Imię i nazwisko: Łukasz Loose

IMiF, Fizyka Techniczna

Rok I, semestr II

Grupa A

Laboratorium Fizyki

Ćwiczenie nr 6

Wyznaczanie momentów bezwładności bryły za pomocą wahadła torsyjnego.

1. Definicje.

Bryła sztywna - to takie ciało, w którym pod wpływem działających

sił zewnętrznych nie zmienia się wzajemna odległość pomiędzy cząsteczkami tego ciała (siły te nie zmieniają kształtu ciała). Z definicji wynika, że dane ciało czasami możemy traktować jako bryłę sztywną (wtedy, gdy działające siły są zbyt małe aby to ciało odkształcić), a innym razem, gdy działające siły są większe, ciało przestaje być bryłą sztywną.

Momentem bezwładności I bryły względem danej osi nazywamy

sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich odległości od danej osi, a więc:

Aby znaleźć moment bezwładności ciała należy „podzielić” to ciało na fragmenty tak małe, aby każdy z nich można było traktować jak punkt materialny o pewnej masie m_i, pomnożyć jego masę przez kwadrat jej odległości r_i² od osi obrotu i wszystkie otrzymane iloczyny do siebie dodać. W praktyce, do ciał rzeczywistych, a więc takich dla których masa jest rozłożona w sposób ciągły stosuje się postać całkową definicji, pozwalającą obliczać rzeczywiste momenty bezwładności:

We wzorze tym r² oznacza zmienną określającą odległość elementu masy dm od osi obrotu.

Przykładowe monety bezwładności brył:

• Dla kuli
  

• Dla walca
  

• Dla pręta
  

Wszystkie powyższe wzory określają momenty bezwładności brył względem osi przechodzących przez środek masy danej bryły.

Twierdzenie Steinera - mówi, że jeśli znamy moment bezwładności

I₀ danego ciała względem osi przechodzącej przez środek masy tego ciała, to aby obliczyć moment bezwładności I względem dowolnej innej osi równoległej do niej, należy do momentu I₀ dodać iloczyn masy ciała i kwadratu odległości między tymi osiami, czyli md² :

Wahadło torsyjne jest to ciało sztywne zawieszone na pionowym

nieważkim pręcie lub nici(sprężystych), którego górny koniec jest umocowany nieruchomo, a oś Oz pokrywa się z jedną ze swobodnych osi ciała.

Drgania torsyjne wywołane są siłami sprężystości powstającymi w pręcie po jego skręceniu wokół osi Oz. Okres tych drgań jest równy:

gdzie

I - moment bezwładności

D - sztywność skręcania pręta(moment kierujący)

2. Przebieg doświadczenia.

Aby znaleźć moment bezwładności I danej bryły, należy umieścić ją na wahadle torsyjnym i zmierzyć jego okres drgań T. Następnie należy wykorzystać bryłę o znanym momencie bezwładności I₀, zmierzyć okres drgań wahadła z tą bryłą i zapisać następujące równania:

- okres drgań ramki z walcem

- okres drgań ramki z bryłą

- okres drgań ramki bez obciążenia

3. Wyprowadzenie wzoru roboczego.

Po podniesieniu stronami do kwadratu dwóch ostatnich równań i odjęciu ich stronami, otrzymuję:

Ostatecznie:

gdzie:

T_i - okres drgań ramki z bryłą

T₀ - okres drgań ramki bez obciążenia

T - okres drgań ramki z walcem

I - moment bezwładności walca

4. Teoretyczne momenty bezwładności.

• 
  Dla walca:

h

r

h = 0,05m

r = 0,0245m

Obliczam niepewność pomiaru momentu bezwładności walca.

Niepewność rozszerzona:

dla α=0,95 i kα=2

Ostatecznie niepewność momentu bezwładności walca w raz z niepewnością wynoszą:

• Dla prostopadłościanu:

b

a

c

a=0,04m

b=0,06m

c=0,1m

5. Obliczenia.

[kg*m²]

Niepewność pomiaru dla osi X wynosi:

dla α=0,95 i kα=2

Niepewność pomiaru dla osi Y wynosi:

dla α=0,95 i kα=2

Niepewność pomiaru dla osi Z wynosi:

dla α=0,95 i kα=2

Momenty bezwładności prostopadłościanu wynoszą:

• Dla osi X
  

• Dla osi Y
  

• Dla osi Z
  

Wszystkie obliczenia zostały wykonane dla prawdopodobieństwa α=0,95 oraz współczynnika prawdopodobieństwa kα=2.

6. Wnioski.

Wyniki otrzymane podczas przeprowadzania doświadczenia, pokrywają się z wynikami otrzymanymi przez teoretyczne obliczenia momentów bezwładności prostopadłościanu względem poszczególnych osi.

Otrzymane odstępstwa w małej mierze są spowodowane pomiarem czasu. Głównym ich powodem jest fakt, iż badany prostopadłościan nie był idealny, ponieważ miał podszlifowane narożniki co w głównej mierze wpłynęło na różnicę w wynikach teoretycznych i tych przeprowadzonych w laboratorium.

8

---