ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

D - doświadczenie losowe

Ω - przestrzeń zdarzeń elementarnych - zbiór wszystkich pojedynczych wyników doświadczenia losowego

Przykłady:

1. Rzut monetą   Ω = {0, R}

2. Rzut dwiema kostkami

= (i 1, i 2)

↓ ↓

liczba liczba

oczek na oczek na

1-nej 2-giej

kostce kostce

Ω = {
= (i 1, i 2) | i 1, i 2 = 1, ….. 6 }

…..
- (liczba elementów zbioru omega) = 6 do potęgi 2 = 36 elementów (1,1)….(1,6) (2,1)….(2,6)

3. Rzucamy monetą tak długo aż pojawi się orzeł.

Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych tego zdarzenia losowego.

Ω = {O , RO , RRO , RRRO , … }

Przestrzeń zdarzeń elementarnych tego doświadczenia jest zbiorem nieskończonym. Dokładnie jest to zbiór przeliczalny tzn. elementy tego zbioru można ustawić w ciąg nieskończony.

4.Strzelamy do tarczy

Przestrzenią zdarzeń elementarnych jest zbiór wszystkich punktów tarczy strzelniczej. W rozpatrywanym przykładzie przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest zbiorem nieskończonym.

Ŧ rodzina zdarzeń losowych

Przyjmujemy upraszczające założenie, że zdarzeniem losowym jest dowolny podzbiór Ω

A
Ŧ
A
Ω

A jest zdarzeniem losowym wtedy i tylko wtedy gdy A jest podzbiorem Ω (omegi)

Ω

2 rodzina wszystkich podzbiorów Ω

Przykład:

Ω = {1,2,3 }

Wypisz wszystkie elementy rodziny …………

…….

KLASYCZNY MODEL RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

W klasycznym modelu rachunku prawdopodobieństwa analizuje się doświadczenia losowe mające skończoną przestrzeń zdarzeń elementarnych (skończoną liczbę wyników) i każdy wynik doświadczenia (każde zdarzenie elementarne jest jednakowo prawdopodobne.

Formalizujemy to następująco:

…………………

………………..

……………………….

Prawdopodobieństwo w tym modelu określamy następująco:

………………

………………….

Przykład:

Rzucamy dwiema kostkami. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma oczek jaka wypadła na obu kostkach jest ≥
5

( 1. określenie przestrzeni, 2. wypisać zdarzenia elementarne które się składają na prawdopodobieństwo)

Ω = {
= (i 1, i 2) | i 1, i 2 = 1, ….. 6 }

=

Ω = 36

A = ………….

…….

……

OGÓLNY MODEL RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Funkcje P: F
spełniają następujące warunki:

1. P (Ω)=1 (unormowani miary)

Prawdopodobieństwa zdarzenia pewnego = 1

2. ………………………………..

………………..

……………………..

prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw.

……………………………………………………. - przeliczalna addytywność

nazywamy funkcją prawdopodobieństwa lub prawdopodobieństwem lub miarą probabilistyczną

Uporządkowaną trójkę (Ω, Ŧ, P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną gdzie:

Ω - to przestrzeń zdarzeń elementarnych,

Ŧ - rodzina zdarzeń losowych

P - prawdopodobieństwo

Przestrzeń probabilistyczna jest modelem matematycznym doświadczenia losowego.

POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ (uproszczona)

Funkcję X:Ω R nazywamy zmienną losową. Zmienna losowa jest to funkcja przyjmująca wartości rzeczywiste i wartości jakie przyjmuje zależą od pewnego mechanizmu losowego.

Przykłady zmiennych losowych:

Inwestycja - jest to bieżące wyrzeczenie na rzecz przyszłych korzyści.

Inwestycji można dokonywać w następujących warunkach:

1. w warunkach pewności - rezultat inwestycji jest znany inwestorowi i jednoznacznie określony

2. w warunkach ryzyka - znane są skutki i ich prawdopodobieństwa

3. w warunkach niepewności - znane są skutki ale prawdopodobieństwa są nieznane lub trudne do oszacowania.

Ad 1) Przyjmuje się w finansach, że inwestycje w krótkoterminowe obligacje skarbu państwa są inwestycjami w warunkach pewności.

Ad 2) Wszelkie decyzje dotyczące gier hazardowych są przykładem inwestycji w warunkach ryzyka.

Ad 3) Przyjmuje się, że inwestycje w akcje są przykładem inwestycji w warunkach niepewności.

Celem inwestowania jest zysk. Mierzymy go stopą zwrotu (zysku)

R =

gdzie Co>0 kapitał początkowy inwestycji

C kapitał końcowy

Dla inwestycji w warunkach pewności kapitał końcowy (C) jest liczbą jednoznacznie określoną, zatem stopa zwrotu ® dla tych inwestycji jest liczbą którą wyrażamy w %

Dla inwestycji w warunkach ryzyka lub niepewności kapitał końcowy (C) jest zmienną losową.

……………………….

ZMIENNE LOSOWE SKOKOWE (DYSKRETNE)

………………….

…………………….

zbiór wartości zmiennej losowej X

Mówimy, że zmienna losowa X jest zmienną losową skokową (dyskretną) jeśli jej zbiór wartości )( = {x1, x2, x1 …..}

p1 = P (X=x1)

x1
)(

……

…..

…..

……

…..

Przykłady zmiennych losowych skokowych:

1)

)( ={ x1 } P (X= x1) = 1

wtedy mówimy że zmienna losowa X ma rozkład jednopunktowy.

2)

)( ={ x1, x2 }=p; P (X= x2) = 1-p

0<p<1

wtedy mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy.

3)

…………………………………..

czytamy: zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy (binominalny) o parametrach (n,p)

P(X=k)= ……..

…………………..

………………

………….

Zmienna losowa dwumianowa może być interpretowana jako liczba sukcesów w (n) niezależnych próbach z których każda kończy się „sukcesem” (p) lub „porażką” z prawdopodobieństwem 1-p czyli w tzw. schemacie Bernouliego.

SCHEMAT BERNOULIEGO

D doświadczenie losowe mające dokładnie dwa wyniki, które umownie oznaczamy przez „0” lub „1”

0 - porażka; 1 - sukces

Ω= {0,1} P({1})=p P({0})= 1-p 0<p<1

Dn doświadczenie losowe polegające na n-krotnym wykonaniu doświadczenia d

Ωn - przestrzeń zdarzeń elementarnych

……………………

X: Ωn IR

……………………

……………………..

……………….

Ćwiczenie:

Które zdarzenie jest bardziej prawdopodobne:

1. wyrzucenie dokładnie dwóch orłów w czterech rzutach

2. wyrzucenie dokładnie trzech orłów w sześciu rzutach

ad a)

n=4 p=
k=2

…………………………

ad b)

n=6 p=
k=3

…………………..

…………………..

a>b

X zmienna losowa

Fx dystrybuanta zmiennej losowej X

FX: IR

x
IR Fx (x)= P (X
x)

Dystrybuanta jest charakterystyką funkcyjną zmiennej losowej.

ZMIENNE LOSOWE CIĄGŁE

Mówimy, że X jest zmienną losową ciągłą, jeśli istnieje funkcja ………………….

……………………….

Funkcję f nazywamy funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X

Z definicji zmiennej losowej ciągłej mamy

Fx' (x) = f(x)

w każdym punkcie ciągłości funkcji gęstości f

Uwaga

Funkcja f jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa

x
R f(x)
0

W języku geometrii powyższą uwagę można sformułować następująco:

funkcja f jest funkcją gęstości wtedy i tylko wtedy wykres funkcji f leży nad osią x oraz pole obszaru ograniczonego z góry wykresem funkcji f a z dołu osią x jest równe 1

X
N (N,
) N
IR ;
>0 - czytamy:

zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach N,

…………………………………….

Zmienna losowa o rozkładzie normalnym jest najczęściej spotykaną w zastosowaniach zmienną losową. Zgodnie z jej rozkładem kształtują się zazwyczaj wielkości fizyczne, błędy pomiarów oraz cechy przyrodnicze zbiorowości.

Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych

E(X) lub EX

czytamy: wartość średnia lub wartość oczekiwana zmiennej losowej

1. X zmienna losowa skokowa

1. zbiór wartości skończonych

)( = { x1… xn}; p1 P(X= x1); i=1….n

EX=

2. )( = x1, x2, x3…12}

= P (X=
), i=1,2,3,…..

wtedy

przy założeniu, że
…………………….

3. X zmienna losowa ciągła z funkcją gęstości f wtedy

EX=

przy założeniu, że

Wartość średnia jest najważniejszą charakterystyką liczbową zmiennej losowej.

Ćwiczenie:

Zmienna losowa przyjmuje wartości 2,3,4,5 przy czym P(x=3) =
, P(x=4)=
wiadomo, że E(x)=3,9.

Wyznacz rozkład zmiennej losowej x

x1	2	3	4	5
p1	x			y

P(x=2) x P(x=5)y

x,y
0
x+
+
+y=1

EX=3,9=2x +3
+4
+5y

10x+4+10y=10

20x+15+50y=39

10x+10y=6

20x+50y=24

2(6-10y)+50y=24

12-20y+50y=24

30y=12

y=
=
x=

---