0 0,0720 0,0720 0,00 3,14

Grupa: C "Ciężar własny dachówki" Zmienne γf= 1,20

1 Liniowe 0,0 0,3700 0,3700 0,00 2,75

2 Liniowe 0,0 0,3700 0,3700 0,00 2,75

3 Liniowe 0,0 0,3700 0,3700 0,00 3,14

4 Liniowe 0,0 0,3700 0,3700 0,00 3,14

Grupa: D "Ciężar ocieplenia i płyt g-k" Zmienne γf= 1,20

1 Liniowe 0,0 0,2350 0,2350 0,00 2,75

2 Liniowe 0,0 0,2350 0,2350 0,00 2,75

Grupa: E "Ciężar śniegu" Zmienne γf= 1,30

1 Liniowe 0,0 0,7480 0,7480 0,00 2,75

2 Liniowe 0,0 0,5000 0,5000 0,00 2,75

3 Liniowe 0,0 0,7480 0,7480 0,00 3,14

4 Liniowe 0,0 0,5000 0,5000 0,00 3,14

Grupa: F "Obciążenie wiatrem" Zmienne γf= 1,30

1 Liniowe 30,0 0,0650 0,0650 0,00 2,75

2 Liniowe -30,0 -0,1170 -0,1170 0,00 2,75

3 Liniowe 30,0 0,0650 0,0650 0,00 3,14

4 Liniowe -30,0 -0,1170 -0,1170 0,00 3,14

Grupa: G "Ciężar jętki Zmienne γf= 1,20

5 Liniowe 0,0 0,0720 0,0720 0,00 5,44

Grupa: H "Ciężar desek nad jętką" Zmienne γf= 1,20

5 Liniowe 0,0 0,2900 0,2900 0,00 5,44

Grupa: I "Obciążenie użytkowe jętki" Zmienne γf= 1,40

5 Liniowe 0,0 0,4000 0,4000 0,00 5,44

------------------------------------------------------------------

Rys. 14. Wykaz obciążeń poszczególnych prętów wiązara jętkowego.

REAKCJE PODPOROWE: T.I rzędu

Obciążenia obl.: ABCDEFGHI

------------------------------------------------------------------

Węzeł: H[kN]: V[kN]: Wypadkowa[kN]: M[kNm]:

------------------------------------------------------------------

4 16,5164 12,0962 20,4722

5 -17,2129 10,7450 20,2913

------------------------------------------------------------------

Rys. 15. Wartości reakcji podporowych

Rys. 16. Wykres momentów zginających

Rys. 17. Wykresy sił tnących

Rys. 18. Wykresy sił normalnych

2. Rozwiązanie wytrzymałościowe

Sprawdzenie stanu granicznego nośności

Maksymalny moment zginający i odpowiadająca mu siła podłużna wynoszą:

M₁ = 2,3909kNm

N₁ = -18,2189kN (ściskanie)

Przyjęto przekrój krokwi 75×175mm.

A = b · h = 0,075 · 0,175 = 13,125 ·10^-3m²

Naprężenie obliczeniowe ściskające w kierunku równoległym do włókien:

Naprężenia obliczeniowe od zginania w stosunku do osi głównych:

Występuje przypadek zginania z osiową siłą ściskającą.

Dla klasy drewna C22 wytrzymałość charakterystyczna na ściskanie wynosi f_c,0,k = 20,0MPa, a na zginanie f_m,y,k = 22,0MPa.

Sprawdzenie warunku stanu granicznego nośności:

<1

Warunek stanu granicznego nośności dla krokwi został spełniony.

Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności

Graniczna wartość ugięcia:

Rys. 19. Wykres ugięcia od obciążenia ciężarem własnym

Rys. 20. Wykres ugięcia od obciążenia śniegiem

Rys. 21. Wykres ugięcia od obciążenia wiatrem

Obciążenie	kdef	Składowe obciążenia [mm]
				uinst	ufin = uinst(1 + kdef)
ciężar własny (stałe, kl.2)	0,8	1,12	2,02
śnieg ( średniotrwałe, kl.2)	0,25	5,7	7,13
wiatr (krótkotrwałe, kl.2)	0	4,3	4,3
ugięcie sumaryczne		13,45

Tabela 5. Wartości ugięcia krokwi od składowych obciążenia

u_fin = 13,45mm < u_net,fin = 11,91mm

Warunek stanu granicznego użytkowalności dla krokwi NIE został spełniony.

Ostatecznie przyjęto krokiew o przekroju poprzecznym 75×175mm.

Wymiarowanie jętki

1. Rozwiązanie wytrzymałościowe

Sprawdzenie stanu granicznego nośności

Maksymalny moment zginający i odpowiadająca mu siła podłużna:

M₅ = 3,6717kNm

N₅ = -13,9391kN (ściskanie)

Przyjęto przekrój jętki o grubości odpowiadającej grubości krokwi, tj. 75×175mm

A = b· h = 0,075 ·0,175= 13,125·10^-3m²

Naprężenie obliczeniowe ściskające w kierunku równoległym do włókien:

Naprężenie obliczeniowe od zginania względem osi głównych:

Dla klasy drewna C22 wytrzymałość charakterystyczna na ściskanie wynosi f_c,0,k = 20,0MPa, a na zginanie f_m,y,k = 22,0MPa.

Sprawdzenie warunku stanu granicznego nośności:

<1

Warunek stanu granicznego nośności dla jętki został spełniony.

Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności

Graniczna wartość ugięcia:

Rys. 23. Wykres ugięcia jętki od obciążenia ciężarem własnym

Rys. 24. Wykres ugięcia kleszczy od obciążenia użytkowego

Obciążenie	kdef	Składowe obciążenia [mm]
				uinst	ufin = uinst(1 + kdef)
ciężar własny (stałe, kl.2)	0,8	12,4	22,32
Obciążenie użytkowe (krótkotrwałe, kl.2)	0	13,7	13,7
ugięcie sumaryczne		36,02

Tabela 6. Wartości ugięcia od składowych obciążenia

u_fin = 36,02mm < u_net,fin = 27,18mm

Warunek stanu granicznego użytkowalności dla jętki NIE został spełniony.

Obliczenie murłatu

Założono, że murłat mocowany jest do wieńca żelbetowego śrubami co 1,80m. Jako schemat statyczny murłatu przyjęto belkę dwuprzęsłową, długości 3,60m, obciążoną reakcjami pionowymi od wiązarów dachowym. Maksymalna wartość siły poziomej-reakcji podporowej jaka przypada na murłat wynosi H=

1. Rozwiązanie wytrzymałościowe

Sprawdzenie stanu granicznego nośności

Maksymalny moment zginający i odpowiadająca mu siła podłużna występują w pręcie nr 1:

M_z = 6,013kNm

N = 14,053kN (rozciąganie)

M_y = 1,183kNm

Przyjęto przekrój murłatu 150×150mm

A = b · h = 0,150 · 0,150 = 0,0225m²

Naprężenie obliczeniowe od zginania w stosunku do osi głównych wynosi:

Naprężenie obliczeniowe od zginania w stosunku do osi głównych:

Wytrzymałość obliczeniowa na rozciąganie i zginanie:

Sprawdzenie stanu granicznego nośności

<1

Warunek stanu granicznego nośności dla płatwi został spełniony.

Sprawdzenie stanu granicznego użytkowalności

Graniczna wartość ugięcia:

l_eff

l_eff

---