Tadeusz Malinowski nr. indeksu 30081

Ewa Malinowska nr. indeksu 30080

grupa 206

Praca semestralna z matematyki- sem.II.

Macierze w ekonomii

1. Pojęcie macierzy

2. Przepływy międzygałęziowe

3. Model Leontiewa

1. OKREŚLENIE MACIERZY I JEJ TYPY

Macierzą o wymiarze m x n nazywamy prostokątną tablicę liczb rzeczywistych posiadającą m - linii poziomych zwanych wierszami i n - linii pionowych zwanych kolumnami. Liczby występujące w tablicy (macierzy) nazywamy elementami tej macierzy. Macierze oznaczamy dużymi literami A, B, C... W ogólnej postaci macierz możemy zapisać na dwa sposoby:

Parę liczb m x n nazywamy wymiarem macierzy. W szczególności, jeżeli m = n to macierz nazywamy macierzą kwadratową i możemy wówczas powiedzieć, że macierz ta jest stopnia n. Zapisujemy to w sposób:

A
.

Przekątna główna macierzy kwadratowej A stopnia n jest to ciąg: (a₁₁, a₂₂, …., a_nn) wyrazów tej macierzy o równych indeksach.

Dwie macierze nazywamy podobnymi jeżeli mają ten sam wymiar.

Macierz posiadającą tylko jedną kolumnę nazywamy macierzą jednokolumnową, a macierz posiadającą jeden wiersz nazywamy macierzą jednowierszową - macierze takie nazywamy również wektorami.

Rodzaje macierzy kwadratowej:

- macierz jednostkowa -

1.1 Działania na macierzach

1.1.1 Równość macierzy

Dwie macierze są równe, jeżeli mają ten sam wymiar (są podobne) i mają odpowiednie elementy równe.

Dwie macierze A i B są równe wtedy i tylko wtedy gdy m=m', n=n' oraz aij=bij.

1.1.2 Dodawanie macierzy

Dodawać można tylko macierze podobne. Sumą z macierzy podobnych jest macierz tego samego wymiaru, w której elementy są sumami odpowiednich elementów tych macierzy.

Sumą macierzy A i B nazywamy macierz C = cij=aij+bij. Dodajemy tylko macierze o tych samych wymiarach

Dodawanie macierzy

Zbiór wszystkich macierzy o n wierszach oraz m kolumnach oznaczamy . W zbiorze tym określamy dodawanie, które oznaczamy znakiem "+".

UWAGA!!!

Dwie macierze można dodać wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same wymiary; dodajemy elementy na tych samych pozycjach.

Przykład

Jeżeli

Z definicji sumy macierzy wynika następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.2

1. Dodawanie macierzy jest przemienne:< B>A+B=B+A

2. Dodawanie macierzy jest łączne: (A)+(B)+C=A+(B+C)

3. Macierz zerowa jest elementem neutralnym dodawania macierzy: A+O=O+A=A

4. Dla dowolnej macierzy A istnieje macierz A' taka, że A+A'=O

Macierz A' spełniającą warunek A+A'=O nazywamy macierzą przeciwną macierzy A i oznaczamy -A.

1.1.3 Mnożenie macierzy przez liczbę

Iloczynem macierzy A przez liczbę D nazywamy macierz B = DA = Daij

Dowolną macierz mnożymy przez liczbę w ten sposób, że każdy jej element mnożymy przez tę liczbę.

Mnożenie macierzy przez liczby

Każdą liczbę możemy pomnożyć przez dowolną macierz, dziłanie to określane jako zewnętrzne nie ma więc żadnych ograniczeń.

Mnożymy wszystkie elementy przez daną liczbę.

Definicja 2.3

Przykład

Jeżeli

Własności mnożenia macierzy przez liczby obrazuje nastepujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.4

Aby lepiej zobrazować działania na macierzach podamy definicję rzeczywistej przestrzeni liniowej.

Definicja 2.5

Rzeczywistą przestrzenią liniową (wektorową) nazywamy niepusty zbiór V wraz z dwiema operacjami: dodawaniem elementów zbioru V, mnożeniem elementu zbioru V przez liczbę rzeczywistą i przy tym muszą być spełnione następujące aksjomaty:

1) dodawanie jest łączne, czyli

2) dodawanie jest przemienne, czyli

3) istnieje element neutralny dodawani, czyli

4) do każdego elementu istnieje element przeciwny, czyli

5)

6)

7)

8)

Zbiór
z dodawaniem i mnożeniem macierzy przez liczby jest rzeczywistą przestrzenią liniową.

1.1.4 Mnożenie dwóch macierzy

Iloczynem
nazywamy macierz
której elementy wyznaczone są ze wzorów:

Do mnożenia macierzy często stosuje się tzw. schemat Falka. Mnożenie macierzy nie jest przemienne
. Może się zdarzyć, że jeden z tych iloczynów istnieje, a drugi nie. Nawet jeżeli oba te iloczyny istnieją to nie musza być równe.

Mnożenie macierzy

Aby można było wymnożyć dwie macierze powinien być spełniony warunek.Liczba kolumn pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy drugiej macierzy.

Iloczyn macierzy
określamy w sposób:

gdzie

1.1 Wyznaczniki

Wyznacznikiem nazywamy liczbę przypisaną każdej macierzy kwadratowej, inaczej mówiąc kazdej macierzy kwadratowej mozna przypisać liczbę, którą nazywamy wyznacznikiem. Wyznacznik zdefiniuję sukcesywnie w zależności od stopnia macierzy:

1. n=1
   

2. n=2
   

(różnica iloczynów wyrazów przekątnej głównej i przekątnej bocznej)

3)

Każdemu elementowi dowolnej macierzy kwadratowej można przypisać liczbę zwaną dopełnieniem algebraicznym tego elementu

Weźmy element
tej macierzy. Dopełnienie algebraiczne tego elementu oznaczmy przez
. Wyraża się ono następującym wzorem:

- jest to wzór na dopełnienie algebraiczne

jest wyznacznikiem macierzy powstałej z danej macierzy przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny macierzy . Tak otrzymana macierz jest stopnia n-1, dlatego wyznacznik nazywamy podwyznacznikiem lub minorem.

Niech będzie dana macierz A

Wyznacznikiem dowolnej macierzy kwadratowej nazywamy liczbę równą sumie iloczynów elementów pierwszego wiersza pomnożonych przez ich dopełnienie algebraiczne.

26.Wyznacznik macierzy kwadratowej i jego własności.

Wyznacznik macierzy kwadratowej -

Suma jest brana po wszustkich n! - permutacjach p=(p1, p2, ...,pn) ciągu (1,2 ...,n)

inv(p) - liczba inwersji w permutacji p, gdzie inwersja oznacza nieporządek tzn sytuację, w której liczba większa poprzedza liczbę mniejszą.

Wyznacznik stopnia II i III

to

Ta metoda nazywa się metodą Sarrusa

Własności wyznaczników:

• macierz kwadratową nazywamy diagonalną jeśli na jej głównej przekątnej są liczby, które być może są różne od 0 (dowolne), a poza jej główną przekątną same zera. Wyznacznik macierzy diagonalnej jest iloczynem wyrazów głównej przekątnej.

• wyznacznik macierzy, w której jeden wiersz lub kolumna składa się z samych zer jest równy 0.

• wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi jej macierzy transponowanej.

• gdy macierz B powstaje z macierzy A przez zamianę miejscami 2 wierszy lub 2 kolumn to det(B)=-det(A).

• jeśli w macierzy 2 wiersze lub 2 kolumny są identyczne lub proporcjonalne to jej wyznacznik jest równy 0.

• jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie wszystkich elementów jednego wiersza lub jednej kolumny przez liczbę c to det(B)=c*det(A)

• wyznacznik nie zmienia wartości, gdy do wiersza (lub kolumny) dodamy odpowiedni elementy innego wiersza (lub kolumny) pomnożone przez dowolną stałą.

1.1.1 Metoda Sarrusa

Metodą Sarrusa stosujemy wyłącznie do wyznaczników wyłącznie trzeciego stopnia. Reszta bardzo ładnie opisana: http://pl.wikipedia.org/wiki/Regu%C5%82a_Sarrusa

1.1.2 Własności wyznaczników

1. Wyznacznik nie zmieni wartości, jeżeli zamienimy w nim wiersze na kolumny.

2. Jeżeli w wyznaczniku zamienimy ze sobą dwa wiersze lub dwie kolumny to wyznacznik zmieni jedynie znak.

3. Jeżeli w wyznaczniku występuje kolumna lub wiersz samych zer to taki wyznacznik równy jest zeru.

4. Jeżeli wyznacznik posiada dwa wiersze lub dwie kolumny identyczne to jest równy zeru.

5. Jeżeli w pewnym wierszu lub kolumnie wyznacznika występuje czynnik wspólny to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik. Własnośc ta oznacza, że aby pomnożyć wyznacznik przez liczbę należy przez tę liczbę pomnożyć jeden jego wiersz lub kolumnę.

6. Wyznacznik jest równy zeru, jeżeli posiada dwa wiersze lub dwie kolumny proporcjonalne.

7. Wyznacznik nie zmieni wartości jeżeli do pewnego wiersza lub kolumny dodamy inny wiersz lub kolumnę pomnożone przez dowolną liczbę.

8. Wyznacznik równy jest sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza lub kolumny pomnożony przez dopełnienia algebraiczne.

Najszybszą metodą obliczania dużych wyznaczników (co do wymiaru) jest metoda Gauss'a. Polega ona na tym, że sprowadzamy ten wyznacznik do postaci trójkątnej (pod główną przekątną występują same zera). Wyznacznik postaci trójkątnej równy jest iloczynowi elementów występujących na głównej przekątnej.

PRZYKŁADY

Układy równań - metoda wyznaczników

Niżej prezentuje jedną, z metod rozwiązywania ukladow równań.

Przykladowo schemat ogolny ukladu uwzględniajacy wspolczynniki przy zmiennych.

a1X + b1Y = c1

a2X + b2Y = c2

Powstają nam trzy macierze:

[ a1 b1] [c1 b1] [a1 c1]

[ a2 b2] [c2 b2] [a2 c2]

Dla powstalych macierzy obliczamy ich wyznaczniki:

Wyznacznik glowny WG:

| a1 b1 |

| a2 b2 | = a1*b2 - a2*b1

Wyznacznik x-owy Wx:

| c1 b1 |

| c2 b2 | = c1*b2 - c2*b1

Wyznacznik y-owy Wy:

| a1 c1 |

| a2 c2 | = a1*c2 - a2*c1

Mając trzy najważniejsze wyznaczniki możemy przystąpić do najważniejszego,czyli sprawdzania rozwiązań układu.

1) Układ jest oznaczony wtedy gdy WG jest różne od zera. Wtedy wowczas obliczamy bezpośrednio rozwiązanie układu.

x= Wx/WG i y= Wy/WG

2) Układ jest nieoznaczony wtedy gdy WG = 0 i Wx=0 i Wy=0

3) Układ jest sprzeczny wtedy gdy WG=0 i jeden lub oba z wyznacznikow Wx i Wy są różne od zera.

Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi metodą wyznaczników.

W - wyznacznik główny

Wx - wyznacznik x

Wy - wyznacznik y

{ a x + b y = c

d x + e y = f

| a b |

W= | d e | = a * e - d * b

| c b |

Wx= | f e | = c * e - f * b

| a c |

Wy= | d f | = a * f - d * c

x = Wx/W = c * e - f * b / a * e - d * b

y = Wv/W = a * f - d * c / a * e - d * b

przykład:

{ 2 x + y = 2

3 x - 2y = 17

| 2 1 |

W= | 3 -2 | = 2 * (-2) - 3 * 1 = -4 - 3 = -7

| 2 1 |

Wx= | 17 -2 | = 2 * (-2) - 17 * 1 = -4 - 17 = -21

| 2 2 |

Wy= | 3 17 | = 2 * 17 - 3 * 2 = 34 - 6 = 28

x = Wx/W = -21/-7 = 3

y = Wv/W = 28/-7 = -4

x = 3

y = -4

Metoda podstawiania w układach równań liniowych .

{12x-6y=6

7x+y=8

{12x=6+6y/:12

7x+y=8

{x=0,5+0,5y

7(0,5+0,5y)+y=8

{x=0,5+0,5y

3,5+3,5y+y=8

{x=0,5+0,5y

4,5y=8-3,5

{x=0,5+0,5y

4,5y=4,5/:4,5

{x=1

y=1

Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi metodą podstawiania.

{ x - y = 2

2x + y = -2

- wyznaczamy jedną niewiadomą z któregoś równania

{ x = 2 + y

2x + y = -2

- podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania układu

{ x = 2 + y

2(2 + y) + y = -2

- rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą

{ x = 2 + y

4 + 3y = -2

{ x = 2 + y

3y = -6 |: 3

{ x = 2 + y

y = -2

- podstawiamy wyliczoną wartość do dowolnego równania

{ x = 2 + (-2)

y = -2

- rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą

{ x = 0

y = -2

- podajemy rozwiązanie

{ x = 0

y = -2

Żeby sprawdzić, czy para (x, y) jest rozwiązaniem układu równań, należy x i y

wstawić odpowiednio do pierwszego i drugiego równania.

przykład:

Czy para (0, -2) spełnia układ równań:

{ x - y = 2

2x + y = -2

{ 0 - (-2) = 2

2*0 + (-2) = -2

{ 2 = 2

-2 = -2

Obie ostatnie równości są prawdziwe, zatem para liczb x = 0 i y = -2 jest

rozwiązaniem układu.

Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi metodą przeciwnych współczynników.

Rozwiązywanie układów równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi metodą przeciwnych współczynników.

W metodzie przeciwnych współczynników budujemy dwa równoważne układy równań takie, że w jednym są przeciwne współczynniki przy niewiadomej x, a wdrugim przy niewiadomej y.

W każdym z układów, dodając stronami równania eliminujemy jedną zmienną. Otrzymujemyw ten sposób dwa równania, każde z jedną niewiadomą, zamiast dwóch układów równań.

Po rozwiązaniu każdego z tych równań otrzymujemy rozwiązanie układu równań.

{ 2x + 3y = 8 |*3

x + 5y = 7 |*(-6)

{ 6x + 9y = 24

-6x - 30y = -42

Dodajemy strony lewą i prawą obu równań

6x + 9y+(-6x) -30y = 24 -42

-21y = - 18 | /(-21)

y = 18/21

y= 6/7

{ 2x + 3y = 8 | *5

x + 5y = 7 | *(-3)

{ 10x + 15y = 40

-3x - 15y = -21

Dodajemy strony lewą i prawą obu równań

10x +15y -3x -15y = 40 -21

7x = 19

x = 19/7

7

---