Test istotności dla wskaźnika struktury

Do weryfikacji hipotezy dotyczącej wskaźnika struktury p w populacji generalnej, gdy dysponujemy odpowiednio liczną próbą (n>100) można wykorzystać statystykę u dla weryfikacji hipotezy.

hipotezę zerową odrzucamy

nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Zadanie 1

Wysunięto hipotezę, iż 65% ekonomistów podejmuje systematyczne dodatkową pracę. Czy jest to przypuszczenie słuszne, jeśli w wylosowanej próbie 200 ekonomistów dodatkową pracę podejmuje 100 osób? Na poziomie ά = 0,05 zweryfikuj tę hipotezę (wartość krytyczna 1,96)

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

* * *

Przy badaniu i porównaniu dwóch populacji ze względu na wyróżnioną cechę często formułujemy przypuszczenie, że wskaźniki struktury, czyli frakcje elementów wyróżnionych w obu tych populacjach są identyczne.

Procedurę weryfikacji realizujemy w odniesieniu o próby n1 i n2 przy czym każda z nich liczy ponad 100 elementów. W obu tych próbach otrzymujemy liczbę m1 i m2 elementów z cechą wyróżnioną .

Test istotności dla postawionej hipotezy

1. Obliczamy wartość średniego wskaźnika struktury z obu prób:

2. Wartość pseudoliczebności próby n:

3. Sformułowaną hipotezę zerową sprawdzamy testem:

hipotezę zerową odrzucamy

nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Zadanie 1

W dwóch biurach podróży Neckerman i TUI przeprowadzono badania ankietowe, w których pytano między innymi o preferowany środek transportu w przypadku wykupienia w tym biurze wczasów. Z pośród 300 wylosowanych klientów Neckerman 54 osoby oświadczyły, że wolą samolot, natomiast z pośród 200 klientów TUI, ten sam środek transportu preferowało 46 osób. Czy na poziomie istotności 0,05 można twierdzić, że odsetek klientów preferujących samolot jako środek transportu w obu biurach podróży jest jednakowy (wartość krytyczna 1,96)?

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Test istotności dla wariancji

Badana populacja ma rozkład normalny przy czym żaden z parametrów populacji nie jest znany. Z populacji tej pobieramy próbę n<30 stawiamy hipotezę zerową, że wariancja populacji generalnej jest równa wartości hipotetycznej.

W przypadku wariancji hipoteza alternatywna zawsze będzie większa od hipotezy hipotetycznej.

Weryfikujemy tę hipotezę za pomocą statystyki χ² (chi kwadrat):

hipotezę zerową odrzucamy

nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Dla dużej próby (n>30) rozkład χ² zmierza do postaci rozkładu normalnego:

Zadanie 1

Czy jest możliwe, że średnie zróżnicowanie cen 1m² mieszkań oferowanych przez firmy budowlane w Poznaniu w III kwartale 2006 roku wynosi ± 0,4 tys. zł. jeśli dla 10 elementowej próby ofert uzyskano przeciętne zróżnicowanie cen równe 0,38 tys. zł. Przyjmując ά = 0,05 (wartość krytyczna 16,919).

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Zadanie 2

Dokonano 50 pomiarów opóźnień pociągów przybyłych na stację Poznań Główny w stosunku do czasu zgodnego z rozkładem jazdy. Otrzymano średnią wielkość opóźnienia wynoszącego 20 minut. Zakładając, że rozkład czasów opóźnień pociągów ma rozkład normalny, zweryfikuj hipotezę, iż dyspersja opóźnień przekracza 8 minut przyjmując poziom istotności 0,05 (wartość krytyczna 1,64).

Hipotezę zerową odrzucamy.

Test istotności dla dwóch wariancji

Pobieramy dwie próby n1 i n2, i weryfikujemy hipotezę zerową, że wariancje w obu populacjach są jednakowe wobec przeciwstawnego przypuszczenia

Duża wariancja w populacji jest nie korzystna.

Przy konstrukcji testu weryfikującego powyższą hipotezę zerową korzystamy z rozkładu F-Sendecora:

Ze względu na postać hipotezy alternatywnej niezbędne jest ponumerowanie prób w taki sposób by spełniona była relacja:

...... indeksem 1 numerujemy …….

Zadanie 1

W celu porównania dwóch miejscowości nadmorskich ze względu na liczbę miejsc w pensjonatach z każdej z tych miejscowości wylosowano po 10 takich obiektów zbiorowego zakwaterowania. Dla pierwszej miejscowości otrzymano wariancję 39,4 dla drugiej 24,1. poziom istotności 0,05. Sprawdzić wariancję liczby miejsc w pensjonacie w obu miejscowościach są jednakowe (wartość krytyczna 3,18)

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Test istotności dla korelacji liniowej Pearsona.

Badane cechy (X,Y) populacji generalnej mają dwumianowy rozkład normalny o nieznanym współczynniku korelacji ρ. Z populacji tej pobrano n - elementową próbę, na podstawie której obliczono współczynnik korelacji z próby. Wysunięto hipotezę, że badane cechy są nie skorelowane w populacji generalnej.

Dla n<122

Dla n≥122

Zadanie 1

Z losowej próby o liczebności n=11 partii gotowych wyrobów otrzymano współczynnik korelacji r=0,4 między wielkością partii, a wadliwością. Na poziomie istotności ά = 0,10 zweryfikować hipotezę o braku korelacji między wielkością produkowanych partii wyrobów, a ich wadliwością (wartość krytyczna 1,833).

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

Zadanie 2

W wylosowanej próbie 324 pracowników zakładu „X” badano tygodniowy czas przeznaczony na podnoszenie poziomu kulturalnego i zawodowego oraz czas wolny. Współczynnik korelacji między tymi zmiennymi wynosi 0,94 na poziomie istotności ά = 0,05. zweryfikuj hipotezę, że badane cechy są liniowo nie skorelowane (wartość krytyczna 1,96).

Hipotezę zerowa odrzucamy.

Test istotności dla współczynnika korelacji rang

Dla n <10

Dla n≥10

Zadanie 1

W celu sprawdzenia czy istnieje zależności między liczbą reklam pewnego środka czystości w TVN w ciągu danego miesiąca, a wielkość sprzedaży tego środka w ciągu następnego miesiąca przeprowadzono w pewnej miejscowości badanie.

L. reklam (x)	Sprzedaż (y)	Rangi		d'= Rx - Ry	d²
						r(x)	r(y)
18	10	5	3,5	1,5	2,25
10	9	3	2	1	1
7	8	1	1	0	8
25	16	9	9	0	2,25
8	10	2	3,5	-1,5	4
17	15	6	3	-2	4
12	13	4	5	-1	1
18	14	7	6,5	0,5	0,25
20	14	8	6,5	1,5	2,25
-	-	-	-	-	Σ 13

Na poziomie istotności ά = 0,05 sprawdzić istotność współczynnika korelacji rang wiedząc, iż wartość krytyczna odpowiedniego testu wynosi 2,365

Hipotezę zerową odrzucamy.

Zadanie 2

W pewnej szkole zasięgnięto opinii nauczycieli i kolegów o 12 uczniach. Współczynnik korelacji rang wynosi 0,189. na poziomie istotności ά = 0,05 sprawdzić hipotezę, czy opinie nauczycieli i kolegów są zbieżne (wartość krytyczna 1,96).

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

---