1. Podać i udowodnić twierdzenie o splocie w dziedzinie czasu dla transformaty Fouriera

2. Podać ogólna postać wzorów Eulera-Fouriera opisujących funkcje f(t) w przedziale <0,T> w szereg ortogonalny o bazie φ

3. Jakie symetrie posiada widmo amplitudowe i widmo fazowe rzeczywistego sygnału okresowego? Skąd wynikają te symetrie ? (Jaka jest relacja pomiędzy F_k a F_-k)

Widmo amplitudowe jest symetryczne względem osi

Widmo fazowe jest symetryczne względem początku układu współrzędnych.

4. Podać dwa sposoby obliczania mocy sygnału okresowego, jeśli znamy jego przebieg w czasie, f(t), oraz współczynniki rozwinięcia w zespolony szereg Fouriera, F_k

f(t)

F_k

5. Podać twierdzenia dla przekształcenia Fouriera: o przesunięciu w dziedzinie czasu oraz o modulacji (czyli o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości).

Założenie do obydwóch:

W dziedzinie czasu:

Dowód:

W dziedzinie częstotliwości:

Dowód:

6. Podać dwa sposoby na obliczanie energii sygnału nieokresowego, jeśli znamy jego przebiegi w czasie f(t), oraz transformatę Fouriera F(jω).

1)

2)

7. Jeżeli na wejście układu LTI o odpowiedzi impulsowej h(t) podamy sygnał u(t), to co zaobserwujemy na wyjściu układu ? (Jaka jest relacja pomiędzy y(t) a u(t) oraz h(t)?)

8. Podać (bez dowodu) twierdzenia dla przekształcenia Fouriera: o przesunięciu w dziedzinie czasu oraz o modulacji (czyli o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości).

W dziedzinie czasu:

W dziedzinie częstotliwości:

Patrz na zadanie 5

9. Podać dwie postacie twierdzenia Parsevala: dla zespolonego szeregu Fouriera oraz dla transformacji Fouriera.

Dla transformacji Fouriera (widmo gęstości energii):

Dowód:

Dla zespolonego szeregu Fouriera:

Dowód:

10. W jakich maksymalnych odstępach można pobrać próbki sygnału f(t) = A Sa² (ω₀t), aby możliwe było idealne odtworzenie tego sygnału z ciągu jego próbek? Obliczyć wartości próbek, f(nT_s) podanych zgodnie z tą regułą, dla n = -2, -1, 0, 1, 2

11. Podać pełną postać twierdzenia Parsevala dla transformacji Fouriera.

Dowód:

12. Podać twierdzenie o zmianie skali dla przekształceń Fouriera.

Założenie:

Twierdzenie:

Dowód:

13. Podać (lub wyprowadzić) wzór opisujący transformatę Fouriera sygnału okresowego o znanych współczynnikach F_k rozwinięcia w zespolony wykładniczy szereg Fouriera.

14. Podać (lub wyprowadzić) wzór opisujący funkcję r_uy korelacji wzajemnej wejścia i wyjścia układu LTI. (by Rybol)

15. Podać (bez dowodu) twierdzenie o modulacji w dziedzinie czasu dla transformacji Fouriera.

16. Podać (bez dowodu) twierdzenie o całkowaniu dla transformacji Fouriera.

I i II pochodna

17. Podać wzór opisujący transformatę Fouriera sygnału spróbkowanego.(by Zbyyynek)

18. Twierdzenie o symetrii dla przekształcenia Fouriera mówi ze jeśli f(t) -> F(jω) to:

Założenie:

Twierdzenie:

Dowód:

19. Transformata Fouriera sygnału okresowego o okresie T i współczynnikach F_k rozwinięcia w zespolony szereg Fouriera ma postać:

20. Odpowiedz idealnego układu całkującego na impuls Diracka wynosi:

Skok jednostkowy - 1(t)

21. Funkcja autokorelacji sygnału o skończonej energii f(t) jest opisana wzorem:

22. Sygnał spróbkowany ma widmo: (by Cis) okresowe

23. Opóźnienie grupowe w układzie LTI ma postać:

24. Składowa stała |sin(ω₀t-π/4)|

Przesunięcie w sinusie nie ma znaczenia :D

25. Ciąg współczynników rozwinięcia sygnału okresowego f(t) w zespolony szereg Fouriera posiada właściwość F_k = F*_-k gdzie * oznacza sprzężenie gdy: (by Cudko)

gdy f(t) jest sygnałem rzeczywistym

26. Obliczyć wartość skuteczną U napięcia zmiennego opisanego wzorem

---